文档内容
专题强化01：二次函数的实际应用解答题
【题型归纳】
【题型探究】
题型一：图形问题
【例1】．（25-26九年级上·山东）饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线 表示墙面）建
饲养场，已知 ， 米， 米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场
，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆 隔开），点 在线段
上．
(1)设 的长为x米，则 _____米；（用含x的代数式表示）
(2)若围成的饲养场 的面积为132平方米，求饲养场的宽 的长；
(3)围成的饲养场 的面积能否达到最大值？如果能达到，求出 的长，求出最大面积是多少；如果不能，请说明理由．
【答案】(1) (2)11米 (3)不能达到，利用见详解
【详解】（1）解：设 的长为 米，则 （米）．
故答案为： ；
（2）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答：饲养场的宽 的长为 米．
（3）解：由题意知 ，解得 ，
由（2）知围成的饲养场 的面积：
，
当 时，取得最大值 ，
但x不能取到，则围成的饲养场 的面积不能达到最大值．
【变式1】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，用总长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地
（墙足够长），矩形面积 随矩形的一边 的长 的变化而变化．
(1) 的长度为________ ，矩形场地 的面积S为_______ （用含x的代数式表示）
(2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)当 时，面积最大，最大面积是【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于根据题意正确
的列二次函数解析式，并熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）由 边长为 ，可得 ，依题意得， ，整理即可；
（2）由 ，可得 ，由 ，知 ，然后根据二次函数的图
象与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ 边长为 ，
∴ ，
依题意得， ，
∴矩形场地 的面积S为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，面积最大，最大面积是 ．
【变式2】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，
一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗
和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为x（单位： ），另一边长为 （单位： ），面积为 （单位： ）．
(1)直接写出 _____（用含x的式子表示）；
(2)直接写出 ______（用含x的式子表示），x的取值范围是_____；
(3)当x的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2) ，
(3)当 时， 取得最大值，最大面积是
【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，理解题意是解此题的关键．
（1）根据提供的木制栅栏的总长度为40米可得 ，由此即可得解；（2）根据矩形的面积公式即可得出 关于 的关系式，再结合题意求出 的取值范围即可；
（3）根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴ ；
（2）解：由题意可得： ，
∵ ，
∴ ；
（3）解： ，
∵ ，对称轴为直线 ，且 ，
∴当 时， 取得最大值，最大面积是 ．
题型二：拱桥问题
【例2】．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图所示是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系上
的示意图，点 和 ，点 和 分别关于 轴对称．隧道拱形部分 为一段抛物线，最高点 离路面 的距
离为8m，点 离路面 的距离为6m，隧道宽 为16m．
(1)求隧道拱形部分 的函数解析式；
(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面的距离7m，问；它能否安全通过这个
隧道？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】此题考查了待定系数法求解一元二次函数解析式和二次函数的实际应用，中等难度，熟悉二次函数的性
质是解题关键.
（1）求出B，C的坐标，待定系数法即可解题；
（2）利用货车的宽度求出此时允许通过的最大高度进行比较即可解题.【详解】（1）由已知得 ．
故 ．
设抛物线 对应的函数表达式为 ，
将B点坐标代入，得
，
解得 ，
所以 ．
（2）能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为 ．
如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作 于点E．
当 时， ，即 ，
所以 ．
因为 ，所以该货车能安全通过这个隧道．
【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），
跨度 为4米．在距点 水平距离为 米的地点，拱桥距离水面的高度为 米．小路同学根据学习函数的经验，
对 和 之间的关系进行了探究．
/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88经过测量，得出了 和 的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现 是关于 的
．
（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米；
（2）求 与 之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5 ，宽为1.5 ，露出水面高度为1.88 的游船．为安全起见，公园要
在水面上的 两处设置警戒线，并且 ，要求游船能从 两点之间安全通过，则 处距桥墩距离
至少为多少米．
【答案】图象见解析；二次函数；
（1）0.88；（2） ；（3） 米
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，解决本题的关键是
求解出二次函数关系式．
将表格中对应的点在坐标系下描出，可发现该函数图象为抛物线，由此可得 是关于 的二次函数．
（1）根据表格中 时y的取值即可求解高度 ；
（2）由待定系数法求解即可；
（3）先令 ，求解x的值，即可得在距点 水平距离的地点，由此可求．
【详解】解：图象如下：
由此可得 是关于 的二次函数．
故答案为：二次函数．
（1）由表格可知，当 时， ，
∵拱桥距离水面的高度为 米，
∴桥墩露出水面的高度 米；
故答案为：0.88；
（2）由（1）知，当 时， ，设 与 之间的函数关系式为 ，
由表格可知，当 时， ；当 时， ；
∴ ，解得 ，
∴ ，
与 之间的函数关系式为 ；
（3）令 ，即 ，
整理可得 ，
解得 （舍）， ，
∴ 处距桥墩距离 至少为 米．
【变式2】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
图1是一座拱桥，图2
是桥拱的示意图，某
时测得水面宽 ，
素材1 拱顶离水面 ．上游
水库开闸时，该河段
水位在此基础上会再
涨 达到最高．
国庆节，拟在图1所
示的桥拱上悬挂“庆
祝国庆”四个大字的
长方形牌匾，悬挂点
素材2 在桥拱上，牌匾长
宽 ，下沿与水面
平行，为了安全，牌
匾底部距离水面应不
小于 ．
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由．
【答案】(1)
(2)牌匾悬挂能成功，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定
系数法及二次函数的性质是解题的关键．
