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专题强化03：二次函数的图像与系数、不等式、对称性和最值
【题型归纳】
题型一：二次函数的图像和性质
题型二：二次函数 的图像和性质
题型三：二次函数图像和系数的关系
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
题型五：二次函数的对称性问题
题型六：二次函数的最值问题
题型七：二次函数的最短路径问题
题型八：二次函数的平移问题
题型九：二次函数与一元二次方程
题型十：二次函数和不等式问题
【题型探究】
题型一：二次函数的图像和性质
1．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的
是（ ）
A．y的最大值是1
B．图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线
C．它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当 时，y随x的增大而减小．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】解：二次函数 ， ，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点为 ，当 时，y有最大值1，当 时，y的值随x
值的增大而减小，当 时，y的值随x值的增大而增大；
故选项A、B的说法正确，D的说法错误；
根据平移的规律， 的图象向右平移2个单位长度得到 ，再向上平移1个单位长度得到
；
故选项C的说法正确，故选：D．
2．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数 的图象，它们
图象的共同特点是（ ）
A．都是关于 轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点
C．当 时， 随 的增大而增大
D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图
象与性质逐项判断即可．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数 的图象，如图，
A、三个函数的图象都是关于 轴对称，函数 和 的图象开口向上，函数 的图象开口向下，
故此选项说法错误，不符合题意；
B、三个函数的图象都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意；
C、函数 和 ，当 时， 随 的增大而增大；函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
故此选项说法错误，不符合题意；
D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数 和 的图象的顶点是最低点，函数 的图象的顶点
是最高点，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作
轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ，则以下结论：①无论 取何值， 的值总是正数；② ；
③当 时， ；④ ．
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】本题主要考查的是二次函数综合题，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．根据
与的图象在x轴上方即可得出 的取值范围；把 代入抛物线 即可得出a的
值；由抛物线与y轴的交点求出 的值；根据两函数的解析式直接得出 与 的关系即可．，
【详解】解：①∵抛物线 开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论取何值， 的值总是正数，故本结论正确；
②把 代入抛物线 ，
得 ，解得 ，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线 解析式为 ，
当 时， ，
故 ，故本结论错误；
④∵ 与 交于点
∴ 的对称轴为的对称轴为 ， 的对称轴为的对称轴为 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故本结论正确．
故答案为：①④．
题型二：二次函数 的图像和性质
4．（2024九年级下·全国·专题练习）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是 B．对称轴是直线
C．抛物线有最高点 D．抛物线与 轴有两个交点
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，对称轴
为直线 ，顶点坐标为 ．
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解： ，
则抛物线的顶点坐标为： ，故A错误，不符合题意；
函数的对称轴为直线 ，故B正确，符合题意；
，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C错误，不符合题意；
由 知，抛物线与 轴有一个交点，故D错误，不符合题意，
故选：B．
5．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．函数的有最小值，最小值为
C．点 在函数图象上，当 时，
D．函数值y随x的增大而增大
【答案】C【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于 ，由
此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为 ，故A不正确；
函数有最大值，最大值为 ，故B不正确
当 ，y随x的增大而增大，当 ，y随x的增大而减小，故D不正确；
当 时， ，故C正确．
故选：C．
6．（23-24九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图象顶点在
轴上，当图象经过点 ， 时， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先求出顶点坐标为 ，再根据顶点在 轴上，得到
，解方程得到 ，则二次函数解析式为 ，则二次函数开口向上，对称轴为
直线 ，离对称轴越远函数值越大，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数顶点坐标为 ，
∵顶点在 轴上，
∴ ，∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数图象经过点 ， 时， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
题型三：二次函数图像和系数的关系
7．（2024·四川成都·模拟预测）对称轴为直线 的抛物线 (a，b，c为常数，且 )如图所示，
小明同学得出了以下结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤ (m为任意
实数)，⑥当 时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和
抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对
称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可．
【详解】解：①由图象可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴ ，
∴ ，故②正确；
③∵抛物线与 轴的一个交点在 与0之间，对称轴为直线 ，
∴另一个交点在 到 之间，
∴当 时， ，故③错误；
④当 时， ，
