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22.1 二次函数的图像和性质
【知识梳理】
知识点一 二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分
别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实
数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．
（3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y =0 当x=0时，y =0
最小值 最大值
对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质
函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0）开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，k） （0，k）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小. x<0时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当x=0时，y = k 当x=0时，y = k
最小值 最大值
知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=h时，y = 0 当x= h时，y = 0
最小值 最大值
知识点五 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x= h时，y = k 当x= h时，y = k
最小值 最大值
【题型探究】
题型一、二次函数的定义
【例1】．（25-26九年级上·上海）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数．
根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A． 是二次函数，不符合题意；
B． 是二次函数，不符合题意；
C． 是二次函数，不符合题意；
D． 不是二次函数，符合题意．
故选：D．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是 关于 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数．
根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A． 不是二次函数，不符合题意；
B． 不是二次函数，不符合题意；
C． 是二次函数，符合题意；
D． 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数叫做二次函
数．
根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. ，分母有未知数，不是二次函数；B. ， 不是整式，不是二次函数；
C. ，是一次函数，不是二次函数；
D. ，是二次函数；
故选：D．
题型二、根据二次函数的定义求参数
【例2】．（25-26九年级上·云南昆明）若函数 是关于 的二次函数．则常数 的值是
（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于 的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得
出关于 的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解： 是关于 的二次函数，
，
解得： ．
故选：B．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数 ，则 的值
为（ ）
A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解．
【详解】∵ 是二次函数，
∴ ，且 ，
∴ ，
故选：B．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数 是关于x的二次函数，则
（ ）A． B．1 C．1或 D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形
如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数．
根据“形如 的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解．
【详解】解： 是关于x的二次函数，
| 且 ，
解得： ．
故选：A．
题型三、二次函数y=ax2的图象和性质
【例3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）下表是二次函数 中，x，y的部分对应值：
x … 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
则下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴
C．图象顶点是原点 D．图象经过点
【答案】D
【分析】本题考查了 的图象和性质，依据函数性质解题即可
【详解】解：由题意，把 代入 解得
∴函数解析式为
∴函数图像开口向上，对称轴是 轴，图象顶点就是原点，
∴A，B，C的说法都正确，不符合题意
把 代入函数解析式，左右不相等，故D选项说法错误，符合题意
故选： D．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点 均在抛物线 上，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数 的性质解答，即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线 的对称轴为y轴，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵点 均在抛物线 上，且 ，
∴ ．
故选：B
【跟踪训练2】（24-25九年级上·宁夏固原）已知抛物线 经过点 ， ．
(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(2)求m的值；
【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
(2)8
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数
的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m；
（1）先把 代入 ，求出函数解析式，再根据函数的解析式， ，可得出抛物线开口向上，并找出
抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）把 代入（1）中所求的解析式计算即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 ，得
解得： ∴ ∵
∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为 ．（2）解：把 代入 ，得
．
题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
【例4】．（25-26九年级上·安徽合肥）对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，根据解析式，逐项分
析，即可求解．
【详解】解： ， ，
∴函数图象开口向上，对称轴为 轴，顶点为 ，最小值为 ，故B，D错误，C正确，
在 轴的右侧，y随x的增大而增大，故A错误，
故选：C．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）对于二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数图象的顶点坐标为 D．当 时，y有最大值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．将二次函数
解析式化为顶点式，结合开口方向、对称轴、顶点坐标及最值逐一分析选项。
【详解】解：A：∵ ，
∴抛物线开口向下，选项正确，不符合题意；
B：函数图象的对称轴是直线 ，选项错误，符合题意；
C：∵顶点式直接得出顶点为 ，选项正确，不符合题意；
D：∵开口向下，
∴当 时，y有最大值 ，选项正确，不符合题意；故选：B。
【跟踪训练2】．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则
与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查 的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函
数值的大小．
【详解】解： 中
抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小，
，
，
故选：C．
题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
【例5】．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点是 D．函数有最小值0
【答案】C
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由 得到图像开口向下，
根据顶点式得到顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．
【详解】解：二次函数 中的 ，则其图象开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
二次函数的最大值为0，
故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确．
故选：C．
【跟踪训练1】．（2014·上海浦东新·二模）已知抛物线 上的两点 ， ，如果，那么下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当 时， 随
的增大而增大，据此即可求解．
【详解】解：∵ 图象的开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴当 时， 随 的增大而增大， ，