（1）设该抛物线的函数解析式为 ，利用待定系数法求解析式求解即可；
（2）首先求出危险高度，然后代入表达式比较求解即可．
【详解】（1）如图所示，
由题意得：顶点的坐标为 ，且抛物线经过点 ，
设该抛物线的函数解析式为 ，
∵抛物线经过点
∴
解得：
抛物线的解析式为 ；
（2）根据题意得，安全高度为 ，
∵牌匾长 ，
当 时， ，
∵ ，
牌匾悬挂能成功．
题型三：销售问题
【例3】．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查
反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价 元．
(1)用含 的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？
(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
【答案】(1) ；
(2)55元 件
(3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质
求最值．
（1）①根据题意和题目中的数据，可以用含 的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多
卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数；
（2）根据总利润 单件利润 销售量列方程求解即可；
（3）根据总利润 单件利润 销售量，可以写出 关于 的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如
何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
【详解】（1）①每件商品的利润为 元，
故答案为： ；
②每星期卖出商品的件数为： ，
故答案为： ；
（2）设每件商品降价 元，依题意得：
关于 的函数关系式是： ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
当 时，售价为 （元）．
答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．
（3）解：设总利润为 ，依题意得：
，
∴ ，
当 时， 取得最大值6750，此时售价为 （元 ，
答：当定价为55元 件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元．
【变式1】．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程
中发现，每月销售量 件与销售单价 元之间的关系可近似的看作一次函数： ；(1)设小明每月获得利润为 元，求每月获得利润 元与销售单价 元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范
围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，直接写出销售单价的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)当销售单价定为 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 元
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意．
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润 定价 进价 销售量，从而列
出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）根据题意得到 ，再利用图象法即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
即 ；
∵ ，
∴ ，
∴自变量的取值范围 ；
（2）解：对于函数
∵ ，
当 时，
答：当销售单价定为 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 元．
（3）解： ，
解方程
得： ， ．
当 时， ．
∵
当 时， ．
【变式2】．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了
长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，
三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，
A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10
件．
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件
多少元？
(3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？
【答案】(1)A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元
(2)8元
(3)实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元．
【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为 元，根据题意，得 ，解方程
即可．
（2）设降价为x元，实际售价 元，每天可售出 件，根据题意，得
，解得即可．
（3）设降价为x元，实际售价 元，每天可售出 件，销售额为y元，根据题意，得
，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函
数的最值是解题的关键．
【详解】（1）解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根．
此时 ，
答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为 元．
（2）解：设降价为x元，实际售价 元，每天可售出 件，
根据题意，得 ，
整理得 ，解得 ，
根据尽可能让顾客得到实惠， ，保留， 舍去，
故B系列产品的实际售价应定为每件 元．
（3）解：设降价为x元，实际售价 元，每天可售出 件，销售额为y元，根据题意，
得 ，
故 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，且 时，y取得最大值，且最大值为1000元．
故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元．
题型四：投球问题
【例4】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇
从球门正前方 的 处射门，当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点 ，此时球离地面 ，球门高 为
．
(1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内．
(3)点 为 上一点，且 ，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移
动 再射门，足球恰好经过 区域（含点 和 ），直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)球不能射进球门，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律：（1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为 ，设设抛物线 ，把点
代入，即可作答．
（2）依题意，当 时， ，即可作答．
（3）依题意，设佩奇带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，再把点 和点
分别代入 ，算出 的值，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示，以 为原点， 为 轴，建立如图所示直角坐标系，
，
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线 ，把点 代入得： ，解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：依题意，当 时， ，