∴ ，故④正确；
⑤当 时，y取到值最小，此时， ，
而当 时， ，
∴ ，
故 ，即 ，故⑤正确，
⑥当 时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以，正确的结论有：②④⑤，共3个
故选：A．
8．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③若实数 ，则 ；
④若 ，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，
利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出 ，进一步得到 ，
又根据 得到 ，即可判断④.【详解】解：① 函数图象开口方向向上，
；
对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，
∵抛物线与 轴交点在 轴负半轴，
，
，故①错误；
② 二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
，
，
时， ，
，
，
，故②正确；
③ 对称轴为直线 ， ，
最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确；
④ ，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得 ，
，
，
，
，
，
，
故④正确；综上所述，正确的有②③④，
故选：C
9．（2024·山东日照·二模）已知二次函数 （ ）与x轴的一个交点为 ，其对称轴为直线
，其部分图象如图所示，有下列5个结论：① ，② ；③ ；④若关于x的方程
有两个实数根 ，且满足 ，则 ， ；⑤直线 （ ）经过点 ，
则关于x的不等式 的解集是 ．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形
结合是解题的关键．
由题意知，图象开口向下，即 ，对称轴为直线 ，则 ， ，当 时，
，可得 ，可判断①的正误；图象与 轴有两个交点，则 有两个不相等的实数根，即
，可判断②的正误；将 代入 得， ，可判断③的正误；由题意知，
关于对称轴对称的点坐标为 ，则关于x的方程 的两个实数根 ，为
图象交点的横坐标，如图1，由图象可知， ， ；可判断④的正误；由
，可知 过点 ，如图2，由图象可知，关于x的不等式 ，
即 的解集为 ，可判断⑤的正误．
【详解】解：由题意知，图象开口向下，即 ，对称轴为直线 ，则 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，①正确，故符合要求；
图象与 轴有两个交点，则 有两个不相等的实数根，即 ，②错误，故不符合要求；
将 代入 得， ，③正确，故符合要求；
由题意知， 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵关于x的方程 的两个实数根 ，为 图象交点的横坐标，如图1，
由图象可知， ， ；④正确，故符合要求；
∵ ，
∴ 过点 ，如图2，
∴关于x的不等式 ，即 的解集为 ，⑤正确，故符合要求；
∴正确结论的个数为4个，
故选：B．题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
10．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 ，
两点，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键．
根据抛物线 与直线 交于M，N两点，可得方程 有两个不等的负实数根，从而
可判断．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，点M，N在第二象限，
∴方程 有两个不等的实数根，且两个根都是负数，
即方程 有两个不等的负实数根，
∴二次函数 的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴．
故选：A
11．（23-24九年级上·黑龙江黑河·期末）一次函数 与二次函数 在同一直角坐标系中的图
象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行
判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题
意；
B、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意．
故选：B．
12．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）如图，在同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图像
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．分别由二次函数
与一次函数 图象得到系数a的正负，及与y轴的交点，比较看是否一致即可．
【详解】解：A、由抛物线可知， ，由直线可知， ，不一致；
B、由抛物线可知， ，由直线可知， ，一致；都过点 ，不一致；
C、由抛物线可知， ，由直线可知， ，不一致；D、由抛物线可知， ，过点 ，由直线可知， ，过点 ，一致，正确；
故选：D．
题型五：二次函数的对称性问题
13．（23-24九年级下·陕西西安·期中）若抛物线 与x轴只有一个交点，且过点 ， ，
则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物
线的解析式．根据点 、 的坐标易求该抛物线的对称轴是直线 ．故设抛物线解析式为 ，直
接将 代入，通过解方程来求 的值．
【详解】解： 抛物线 过点 、 ，
对称轴是直线 ，
又 抛物线 与 轴只有一个交点，
顶点为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入，得：
，
即 ．
故选：A．
14．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）点 ， 是抛物线 上的两点，则该抛物线的顶点
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由A、B两点纵坐标相同，两点关于抛物线的对称轴对称，可求得对
称轴为直线 ，显然其顶点纵坐标不可能是3，故A不符合题意，C、D两项可排除，从而可确定答案．
【详解】解：∵A、B两点纵坐标相同，∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线 ，
故选项C、D可排除；
∵顶点的纵坐标不可能是3，
∴选项A可排除；
∴顶点只可能是选项B中的坐标；
故选：B．
15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）若二次函数 的图象经过 、 、 、
、 ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．由点 、 的对称性，可求函数的对称轴为 ，再
由 、 、 ，与对称轴的距离，即可判断 ．
【详解】解： 经过 、 ，
二次函数的对称轴 ，
点离对称轴 比 点离对称轴 远，
、 、 与对称轴的距离 最远， 最近，
，
∴ ；
故选：B．
题型六：二次函数的最值问题
16．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数 （m为常数）的图象经过
，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7
【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确得出m的值是解题关键．
依据题意，将 代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出 ，再利用二次
