文档内容
专题强化03：二次函数的图像与系数、不等式、对称性和最值
【题型归纳】
题型一：二次函数的图像和性质
题型二：二次函数 的图像和性质
题型三：二次函数图像和系数的关系
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
题型五：二次函数的对称性问题
题型六：二次函数的最值问题
题型七：二次函数的最短路径问题
题型八：二次函数的平移问题
题型九：二次函数与一元二次方程
题型十：二次函数和不等式问题
【题型探究】
题型一：二次函数的图像和性质
1．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的
是（ ）
A．y的最大值是1
B．图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线
C．它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当 时，y随x的增大而减小．
2．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数 的图象，它们
图象的共同特点是（ ）
A．都是关于 轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点
C．当 时， 随 的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点
3．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作
轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ，则以下结论：
①无论 取何值， 的值总是正数；② ；③当 时， ；④ ．
其中正确结论是（ ）A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
题型二：二次函数 的图像和性质
4．（2024九年级下·全国·专题练习）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是 B．对称轴是直线
C．抛物线有最高点 D．抛物线与 轴有两个交点
5．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．函数的有最小值，最小值为
C．点 在函数图象上，当 时，
D．函数值y随x的增大而增大
6．（23-24九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图象顶点在
轴上，当图象经过点 ， 时， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
题型三：二次函数图像和系数的关系
7．（2024·四川成都·模拟预测）对称轴为直线 的抛物线 (a，b，c为常数，且 )如图所示，
小明同学得出了以下结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤ (m为任意
实数)，⑥当 时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
8．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③若实数 ，则 ；
④若 ，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024·山东日照·二模）已知二次函数 （ ）与x轴的一个交点为 ，其对称轴为直线
，其部分图象如图所示，有下列5个结论：① ，② ；③ ；④若关于x的方程
有两个实数根 ，且满足 ，则 ， ；⑤直线 （ ）经过点 ，
则关于x的不等式 的解集是 ．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
10．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 ，
两点，则二次函数 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
11．（23-24九年级上·黑龙江黑河·期末）一次函数 与二次函数 在同一直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）如图，在同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图像
大致是（ ）
A． B． C． D．
题型五：二次函数的对称性问题
13．（23-24九年级下·陕西西安·期中）若抛物线 与x轴只有一个交点，且过点 ， ，
则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
14．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）点 ， 是抛物线 上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）若二次函数 的图象经过 、 、 、
、 ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型六：二次函数的最值问题
16．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数 （m为常数）的图象经过
，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7
17．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数 ，当 时， ，若 的最小值为2，则
m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
18．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数 ，当 时，函数 有最小值 ，则b的
值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D． 或
题型七：二次函数的最短路径问题
19．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点
是对称轴上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ）A．2 B． C． D．
20．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为1，2；在
轴上有一动点 ，当 最小时，则点 的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
21．（2022九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）
的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值
是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
题型八：二次函数的平移问题
22．（23-24九年级上·福建漳州·期末）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所
得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．23．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是
，原函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
24．（23-24九年级上·山东青岛·期末）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所
得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
题型九：二次函数与一元二次方程
25．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数 的图象过点 ，方程 的
解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
26．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知抛物线 上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 0 3 …
①抛物线 的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线 ；③方程 的根
为0和2；④当 时，x的取值范围是 或 以上结论中其中的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
27．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数 图象的对称轴为直线 ，部分图象
如图所示，以下结论中：① ；② ；③ ；④若t为任意实数，则有 ；⑤若
图象经过点 时，方程 的两根为 （ ），则 ，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
题型十：二次函数和不等式问题
28．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数 图象的一部分，与x轴的一个交点为
，对称轴为直线 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
29．（23-24九年级上·重庆黔江·期末）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，B(0,3)
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
30．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线相交于点A， ，结合图象，判断下列结论：①当 时， ；② 是方程 的一个解；
③ 时，函数 有最大值；④对于抛物线 ，当 时， 的取值
范围是 .其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【专题训练】
一、单选题
31．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．在对称轴左侧y随x的增大而增大
D．顶点
32．（23-24九年级上·四川南充·期末）抛物线 经过点 和 ，顶点坐标为 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（23-24九年级上·河北保定·期中）把抛物线 先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物
线是（ ）
A． B．
C． D．34．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，若 ， ，
为抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
35．（22-23九年级上·广西百色·期末）已知二次函数 的部分图像如图所示，若关于 的一元二次方
程 的一个解为 ，则另一个解是（ ）
A． B． C． D．
36．（2024·江苏扬州·模拟预测）函数 和函数 （ 是常数，且 ）的图象可能是（
）
A． B． C． D．
37．（2024·山东青岛·一模）如图为二次函数 的图象，有下列四个结论： 若 ，
分别是抛物线上的两个点，则 ； ； ； ．其中正确的个数是
（ ）A． B． C． D．
38．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数 ，图象的一部分如图所示，该函数图象
经过点 ，顶点坐标为 ．对于下列结论：① ；② ；③若关于x的一元二次方程
无实数根，则 ；④ ）（其中 ）﹔⑤若A(x ,y )和B(x ,y )均
1 1 2 2
在该函数图象上，且 ，则 ．其中正确结论有（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
39．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线 与 的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点
A，B，C的横坐标分别为 ， ， ，且 ．若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·甘肃武威·二模）已知二次函数 （ 为非零常数， ），当 时， 随 的增大而增大，则下列结论①若 时，则 随 的增大而减小；②若图象经过点 ，则 ；③若
， 是函数图象上的两点，则 ；④若图象上两点 ， 对一切正数 ．总
有 ，则 ．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题
41．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）若关于x的一元二次方程 的一根 ，另一根 ，
则抛物线 的顶点到x轴距离的最小值是 ．
42．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一条抛物线（形状一定）与 轴相交于E、F两点（点E在点F左
侧），其顶点 在线段AB上移动，若点 、 的坐标分别为 、 ，点 的横坐标的最小值为 ，则点
的横坐标的最大值为 ．
43．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数 的图象分别交于
点 ， ．则关于 的方程 的解为 ．
44．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论：
① ;② ;③ ;④ ;⑤方程 两根的和为2．其中正确的有．
45．（2024九年级下·新疆·专题练习）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 在
抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为 ．
三、解答题
46．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过 ，
两点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)记抛物线与y轴的交点为D，求 的面积．
(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时 周长最小？
47．（2024·浙江·一模）已知二次函数 的图象与y轴相交于点 ．
(1)若 ，求该二次函数的最小值；(2)若 ，点 都在该函数的图象上，比较 和 的大小关系；
(3)若点 都在该二次函数图象上，分别求 的取值范围
48．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点 ， ，且 ， ．
①当 时，直接写出 ， 的大小关系；
②若对于 ，都有 ，直接写出 的取值范围．
49．（23-24九年级上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线
上．
(1)当 时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线 经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大而增大，求a的
取值范围；
(3)当 时，点 ， 在抛物线 上．若 ，请直接写出m的取值范围．