球不能射进球门．
（3）解：设佩奇带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，
把点 代入得： ，
解得 （舍去）或 ，
把点 代入得： ，
解得： （舍去）或 ，
即 ．
【变式1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）一次足球训练中，小明从球门正前方 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为
，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动多少米射门，才
能让足球经过点O正上方 处？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为 ；球不能射进球门
(2)他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练
掌握待定系数法是解题的关键．
（1）根据建立的平面直角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把
代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ，
当 时， ，
球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，
把点 代入得 ，
解得 （舍去）， ，他应该带球向正后方移动 米射门．
【变式2】．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度
与飞出的水平距离 近似满足二次函数关系 ，且这次传球的出手高度是 ，球在运行
过程中达到最大的高度是 ．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲 处，他的最大摸高是 ， 他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不
能，他应该后退多少米才能恰好接到？
(3)球场界线在甲的传球方向前方 处，如未能成功传球，篮球是否会出界？
【答案】(1) 与 的函数关系式为 ；
(2)他应该后退 米才能恰好接到；
(3)篮球会出界．
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（ ）由题意可得二次函数图象经过点 ，顶点坐标为 ，然后利用待定系数法即可求解；
（ ）当 时，求出 的值，从而判断他在原地不能接到，然后令 时，再解方程即可求解；
（ ）当 时， ，求出 的值，然后比较即可．
【详解】（1）解：∵这次传球的出手高度是 ，球在运行过程中达到最大的高度是 ，
∴二次函数图象经过点 ，顶点坐标为 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 与 的函数关系式为 ；（2）解：当 时， ，
∴他在原地不能接到，
当 时， ，
解得： ， ，
（米），
∴他应该后退 米才能恰好接到；
（3）解：当 时， ，
解得： ， （舍去），
∵ ，
∴篮球会出界．
题型五：喷水问题
【例5】．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）公园草坪上安装了自动喷灌器，从喷水口喷出的水柱形如抛
物线．图1是喷灌器 喷水时的截面示意图．喷水口 点离地高度为 ，喷出的水柱在离喷水口水平距离为
处达到最高，高度为 ，且水柱刚好落在公园围墙和地面的交界 点处，建立如图平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)求喷灌器 与围墙的距离．
(3)现准备在公园内沿围墙建花坛，花坛的截面示意图为矩形 （如图2），其中高 为 ，宽 为 ，
请问水柱是否能落在花坛上方 边上，达到给花坛喷灌的效果，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)水柱能落在花坛上方 边上，达到给花坛喷灌的效果，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标和点A的坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出y的值为0时的x的值即可得到答案；
（3）先求出点D和点E的坐标，再求出 时x的值即可得到结论．【详解】（1）设抛物线解析式为 ，把 代入得：
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴喷灌器 与围墙的距离为 ；
（3）解：水柱能落在花坛上方 边上，达到给花坛喷灌的效果，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
在 中，当 时，解得
（舍去）或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴水柱能落在花坛上方 边上，达到给花坛喷灌的效果．
【变式1】．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时
31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，
喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，
两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时
后退10米（两条水柱的形状及喷水口 ， 到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此
时两条水柱相遇点 距地面多少米？【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点 距地面19米
【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点 、 的坐标，设设经过点A，B，H
的抛物线的解析式为 ，将点 、 的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点 ，
的抛物线解析式，得出 的纵坐标即可解题．
【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为 ，
根据题意得 ， ，将其代入 得：
解得 ， ，
，
经过点 ， 的抛物线是由抛物线 向右平移得到的，
经过点 ， 的抛物线的顶点为 ，
经过点 ， 的抛物线的解析式为 ，
将 代入 得， ，
消防车后退10米后两条水柱相遇点 距地面19米．
【变式2】．（25-26九年级上·江西上饶·阶段练习）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地面竖
直高度为 米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的
部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，若下边缘抛物线
是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 米，高出喷水口 米，与
轴交于点 ，点 距喷水口的水平距离为 米，灌溉车到绿化带的距离 为 米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)下边缘抛物线与 轴的交点 的坐标为______；
(3)若 米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程
的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点 得，设 ，再根据抛物线过点 ，可得 的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点 的对称点为 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 米得到的，可
得点 的坐标．
（3）根据 米， 米， 米，可求得点 的坐标为 ，当 时，求出 的值，
再与 比较，从而得出答案．
【详解】（1）解：
∴抛物线顶点为 ，
设其解析式为：