函数的性质求得最值即可．
【详解】解：∵二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵对称轴在 轴的左侧，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴二次函数 ，
∴该二次函数图象开口向下，有最大值7，
故选：B．
17．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数 ，当 时， ，若 的最小值为2，则
m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析 和 时导出
，根据最小值可得 最小值为 ，通过配方得到 ，再根据
确定 的取值．
【详解】解：当 时， ， ，当 ， ，
，
当 时， ， ，当 ， ，
，
的最小值为2，
最小值为 ，，
当 时， 取得最小值 ，即 ，
，
由题意知 ，所以 ，
当 时， ， ，不符合题意舍去，
当 时， ，满足题意，
故选：D
18．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数 ，当 时，函数 有最小值 ，则b的
值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D． 或
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握根据二次函数的最值求系数值是解题的关键．
分三种情况：当 时，即 时，当 时，函数有最小值 ；当 时，即 时，当
时，函数有最小值 ；当 时，即 时，当 时，函数有最小值 ；分别求解即可．
【详解】解：∵ ，
又∵当 时，函数 有最小值 ，
∴当 时，即 时，当 时，函数有最小值 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，即 时，当 时，函数有最小值 ，
∴ ，解得： ；
当 时，即 时，当 时，函数有最小值 ，
∴ ，
解得： （舍去），
综上，当 时，函数 有最小值 ，b的值为 或 ．
故选：A．
题型七：二次函数的最短路径问题
19．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点
是对称轴上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与 轴的另一个交点为 ，连接 ， ，根据解析式求得 的坐标，根据轴对称的性质得
出 ，继而得出 取得最小值，最小值为 的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与 轴的另一个交点为 ，连接 ， ，∵ ，令 ，
即 ，
解得： ，
∴ ,
令 ，解得 ，
∴ ，
∵点 是对称轴上的一个动点，
∴ ，
∵
∴当 三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，
即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
20．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为1，2；在
轴上有一动点 ，当 最小时，则点 的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
【答案】D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称
性确定出点C的位置是解题的关键．
21．（2022九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）
的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值
是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当
P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到
PE=PF．
题型八：二次函数的平移问题
22．（23-24九年级上·福建漳州·期末）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所
得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是
．
故选C．
23．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是
，原函数的解析式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是 ，
故选：A．
24．（23-24九年级上·山东青岛·期末）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所
得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．根据“上加下减，左加
右减”的平移规律，即得答案．
【详解】将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为
．
故选B．
题型九：二次函数与一元二次方程
25．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数 的图象过点 ，方程 的
解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标
就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴
的另一个交点坐标，即可得到答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标
∴方程 的解为 ，
故选：B．
26．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知抛物线 上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 0 3 …
①抛物线 的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线 ；③方程 的根
为0和2；④当 时，x的取值范围是 或 以上结论中其中的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象
和性质．根据表格中的 、 的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图象与性质求解可得．
【详解】解：抛物线的解析式为 ，
将 、 、 代入得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
由 知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，故②错误；
当 时， ，解得 或 ，
方程 的根为0和2，故③正确；
当 时， ，由函数图象解得 或 ，故④正确；
故选：D．27．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数 图象的对称轴为直线 ，部分图象
如图所示，以下结论中：① ；② ；③ ；④若t为任意实数，则有 ；⑤若
图象经过点 时，方程 的两根为 （ ），则 ，其中正确的结论有
（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与 轴
的交点位置，判断①，与 轴的交点的个数判断②，特殊点判断③，最值判断④，图象法求出一元二次方程的解，
判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴ ，所以②正确；
