文档内容
专题强化02：一元二次方程
【考点归纳】
考点一：一元二次方程的解
考点二：利用判别式求参数问题
考点三：换元法在一元二次方程的应用
考点四：根和系数的关系
考点五：实际问题与一元二次方程
考点六：动态几何问题
考点七：一元二次方程的综合问题
【技巧归纳】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
⑴如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ， ．
⑵涉及两根的代数式的重要变形：
① ； ② ；
③ ； ④
【题型归纳】
题型一：一元二次方程的解
1．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程 的根也是方程 的根，则
．
3．（21-22九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程 的解，
c、d是方程 的解，则 的值为 ．
题型二：利用判别式求参数问题
4．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，
且 ．下列说法正确的个数为（ ）① ；② ， ；③ ；
④关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ．
A． B． C． D．
5．（22-23九年级上·重庆南川·期末）如果关于 的方程 有正整数解，且关于 的函数
与 轴有交点，那么满足条件的整数 的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
6．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
题型三：换元法在一元二次方程的应用
7．（21-22九年级·浙江·自主招生）关于x的方程 ，给出下列四个题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（23-24九年级上·四川南充·期中）若实数x满足 ，则 的值是 ．
9．（23-24九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个相
等的实数根，那么 的值为 ．
题型四：根和系数的关系
10．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程 有两个根 和 ，且 ，那
么方程 的较小根 的范围为
A． B． C． D．11．（2022·河南·模拟预测）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
12．（18-19九年级上·全国·单元测试）若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则 的值是（ ）
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
题型五：实际问题与一元二次方程
13．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市 天内，帮助“幸
福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第 天（ 为整数）的售价为 （元/斤），日销售额为 （元）．据销售记
录知：
①第 天销量为 斤，以后每天比前一天多卖 斤；
②前 天的价格一直为 元/斤，后 天价格每天比前一天跌 元，
(1)当 时，写出 与 的关系式；
(2)当 为何值时日销售额 最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于 元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款 元，用于捐资助学，若“幸
福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买 元的图书，求 的最小整数值．
14．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价
不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销
售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元
时，求m的值．
题型六：动态几何问题
15．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，动点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 以 的速度向终点 移动，点 以 的速度向点 移动，当有一点到达终点时，
另一点也停止运动，设运动的时间为 ．
(1)当 时，四边形 面积是______
(2)当t为何值时，点P和点Q距离是 ？
(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
16．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在 中， ，点P从A开始沿边 向
点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动．点P，Q同时出发，当
点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．
(1)填空： ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说
明理由．
题型七：一元二次方程的综合问题
17．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于 的分式方程 ①和一元二次方程
②中， 、 、 均为实数，方程①的根为非负数．
(1)求k的取值范围；(2)当方程②有两个实数根 ， ，且满足 ， 为负整数时，试判断 是否
成立，并说明理由．
18．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出
一元二次方程 （ ， ）的两根x，x 有如下的关系（韦达定理）： ，
1 2
；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足： ， 则 _______， _______；
(2)若 是方程 两个不等实数根，且满足 ，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足： ， ，且 ，求 的取值范围．
19．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，求 的值．
解： ∵一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，
∴ ， ， 则 ．
材料2：已知实数a、b满足 ， ，且 ，求 的值．
解：依题意得：a与b为方程 的两根，
∴ ， ，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 和 ，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
【高分强化】
一、单选题
20．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程 ，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．8
21．（23-24九年级上·重庆北碚·阶段练习）已知正整数m，n，p，q满足 ，且
，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ）
① ， ， ， 是该四元方程的一组解；
②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解；
③若 ，则该四元方程有15组解；
④若 ，则该四元方程有504组解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．（23-24九年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于代数式A、B，定义新运算 ，则下列说法正
确的个数为（ ）
①若 ，则 的值为3或 ；②若方程 的解为a、b，则 的值为 ；③若关于x
的方程 有两个不相等的实数解，则 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
23．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊
香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香
液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过
一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降
价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（ ）A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
24．（22-23九年级上·重庆万州·期末）已知两个多项式 ， ，x为实数，将A、B进行加减
乘除运算：
①若A+B=10，则 ；
② ，则x需要满足的条件是 ；
③ ，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数( )，且 为整数，则 1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（2022·重庆·模拟预测）关于x，y的二次三项式 （m为常数），下列结论正确的有
（ ）
①当 时，若 ，则
②无论x取任何实数，等式 都恒成立，则
③若 ，则
④满足 的正整数解 共有25个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）已知两个多项式 、 ，（其中x为实数），
①若 ，则 ；
②存在实数x，使得 ；
③已知 ，则 的值为1562；
④当 时，若 ，则 的值为 ．
以上结论中正确的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题27．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形 （长方形的对边相等，每个角都是 ），
， ，动点 、 分别从点 、 同时出发，点 以2厘米/秒的速度向终点 移动，点 以1
厘米/秒的速度向 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为 ．
（1）当点 和点 距离是 时， ．
（2）当 ， 为直角三角形（ ）．
28．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 有两个根 ， ，且满足 ．
记 ，则 的取值范围是 ．
29．（2024九年级·全国·竞赛）若关于 的一元二次方程 至少有一个整数根，且 为正整
数，则满足条件的 共有 个．
30．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如果关于 的一元二次方程 有实数根，且关于 的分式方
程 有正整数解，那么符合条件的所有整数 的和为 ．三、解答题
31．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求
的值.
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ， ，
∴ ，∵ ，∴ .
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，
若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足 ，求 的值；
(2)设a，b满足等式 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
32．（23-24九年级上·吉林·期末）如图 ，矩形 纸片， ， ，动点 ， 分别从点 同时
出发，均以 的速度，点 沿 方向，到终点 停止运动：点 沿 方向，到终点 停止运动，
连接 ，将矩形 在 左下方的部分纸片沿 折叠得到如图 ，设点 运动的时间为 ，重叠部分图形
的面积为 ．
(1)当点 落到 边上时，求 的值；
(2)求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)当 时，若 以 为腰的等腰三角形，直接写出 的值．33．（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程 中，a，b，c是 的三条
边，其中 ．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是 ， ，且 ，求 ．
34．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 为整数，求整数m所有可能的值．
35．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方
式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即 ．例如二次三项式 通过配
方法可以变成三种形式：① （余常数项），② （余一次项），③ （余二次
项）．
诸根据阅读材料解决下列问题：
(1)填空：将二次三项式 配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）；
(2)已知方程 的两根是 和 ，不解方程，求下列代数式的值；
① ． ② ；
(3)已知 ，求 的值．36．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程 有两个实数根 ，其中 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)一次函数 的图像上有两点 ，若 ，求m的值；
(3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为 和 ，求该直角三角形的面积．