喷水口H的坐标为 ，代入上式得：
，
解得： ，上边缘抛物线的函数解析式为 ．
（2）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
当 时， ，
解得 (舍去)，
∴点 的坐标为 ，
∴下边缘抛物线与x轴的交点B的坐标为 ．
（3）解：能，理由如下：
∵ 米， 米， 米，
∴点 的坐标为 ，
当 时， ，
当 时， 随 的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
题型六：增长率问题
【例6】．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过
月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润）
XX企业2024年1-4月净利润表
经过月数（x） 1 2 3 4
净利润数（y） -9 -16 -24
(1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）；
(2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，
公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来；
(3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025
年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将
从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的
总盈亏情况．（计算时保留一位小数）【答案】(1)
(2)空格处应填 ；17.5；10；3
(3)当 时， ，盈利，
当 时，不亏损也不盈利，
当 时， ，亏损．
【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解方程即可；
（2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解；
（3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可．
【详解】（1）设二次函数解析式为 ，
，
所以函数解析式为 ；
（2）由（1）知函数解析式为 ，
当 时， ，
故空格处应填 ；
（万元），
所以1-4月平均每月亏损17.5万元，
故答案为：17.5；
令 ，解得 ，
所以到2024年10月起，公司当月不再亏损，
故答案为：10；
因为 ，所以 ，
则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利，
11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元，
2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元，
从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元，理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来，
故答案为：3；
（3）由（2）可知2024年总利润为 万元，
初始宣发资金为 （万元），
则每月的净利润数为 ，
当 代入求和可得2025年第一季度末的净利润为
，
所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为：
，
所以当 时， ，盈利，
当 时，不亏损也不盈利，当 时， ，亏损．
【变式1】．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售
500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第
二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的 交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的
每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量 ，即
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为 元，销售数量为 件，根据每件盈利（毛
利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为 元，每天总纯利润为
元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴ ，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得： ， ，
∵要使顾客得到实惠，
∴ ，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得： ，
∴ ，
答：每件涨价应为8元．
【变式2】．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、
技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为
元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为 ，经过两次降价后的价格为 （元）．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为 元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格 原价 每次降价的百分率 ，即可找出 与 之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为 元，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的
值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为 ，经过两次降价后的价格为 （元）
∴依题意得： ，∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）依题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找
出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
题型七：图形运动问题
【例7】．（25-26九年级上·四川·阶段练习）如图， 是 的对角线， ， ，
．动点 从点 出发，以 的速度沿 运动到终点 ，同时动点 从点 出发，以 的速度沿
折线 向终点 运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点 作 ，交射线 于点 ，连
接 ，以 与 为边作 ．设点 的运动时间为 ， 与 重叠部分图形的面积为 ．
(1) _____ （用含 的代数式表示）；
(2)当点 落在边 上时，求 的值；
(3)求 与 之间的函数关系式．
【答案】(1) (2) 秒(3)
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ；故答案为∶ ；
（2）解∶ 如图1，当点F落在边 上，
由题意得： ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
则当点F落在边 上时，t的值 秒；
（3）解∶ ①当 时，Q在 上，如图1，过P作 于M，则 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；②当 时，Q在 上，如图3，过Q作 于H，
∵ ，
∴ ），
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
③当 时，如图4，Q在 上，
同②知： ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，综上，S与t之间的函数关系式为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，平行四边形的动点问题，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式1】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）在 中， ，点