∵ 时， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，所以③正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ （t为任意实数），
即 ，所以④正确；
∵图象经过点 时，方程 的两根为 ，
∴二次函数 与直线 的一个交点为 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数 与直线 的另一个交点为 ，
即 ，
∴ ，所以⑤错误．
故选：D．
题型十：二次函数和不等式问题
28．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数 图象的一部分，与x轴的一个交点为
，对称轴为直线 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结
合图象，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为(1,0)，∴当 时，x的取值范围是 ．
故选：C
29．（23-24九年级上·重庆黔江·期末）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，B(0,3)
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键,根据图象写出抛物
线在直线上方部分的 的取值范围即可．
【详解】∵抛物线 与直线 交于 ，B(0,3)，
∴不等式 为： 或 ，
故选： ．
30．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线
相交于点A， ，结合图象，判断下列结论：①当 时， ；② 是方程 的一个解；
③ 时，函数 有最大值；④对于抛物线 ，当 时， 的取值
范围是 .其中正确结论的个数是（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是
解题的关键．
①根据函数的图象特征即可判断．②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断．③将点 分别代入
、 求得m、n、a、b的值，然后得到 ，再将其化成顶点式即可
判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定 得取值范围，从而判定④．
【详解】解：①∵直线 与抛物线 相交于点A，B，
∴由图象可知：当 时，直线 在抛物线 的上方，
∴ ，即①正确；
②由图象可知：抛物线 与x轴有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根．
∴ 是方程 的一个解，即②正确；
③将点 代入 得： ，解得： ，
将点 代入 得： ，解得： ，
∴函数 为： ，∴ 时，函数 有最大值；即③正确．
④由③可得抛物线的解析式为： ，
∴当 时， 有最小值 ，
∵
∴由函数图象可知：当 时， 有最大值5，
∴当 时， 的取值范围是 ，即④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
【专题训练】
一、单选题
31．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．在对称轴左侧y随x的增大而增大
D．顶点
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，对各个选项逐一进行判
断即可．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是直线x=1，故选项B错误；
在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误；
顶点坐标为 ，故选项D正确；
故选：D．
32．（23-24九年级上·四川南充·期末）抛物线 经过点 和 ，顶点坐标为 ，若，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线顶点坐标得出抛物线对称轴为直线 ，结合题意得出
，即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线 经过点 和 ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
33．（23-24九年级上·河北保定·期中）把抛物线 先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物
线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．根据平移规律：上加下
减，左加右减写出解析式即可．
【详解】解：把抛物线 先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是 ，
故选：C
34．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，若 ， ，
为抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上
的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图
象与系数的关系．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
∵ ，
∵ ，
∴ 两点位于对称轴左侧，点 位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，点 到对
称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
35．（22-23九年级上·广西百色·期末）已知二次函数 的部分图像如图所示，若关于 的一元二次方
程 的一个解为 ，则另一个解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点问题，把求二次函数 （ ， ， 是常数， ）与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线与 轴的求交点是解题的
关键；利用关于 的一元二次方程 的解一个为 得到二次函数 与 轴的一个交点坐标为 ，然后利用抛物线的对称性得到二次函数 与 轴的另一个交点坐标为 ，从而得到方
程 另一个解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的解一个为 ，
二次函数 与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
二次函数 与 轴的另一个交点坐标为 ，
方程 另一个解
故选：B
36．（2024·江苏扬州·模拟预测）函数 和函数 （ 是常数，且 ）的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是 的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，
当a>0时，开口向上；当 时，开口向下．对称轴为 ，与y轴的交点坐标为 ．
【详解】A．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，对称轴为 ，则对称轴
应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C．由函数 的图象可知m>0，即函数 开口向下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，对称轴为 ，则对称轴
应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
37．（2024·山东青岛·一模）如图为二次函数 的图象，有下列四个结论： 若 ，
分别是抛物线上的两个点，则 ； ； ； ．其中正确的个数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的
熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x
轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．
【详解】解：∵若 ， 分别是抛物线上的两个点，
∵对称轴为 ，开口向下，
∴ ，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交y轴于正半轴，∴ ；
∴ ；故②正确；
∵对称轴为 ，开口向下，
∴当 时， 为最大值
∴
∴ ，故③正确；
∵抛物线的对称轴为 ，
∴
由图象可得，当 时，
∴
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的说法是：①②③④．
故选D．
38．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数 ，图象的一部分如图所示，该函数图象
经过点 ，顶点坐标为 ．对于下列结论：① ；② ；③若关于x的一元二次方程
无实数根，则 ；④ ）（其中 ）﹔⑤若A(x ,y )和B(x ,y )均
1 1 2 2
在该函数图象上，且 ，则 ．其中正确结论有（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据抛物线与 轴的一个交点 以及其对称轴，求出抛物线与 轴的另一个交点 ，利用待定系数法求函数
解析式，再根据抛物线开口朝下，可得 ，进而可得 ， ，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即
可．
【详解】解： 抛物线开口方向向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
∴
∴
∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，
∴ ，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
把 代入 ，可得： ，故②正确；
∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴二次函数 的图象与直线 无交点，
∵抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口方向向下，
∴ ，故③正确；
，
，
，
又 ， ，，
即 （其中 ，故④正确；
抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在 时， 随 的增大而减小，
，
，故⑤错误，
正确的有②③④，
故选：A．
39．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线 与 的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点
A，B，C的横坐标分别为 ， ， ，且 ．若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到 ， ，再联立函数解析式表示
出 ， ， ，利用不等式性质，比较其大小，即可解题．
【详解】解： ， ，
， ，
抛物线 与 的交点为A，
，
整理得 ，
解得 或 ，
，，
抛物线 与 ，与x轴的交点分别为B，C，
，可得 ， ，可得 ，
，
， ，
，
故选：C．
40．（2024·甘肃武威·二模）已知二次函数 （ 为非零常数， ），当 时， 随 的
增大而增大，则下列结论①若 时，则 随 的增大而减小；②若图象经过点 ，则 ；③若
， 是函数图象上的两点，则 ；④若图象上两点 ， 对一切正数 ．总
有 ，则 ．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析式和二
次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解： 二次函数 为非零常数， ，
当 时， ， ， ．
又 当 时， 随 的增大而增大，
，开口向下．
当 时， 随 的增大而减小，故①正确；
又 对称轴为直线 ， ，
．若 ， 是函数图象上的两点，2023离对称轴近些，
又抛物线开口向下，
则 ，故③正确；
若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ， ，
又该函数与 轴的两个交点为 ， ，
．
解得 ，故④错误；
二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，
．
若图象经过点 ，则 ，得 ．
， ，
，故②错误；
①③正确；②④错误，
故选：B．
二、填空题
41．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）若关于x的一元二次方程 的一根 ，另一根 ，
则抛物线 的顶点到x轴距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线与 轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与 轴的交点之间的关系是解答此题
的关键．
先根据关于 的一元二次方程 的一根 ，另一根 求出 的取值范围，再得出抛物线
顶点的纵坐标表达式，把 的取值代入即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一根 ，另一根 ，令
则 ，
即 ，
解得， ．
∵抛物线 的顶点纵坐标为 ，
当 时， ；
当a 时， ，
∵ ，
∴顶点到x轴距离的最小值是 ．
故答案为： ．
42．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一条抛物线（形状一定）与 轴相交于E、F两点（点E在点F左
侧），其顶点 在线段AB上移动，若点 、 的坐标分别为 、 ，点 的横坐标的最小值为 ，则点
的横坐标的最大值为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点 时，点 的横
坐标最小；当图象顶点在点 时，点 的横坐标最大．根据题意可知当图象顶点在点 时，点 的横坐标的最小
值为 ，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在 点时，点 的横坐标最大，
从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论．【详解】解：当图象顶点在 时，点 的横坐标的最小值为 ，
则可设此时抛物线的解析式为： ，
将点 的坐标代入得： ，
解得 ．
当图像顶点在 时，点 的横坐标最大，此时抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，
解得 , ，
因为点 在点 左侧
所以点 横坐标的最大值为 ．
故答案为： ．
43．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数 的图象分别交于
点 ， ．则关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程 的解就是二次函数 与一次函数 两个函数交点的横坐
标，
∵一次函数 与二次函数 的图象相交于点 ， ．
∴ 的解为 ；故答案为： ．
44．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论：
① ;② ;③ ;④ ;⑤方程 两根的和为2．其中正确的有
．
【答案】③④⑤
【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数
系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，
灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键，依次根据二次函数的性质进行判断即
