文档内容
专题强化03：二次函数的图像和性质、方程与不等式
【题型归纳】
题型一：二次函数的图像和性质
题型二：二次函数 的图像和性质
题型三：二次函数图像和系数的关系
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
题型五：二次函数的对称性问题
题型六：二次函数的最值问题
题型七：二次函数的最短路径问题
题型八：二次函数的平移问题
题型九：求二次函数解析式问题
题型十：二次函数与一元二次方程
题型十一：二次函数和不等式问题
【题型探究】
题型一：二次函数的图像和性质
【例1】．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．与 轴的交点坐标
C．与 轴有两个交点 D．顶点坐标
【变式1】．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）关于二次函数 的性质，下列说法错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴是
C．该函数的最小值为 D．当 时， 随 的增大而减小
【变式2】．（23-24九年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中
错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线
B． 的最小值为5
C．当 时， 的值随 值的增大而减小
D．抛物线与 轴的交点坐标为题型二：二次函数 的图像和性质
【例2】．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数 部分自变量 与函数值 的对应值如下
表所示：
… …
… …
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当 时， 的取值范围是____________．
【变式1】．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）二次函数 的部分图象如图， 其中图象与 轴交于点
， 与 轴交于点 ， 且经过点 ．(1)求此二次函数的解析式
(2)图象过三点 ， 比较 的大小．（用 <连接）
(3)直接写出不等式 的解集；
题型三：二次函数图像和系数的关系
【例3】．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴
为直线 ，给出以下结论： ① ；② ；③ ；④若 、 为函数图
象上的两点，则 ；⑤当 时， ， 其中正确的结论是（ ）．（填写代表正确结论的序号）
A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤
【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数 的图象如图所示，在下列
五个结论中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴是
，结合图象分析下列结论：① ；② ；③一元二次方程 的两根分别为
；④ ；⑤若两点 在二次函数图象上，则 ；⑥ ；其中正确的
结论有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
【例4】．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 （ ）和二次函数（ ）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型五：二次函数的对称性问题
【例5】．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象经过点
， ， ， ，其中 ， 为常数，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数 图象的一部分，其对称轴是直线
，且过点 ，下列说法：① ；② ；③ ；④若 是抛物线上的
两点，则 ．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【变式2】．（2025·福建泉州·模拟预测）抛物线 图象上有三点 ， ，
．其中 ， ， ，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线B．若 ， 、 、 三点在对称轴的同一侧
C．当 ，存在
D．当 ，总有
题型六：二次函数的最值问题
【例6】．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数 ， ，当 时，函数 的最小值
是m，函数 的最小值是n，则 ．
【变式1】．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数 ，当 时，y的最大值为9，则k的
值为 ．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ，当 时， 的取值范
围是 ．
题型七：二次函数的最短路径问题
【例7】．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，点B的坐标为 ．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，则点P的坐标为 ．
【变式1】．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 是抛物线的对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．【变式2】．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，
对称轴是直线 ，点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为 ．
题型八：二次函数的平移问题
【例8】．（23-24九年级上·青海西宁·期中）抛物线 向下平移2个单位，再向左平移3个单位后
所得到的抛物线的解析式是 ．
【变式1】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数 向上平移 个单位长度（ ），如果
平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么 应满足条件 ．
【变式2】．（2025·四川广元·三模）已知二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个
单位长度得到抛物线 ， ， 在抛物线 上，则 （填“ ”“ ”或“ ”）．题型九：求二次函数解析式问题
【例9】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．
(1)已知抛物线顶点为 ，且过点 ；
(2)已知抛物线 经过点 和 ．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点 ， 和 ；
(2)图象顶点坐标为 ，且经过点 ．
【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知 是 的二次函数， 与 的部分对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当 时， 的取值范围为_____．
(3)将该函数图象沿直线 翻折，所得图象的函数表达式为_____．
题型十：二次函数与一元二次方程
【例10】．（23-24九年级上·广西梧州·阶段练习）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x
的一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．【变式1】．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，二次函数 （ 为常数）的图象与 轴的
一个交点坐标为 ，则关于 的一元二次方程 （ 为常数）的实数根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州）如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，
则方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
题型十一：二次函数和不等式问题
【例11】．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线
，若该抛物线与x轴的一个交点为 ，则由图象可知，不等式 的解集为（ ）A． B． C． D． 或
【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【变式2】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：
① ；② ；③ ；④关于 的方程 有两个不相等的实数根；⑤不等式
的解集为 ，其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【专题训练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标为
C．对称轴为直线 D．当 时，y随x的增大而减小
2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）已知抛物线 经过 ， ，
三点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（25-26九年级上·重庆潼南·阶段练习）关于二次函数 ，下列命题错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴为
C．与y轴交点坐标为D．用配方法得到的解析式为：
5．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，则以下五个结论中 ，
正确的 有 （ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交
于点 ，小红同学得出了以下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ；⑤
．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错
误的是（ ）
A． 的最大值是1
B．对称轴为直线
C．它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当 时， 随 的增大而减小10．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，二次函数 的函数图象经过点 ，且与
轴交点的横坐标分别为 ，其中 ，下列结论：① ；② ；③ ；
④当 （ ）时， ；其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（25-26九年级上·福建·阶段练习）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，则
．
12．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽
车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为 ，滑行的最
远距离是 米．
13．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数 与一次函数 的图象
相交于点 ， ．如图所示，则能使 成立的x的取值范围是 ．
14．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数 的部分图象如图，对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ，与 轴的另一交点为 ；方程 的根为 ．15．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在正方形 中，点B，C的坐标分别是 ， ，点D
在抛物线 的图像上，则b的值是 ．
三、解答题
16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数 （m为常数）．
(1)若点 在该函数图象上，则 ______；
(2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图象上有两个点 、 ，当 时，直接写出p的取值范围．
17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 、 两点，
与 轴交于点(1)求抛物线的解析式；
(2)若 是该抛物线上一点，使得 ，求 点坐标．
18．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
，顶点为 D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线 下方的抛物线上，是否存在一点 ，使得 的面积为 ？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
19．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数 的图象与二次函数 的图象交于点
和 ，与 轴交于点 ．(1)求 的值：
(2)求 的面积；
(3)直接写出 时， 的取值范围．
20．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为 ，拋物线与 轴交于点 ，与
轴交于C、D两点（点 在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当 时， 的取值范围是 ；
(3) 是抛物线上 轴上方的一个动点，当 的面积为7时，求点F的坐标；
(4)当 的值最小时，求点P的坐标．