从点 沿 方向以 的速度运动，同时点 从点 沿 方向以 的速度运动，连接 ．设运动时间
为 ．
(1) ___________， ___________（用含t的代数式表示）；
(2)求四边形 的面积 与 的关系式，并求出 为何值时， 最大，并求出最大值．
(3)是否存在某一时刻 ，使点 在线段 的垂直平分线上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；当 时，S有最大值，最大值为 ；
(3)
【详解】（1）解：由题意得， ，
∵ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
，∴ ，
∵ ，
∴当 时，S随t的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ；
（3）解：当点P在线段 的垂直平分线上时， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去）．
∴当 时，点P在线段 的垂直平分线上．
【变式2】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，点P从点A开始沿 边向点B移动，速度为 ；点Q从点B开始沿 边向点C移动，速度为
，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
(1)是否存在时间t，使得直线 平分 的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(2)经过多少秒后，四边形 的面积最小，最小是多少？
【答案】(1)不存在时间t，使得直线 平分 的面积，理由见解析
(2)经过 后，四边形 的面积最小，最小是【详解】（1）解：不存在时间t，使得直线 平分 的面积，理由如下：
假设存在时间t，使得直线 平分 的面积，
根据题意得： ，
∴ ，
∵直线 平分 的面积，即 ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
此时 ，
∴该方程无解，
即不存在时间t，使得直线 平分 的面积；
（2）解：根据题意得： ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，四边形 的面积最小，最小是 ，
即经过 后，四边形 的面积最小，最小是 ．
【专题训练】1．（2026九年级·广西·专题练习）某商家销售一种成本为30元／件的商品，当售价定为40元／件时，每天可
销售400件，根据经验，销售单价每上涨1元，每天的销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过 ．
(1)每天的销量 （件）与当天的售价 （元／件）满足的函数关系式为________；（不用写出自变量的取值范
围）
(2)当售价定为多少时，商家销售该商品每天获得的利润最大？求出最大利润．
【答案】(1)
(2)当售价定为48元／件时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为 元．
【分析】（1）根据售价与销量的变化关系，列出销量 与售价 的函数关系式；
（2）先根据利润率限制确定售价的取值范围，再根据利润公式列出二次函数，根据二次函数的性质求最大利润．
【详解】（1）解：由题意，售价为 元/件时，上涨了 元，则销量减少 件，
，
故答案为： ．
（2）解：设每天的利润为 元，
，
，
单件商品的利润率不能超过 ，
，即 ，
二次函数 的二次项系数 ，
在 时， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值，
当售价定为 元/件时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为 元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握根据题意列出函数关系式，结合二次函数性质和限制条件求最值是
解题的关键．
2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
开始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．如果 ，
两点分别从 ， 两点同时出发，那么 的面积 随出发时间 变化而变化．(1)写出 关于 的函数解析式及 的取值范围．
(2)当运动时间 为何值时， 的面积 能否达到 ？若能，求出 值；若不能请说明理由．
(3)当运动时间 为何值时， 的面积 能否达到 ？若能，求出 值；若不能请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)经过1秒或5秒， 的面积为
(3) 的面积不能达到
【分析】本题考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的
长是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间，可得 、 的长，从而得出 的面积.
（2）由（1）得，列方程为 ，解一元二次方程即可．
（3）由（1）得，列方程为： ，解一元二次方程即可.
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
S关于 的函数解析式为： ；
的取值范围是： ．
（2）解：设经过 秒， 的面积为 ．
∴ 即 ，
解得：
答：经过1秒或5秒， 的面积为 ．
（3）解：设经过 秒， 的面积为 ．
∴ 即 ，
∴ ，∴方程无解，
∴ 的面积不能达到 ．
3．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）某跳水运动员在进行一次跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动
路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板 长为2米，跳板距水面 高 为3米，为安全和空中姿势优美，训
练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以 为横轴, 为纵轴建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)图中 米, 米，若跳水运动员在区域 内入水时才能达到训练要求，试通过计算说明这次跳水
是否能达到要求．
【答案】(1)
(2)这次跳水能达到要求
【分析】本题考查了二次函数的实际应用（抛物线型运动轨迹问题），解题的关键是根据题意建立直角坐标系，
确定抛物线的顶点坐标与已知点坐标，利用顶点式求解析式，再通过函数值求解实际问题．
（1）先根据题意确定直角坐标系：以 为横轴、 为纵轴，结合“跳板 长2米、 米”及“离起跳点
水平距离1米时达最大高度4米”，得出抛物线顶点坐标为 ，起跳点 坐标为 ；设抛物线顶点式
，将点 坐标代入，求解 的值，即可得到抛物线解析式．
（2）先明确“入水”对应函数值 ，将 代入抛物线解析式，求解对应的 值（即入水点的水平坐标）；再
根据 米、 米确定合格区域的范围，判断入水点的水平坐标是否在该范围内，进而说明能否达到训
练要求．
【详解】（1）如图所示：可得抛物线顶点坐标 ，设抛物线解析为： ，
则 ，解得： ，
故抛物线解析式为： ．
（2）解：由题意可得：当 ，则 ，
解得： ，
故抛物线与x轴交点为： ，
则这次跳水能达到要求．
4．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销
量 （盒）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价 （元） … 60 65 70 …
周销量 （盒） … 240 210 180 …
(1)求 关于 的函数表达式．
(2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
(3)若规定销售单价需满足 ，则每周至少可获得多少利润．
【答案】(1)
(2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元
(3)每周至少可获得3000元的利润．