可．
【详解】解：①由图象可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故①错误；
②∵图形与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
故②错误；
③由函数图象可得，当 时， ，
故③正确；
④当 时，y最大，且 ，
当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故④正确；
⑤∵ ，
∴ ，
∵设方程 的两根为 ，
则 ，
故⑤正确，
故答案为：③④⑤．
45．（2024九年级下·新疆·专题练习）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 在
抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段
最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
先将抛物线化为顶点式，可得该抛物线的对称轴是 ；然后求出抛物线与 轴、 轴的交点，即点 、点 、点
；在y轴上取点 ，连接 ， ， ，证明四边形 是平行四边形；当E、C、F三点共线时，
最小，求得直线 解析式：最后直线 经过对称轴 ，代入即可得到答案．
【详解】解： ，
∴对称轴为 ，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
在y轴上取点 ，连接 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
当E、C、F三点共线时， 最小，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，∴当 最小时，C的坐标为 ．
故答案为： ．
三、解答题
46．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过 ，
两点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)记抛物线与y轴的交点为D，求 的面积．
(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时 周长最小？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 、 两点的坐标代入求出 和 的值即可求出抛物线的解析式；
（2）先得出点 的坐标为 ，再结合三角形面积公式，以 为底， 到 的距离为 ，代入面积公式
计算，即可作答．
（3）易得 关于对称轴 对称，连接 ，则与对称轴 的交点即为点M，连接 ，运用待定系数法
解 的解析式为 ，令 ，则 ，即可作答．
此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解
题的关键．【详解】（1）解：由题意得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：连接 ，如图所示：
当 时， ，
故点 的坐标为 ，
， 两点的纵坐标相同，
轴，
点 到 的距离为 ，
．
（3）解：∵ ， ， ，
∴ 关于对称轴 对称，
∴连接 ，与对称轴 的交点即为点M，连接 ，此时 周长最小，
∵ ， ，
设 的解析式为 ，
把 和 分别代入 ，
得出 ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ．
47．（2024·浙江·一模）已知二次函数 的图象与y轴相交于点 ．
(1)若 ，求该二次函数的最小值；
(2)若 ，点 都在该函数的图象上，比较 和 的大小关系；
(3)若点 都在该二次函数图象上，分别求 的取值范围
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，由二次函数 的图象与 轴相交于点 ，从而求出 ，又 ，可得二次函
数的解析式，再化成顶点式，进而可得最小值得解；
（2）依据题意，由 ，从而可得对称轴直线 ，再结合抛物线上的点离对称轴越近函数值
越小，进而可以判断得解；
（3）依据题意得，由点 都在该二次函数图象上，代入解析式可得
，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与 轴相交于点 ，
∴ ．
又 ，
∴二次函数为 ．
又 ，
∴当 时， 取最小值为 ．
（2）∵ ，
∴对称轴直线 ．
，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又 ，
．
（3）由题意得， ①， ②，
∴ 得， ，
则 ；
得， ，
则 ，可得 或 (舍去)．
综上可得， ．48．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点 ， ，且 ， ．
①当 时，直接写出 ， 的大小关系；
②若对于 ，都有 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)① ；② 或
【分析】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些
关系是解答关键．
（1）求出抛物线与y轴的交点坐标，此点与点 关于抛物线对称轴对称，则可求得对称轴；
（2）①由 可得 的范围，则可得P、Q到对称轴的距离大小关系，结合 即可判断；
②设点P关于直线 的对称点为 ，由 可得 ，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：在抛物线 中，令 ，则 ，
即抛物线与y轴的交点 ，
故点 与点 关于抛物线对称轴对称，
而 ，则抛物线对称轴为直线 ；
（2）解：①当 时， ， ，
；
，
即 ，
，
；②设点P关于直线 的对称点为 ，
则 ，即 ；
，
；
而 ，
则 ．
，
，
故当 或 时， ，
解得： 或 ．
49．（23-24九年级上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线
上．
(1)当 时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线 经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大而增大，求a的
取值范围；
(3)当 时，点 ， 在抛物线 上．若 ，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)a的取值范围是 或
(3) 或
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨
论的思想进行解答．
（1）当 时，(0,3)， 为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)， 代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分 和 ，由函数的增减
性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据 确定m的取值范围．
【详解】（1）解：∵(0,3)， 为抛物线上的对称点，
∴ ，
抛物线的对称轴 ；
（2）解：∵ 过(0,3)， ，
∴ ， ， ，
∴对称轴 ．
①当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ．
②当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ，
综上：a的取值范围是 或 ；
（3）解：∵点(0,3)在抛物线 上，
，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴对称轴为直线 ，
①如图所示：，
且 ，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