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用：
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润；
（3）由（2）每周出售这种糕点所获利润 ，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即
可解答．【详解】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为 ，
∴ ．
∴ ．
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：设销售利润为W元，
由题意，可得每周出售这种糕点所获利润
，
∵ ，
∴当 时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元；
（3）解：由（2）每周出售这种糕点所获利润
又∵ ，
∴当 时，所获利润最小为3000元；当 时，所获利润最大为5400元．
∴销售单价需满足 ，则每周至少可获得3000元的利润．
5．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以
发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运
行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线 ，当火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级，
火箭第二级沿直线 运行．
若火箭第二级的引发点的高度为 ．
(1)求两段路径所在函数解析式；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
【答案】(1) ， ；(2)两个位置之间的距离
【分析】此题考查了二次函数的实际应用．
（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ，
∴抛物线 和直线 均经过点 ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴函数解析式分别为： ， ；
（2）解： ，
∴最大值 ，
当 时，则 ，
解得 ， ，
又∵ 时， ，
∴当 时，则 ．
解得 ，
，
∴这两个位置之间的距离 ．
6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一
电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与
距离停车棚支柱 的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数 的图象，支柱 ，最
外端点B的坐标为 ．若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长 ，高
的矩形．(1)直接写出该二次函数的表达式．
(2)判断此纯电货车_____（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由．
(3)为确保在车棚内能容纳长5m、高2.4m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使
用原来的棚顶，采用抬高支柱 的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
(3)抬起的高度至少需要大于 米
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应
是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意得，点F的横坐标为 ，当 时， ，即可求解；
（3）设提高n米，则新抛物线的表达式为： ，由题意得，车最左上端 对应 中 的
横坐标为 ，当 时， ，则符合要求，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
则抛物线的表达式为： ，
将点B的坐标代入上式得： ，
解得 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）能，理由：
由题意得，点F的横坐标为 ，
当 时， ，
故纯电货车能完全停到车棚内，
故答案为：能；（3）设提高n米，
则新抛物线的表达式为： ，
由题意得，车最左上端 对应 中 的横坐标为 ，
当 时， ，则符合要求，
当 时， ，
则 ，
故抬起的高度至少需要大于 米．
7．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）2025年7月20日，六安市青少年体育联赛中学生篮球比赛圆满落下
帷幕，六安市第九中学男、女篮球队一路奋勇拼搏，分别荣获冠、亚军的佳绩，跟队员们平时的刻苦训练是分不
开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过
的运动路线可以看作是抛物线 的一部分．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地
面的距离 ，最高点B的坐标为 ，篮筐中心距离地面的竖直高度是
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离 为 时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)这次投篮训练能成功，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为 ，然后点 代入求得 即可解答；
（2）令 ，求y的值，然后与 比较即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：抛物线过点 ，顶点B的坐标为 ，设抛物线的解析式为 ，
将点 ，代入可得：
，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式 ．
（2）解：这次投篮训练能成功，理由如下：
令 ，则 ，
，
这次投篮训练能成功．
8．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运
动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点 和点 处，测得 距离为 ．若以点 为原点， 所
在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面 的点 处将沙包抛出，小林在点 处接住，
运动轨迹如图中 ；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中 ．轨迹 中，测得沙包的水平距离 （单位：
）与竖直高度 （单位： ）的几组数据如下：
水平距离
0 2 4 6 8
竖直高度
1.0 2.5 3.0 2.5 1.0
请根据以上数据，解决问题：
(1)①抛物线 中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______ ；
②求 与 满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹 近似满足函数关系式： ．小伟在 轴上方 的高度上，且到点 水平距离不超过 的范围内接到了沙包，则 的取值范围是______．
【答案】(1)（1）①3；②
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线 的解析式为 ，把 代入解方程即可得到结
论；
（2）根据题意得到接球位置的坐标范围是 ，把这两点代入函数解析式分别得到 和 ，于是
得到结论．
【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为 ，
∴抛物线 中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m，
故答案为：3；
②设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ；
故 与 满足的函数解析式 ．
（2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，
∴此时，接球位置的坐标范围是 ，
当经过点 ， ，
解得： ，
当经过点 时， ，
解得： ，∴b的取值范围是 ．
故答案为： ．
9．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段练习）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火
箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿
直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的
直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 其中，当火箭运行的水平距离
为 时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级的引发点的高度为 ．
(1)求出a，b的值；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度为 ，求这两个位置之间的水平距离．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次
函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将 代入即可求解．
（2）将 变为 ，即可确定顶点坐标，即最高点 ，结合 ，进
而对应的x的值，然后进行比较再计算即可．
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ，
∴抛物线 和直线 均经过点 ，
∴ ， ，
解得 ， ．
（2）解：由①知， ， ，∴ ，
∴最大值 ，
当 时，
则 ，
解得 ， ，
又∵火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
∴ 不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度 时，则 ，
解得 ，
，
∴这两个位置之间的距离 ．
10．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．点P
从点A出发，沿 向点B以 的速度移动，同时点Q从点B出发，沿 向点C以 的速度移动，设运动
时间为t（秒）．
(1)用t的代数式表示： _________， _________
(2)线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．
(3)若点P从点A出发，沿射线 方向以 的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线 方向以 的速
度移动，请直接写出经过多少秒后 的面积为 ？
【答案】(1) ；
(2)不能，理由见解析(3) 秒或 秒或 秒
【分析】本题是三角形的综合题，考查了一元二次方程的应用和几何动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，
根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）先求得 ，要使得 将 分成面积相等的两部分，则 ，根据三角形面积公式代
入求解即可；
（3）由题知 ，再根据面积公式表示面积求解即可．
【详解】（1）根据题意， ，则 ，
故答案为： ； ．
（2）不能，理由如下，
，
又 将 分成面积相等的两部分，
所以 ，
即 ，
，方程无解，
故线段 不能将 分成面积相等的两部分．
（3）根据题意 秒后， ，
，
或 ，
即 ，解得 或 ，
或 ，解得 ，
综上，经过 秒或 秒或 秒后， 的面积为 ．
11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间 …（单位：
）
滑行速度
（单位： …
）
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度 与滑行时间 之间满足一次函数关系．滑行距离 平均速度 时间
， ，其中 是初始速度， 是 秒时的速度．
(1)直接写出 关于 的函数解析式以及 关于 的函数解析式；
(2)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了 ，求此时飞机的滑行速度；
(3)求飞机滑行的最远距离．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数和一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，求自变量值，理解函数与方程的
联系是解题的关键．
（1）设 关于 的函数解析式为 ，利用待定系数法求解，令 ， 即可求出 的取值范围；根据滑行距
离 平均速度 时间 ， ，将所求得的 关于 的函数解析式代入即可得到 与时间 的关系式；
（2）令 ，解一元二次方程即可得解 的值，将 的值代入 关于 的函数解析式中即可求得此时飞机的滑
行速度；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设 关于 的函数解析式为 ，由题意可得：
， 解得 ，
，
，
， 解得 ，
，
；
（2）解：当飞机在跑道起点处着陆后滑行了 ，即 时，有 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
此时 ，
答：此时飞机的滑行速度是 ．
（3）解： ，
，
当 时， 取最大值， ，
飞机滑行的最远距离为 ．
12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎
接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量 （把）与
单个售价 （元）之间的函数关系如图．
(1)根据图象，求出 与 的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）设 与 的函数关系式为 ，利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）设每天的利润为 元，根据“利润 （销售单价 成本单价） 销售量”可得 关于 的函数关系式，再利
用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设 （ ， 为常数），
将点 ， 代入得： ，解得： ，
与 的函数关系式为 ；
（2）解：设每天获得的利润为 元，
由题意得：
，
，抛物线开口向下，
∴当 时， 有最大值， ．
∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元．
13．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 米，从 点
向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为 轴，点 为原点建立平面直角坐标系，点
在 轴上．已知在与池中心 点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．
(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)身高为 的小颖站在距离喷水管 的地方，她会被水喷到吗？
【答案】(1)
(2)她不会被水喷到
【分析】本题考查二次函数实际应用及求抛物线解析式，解题的关键是根据图像及题意提取相关信息．
（1）根据图像设抛物线解析式为 ，根据题意将点 代入即可得到答案；
（2）计算当 时 的值，与 比较即可得到答案；
【详解】（1）解：设拋物线解析式为 ，
由图像可得， ，图像过 ，
，解得： ，
．
（2）解：当 时， ，
∴她不会被水喷到．
14．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，斜坡 上种有若干树木，底部有一喷水管 ，某时刻从
B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点 ，点 ．已知喷
水管 及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ．
(1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标．
(2)若抛物线恰好过小树 的树顶N，点M在斜坡 上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标．
(3)若 ， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物
线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据 在抛物线上建立方程组求解 并将解析式整理成 的形式即可
得解；
（2）先求出直线 的解析式，进而设 ，根据题意得到点 在 中垂线上，进而由中垂线性质
（若 为 中垂线，则 且 与 交点为 中点）解得 ，得到 ，根据点 在抛物线上即
可建立方程求解；（3）取 ，表示任意位置的小树高，设 ，根据题意得到直线 与
抛物线 在区间 上有两交点， 为靠左一点的横坐标，注意到 ，即可结合一元二次方
程求根公式通过计算求解；
【详解】（1）解：点 ，点 在抛物线 上，
，
解得： ，
∴拋物线方程为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵点 ，点 在 轴上，
，
，
∴设直线 的解析式为 ，即 ，解得： ，
故直线 的解析式为 ，
∵点 在直线 上，
设 ，
∵ 轴，
∴点 在 中垂线上，故 ，
解得： ，
，∵点 在抛物线上，
∴ ，整理得： ，
解得： （舍）或 ，此时 ，
．
（3）解：令 ，
则 表示小树高，
设 ，则 在 上有两解，且 为其中较小解，
即直线 与抛物线 在 上有两交点，
当 时， ，
令 ，得 或 （舍去），
，
又 ，
对称轴为 ，
为直线 与抛物线 两交点中靠左一点的横坐标，故 ，
综上， ；
【点睛】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解一元二次方程，中
垂线的性质，等知识点，解题的关键是理解题意．
15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出 ，
两种文创纪念品．已知2个 纪念品和3个 纪念品的成本和是155元；4个 纪念品和1个 纪念品的成本和
是135元．一套纪念品由一个 纪念品和一个 纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元
（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每
降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为 （元），每套纪念品的售价为 元（ 且 为整
数）．(1)分别求出每个 纪念品和每个 纪念品的成本；
(2)求当 为何值时，每天获利910元；
(3)请直接写出每天的利润 的最大值．
【答案】(1)每个A 纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元
(2)当 元时 每天获利910元
(3)1000元
【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程及二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是
155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出 关于 的函数表达式，令 ，得到关于a的一元二次方程，解方程即可；
（3）将 关于 的函数表达式化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：每个A 纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元；
（2）解： ，
令 ，则 ，
整理得 ，
解得 ， ，
，
当 元时 每天获利910元．
（3）解： ，
，
当 元时， 取最大值1000．
即每天的利润 的最大值为1000元．
16．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）综合与实践
【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图
形，不妨简称为“锅线”．
【建模分析】锅口直径为 ，锅深 ，锅盖高 （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为 中，把锅盖纵断面的抛物线记为 ．
【解决问题】
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如果炒菜时锅的水位高度是 ，求此时水面的直径（结果保留根号）；
(3)如果将一个底面直径为 ，高度为 的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说
明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)锅盖能正常盖上，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质。
（1）设抛物线 的解析式为 ，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据炒菜时锅的水位高度是 ，建立方程求解，即可解题；
（3）将底面直径为 ，高度为 的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内，得到 时， 的函数值，进
而得到其函数值之差，将差与圆柱形器皿的高进行比较，即可解题。
【详解】（1）解：设抛物线 的解析式为 ，
由题知 ，
解得 ，即抛物线 的解析式为 ；
（2）解： 炒菜时锅的水位高度是 ，
此时 ，
将 代入 中，
有 ，
解得 ，
此时水面的直径为 ；
（3）解：锅盖能正常盖上，理由如下：
将底面直径为 ，高度为 的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内，
当 时， ， ， ，
，
锅盖能正常盖上；
17．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图， 为等边三角形， ，点M从点A出发沿射线
运动，点N从点B出发沿射线 运动，点M与点N同时出发，速度都是每秒2个单位．连接 ，设M，N两点的
运动时间为t秒， 的面积为y．
(1)求t为多少时， 是直角三角形；
(2)当点M在线段 上运动时，求y的最大值；
(3)在点M，N运动过程中，存在三个间隔相等的时刻 ， ， （ ， ），使得 的面积
都等于m，求m值．
【答案】(1)当 或 时， 是直角三角形；(2)y的最大值为 ；
(3) ．
【分析】（1）利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（2）利用直角三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式求解即可；
（3）分 和 两种情况，求得y关于 的函数解析式，画出图象，题目可理解为 时，对应的 有3个
不同的值，分别为 ， ， ，且 ，分别解方程 和 ，求得 ， ， ，
求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
当点M在线段 上运动时，即 ，则 ， ，
当点M在线段 延长线上运动时，即 ，则 ， ，
此时 是钝角， 不存在直角三角形，
只有当点M在线段 上运动时， 才存在直角三角形；
当 时，
∵ 为等边三角形， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
当 时，
∵ 为等边三角形， ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得 ；
当 或 时， 是直角三角形；
（2）解：∵点M在线段 上运动，
∴ ，
作 于点 ，
∵ 为等边三角形， ，∴ ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为 ；
（3）解：由（2）知，当 时， ，
当 时，作 于点 ，
， ，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
其图象如图，
题目可理解为 时，对应的 有3个不同的值，分别为 ， ， ，且 ，
则图象知 ，
令 ，
整理得 ，
，
∴ ，
解得 ， ，
令 ，
整理得 ，
，
∴ ，解得 （舍去）， ，
∵ ，∴ ，即 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题．