∵ ， 在抛物线 上， ，
∴ ．
故选：A．
【跟踪训练2】．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点
．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线的开口向下，顶点为 ．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物
线的解析式是解题的关键．
（1）由对称轴可求得h的值，再把 代入可求得a的值即可求得抛物线解析式；
（2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，∵抛物线过 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：∵抛物线为 ， ，
∴抛物线的开口向下，顶点为 ．
题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
【例6】．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知函数
(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)当x______时，y随x的增大而增大；
(3)怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ．
【答案】(1)向下，直线 ，
(2)
(3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次
函数的性质解答．
（1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题．
【详解】（1）解：∵函数 ， ，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，
故答案为：向下，直线 ， ；
（2）解：∵函数 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
故答案为： ；（3）解：将抛物线 向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线
．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数 ．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当 取何值时， 随 的增大而增大？
(3)当 取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
【答案】(1)开口方向向上，对称轴 ，顶点坐标为 ；
(2)当 时， 随 的增大而增大；
(3)当 时， 有最小值为 ．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（ ）依据题意，根据所给解析式可以得解；
（ ）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解；
（ ）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解．
【详解】（1）解：由抛物线的解析式为 ，
∴开口方向向上，对称轴 ，顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线 开口向上，
∴当 时， 随 的增大而增大；
（3）解：∵抛物线 开口向上，
∴当 时， 有最小值为 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ．
(1)若此抛物线的顶点在直线 上，求 的值；
(2)若点 与点 在此抛物线上，且 直接写出 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（ ）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为 ，再代入一次函数解析式解答即可求解；
（ ）根据抛物线的对称性可得点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，进而根据二次函数的性质解答
即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵此抛物线的顶点在直线 上，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，
∵抛物线开口向上，
∴当 时， ．
题型七：二次函数的图像平移问题
【例7．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）若将二次函数 的图象向下平移2个单位，再向左平移3个
单位，那么所得这个函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减，左加右减”的规律可知，
将抛物线 向下平移2个单位，再向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是 ．
故选：A．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若平面直角坐标系中二次函数 的图象，经过平移后可与 的图象完全重合，则 的值可能分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据平移前后抛物线的解析式可得 ，进而根据选项即可判断
求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 的图象，经过平移后可与 的图象完全重合，
∴ ，
故选:C．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）将抛物线 的图象先向右平移3个单位，再向上
平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．
利用函数图象的平移规律即可求解．
【详解】解：将抛物线 的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到：
．
故选：D．
题型八：二次函数图像和性质综合问题
【例8】．（24-25九年级上·广东潮州）把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移
4个单位长度可得到二次函数 的图象
(1)则 ______， ______， ______；(2)指出二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)当 时，求二次函数 的取值范围．
【答案】(1) ，2，
(2)函数图象开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
（1）根据平移规律，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，可得答案；
（3）计算出当 和 对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到
，
∵二次函数 与 是同一函数，
∴ ， ， ，
解得 ．
故答案为： ，2， ；
（2）解：∵二次函数 的解析式为 ，
∴函数图象开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
（3）解：∵ ，
∴ 的最小值为 ；
∴ 时， ，
∵ 时， ，∴当 时， ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的
坐标分别为 ，连接 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得 ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在．点P的坐标为 或
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可设抛物线解析式为 ，
然后把点B 代入进行求值即可；
（2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式；
（3）设 利用两点间的距离公式得到关于y的方程，通过解方程求得y的值，
进而由抛物线上点的坐标特征得到点P的横坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为： ， .
把点B的坐标 代入，得 ，解得 ．
所以该抛物线的解析式为： ；
（2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为 ，
则平移后抛物线的解析式为： .
（3）解：存在，理由如下：设 ， ， 、 .
，即 .
，
.
，即 ，
解得 或 （舍去）.
则 ，
解得 或 ．
综上所述，点P的坐标是 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，
两点间距离公式，以及待定系数法求二次函数解析式.
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山东滨州）如图，点C为二次函数 的顶点，直线 与该二
次函数图象交于 、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合
条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在， 或 或 或 ．【分析】（1）将点 坐标代入解析式可求 的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨
论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线 过点 ，
，
，
，
，
二次函数解析式为 ，
顶点坐标为 ；
（2）解：存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为 ，
对称轴为直线 ，
过点 作 于点 ，
在 中， ．
①当 时，设 ，
在 中，
解之得；
②当 时，根据等腰三角形三线合一得： ，
，
；
③当 时， ，
， ．
综上所述：点 的坐标为 或 或 或 ．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如 的函数（a，b，c是常数， ），叫做二次函
数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、 是二次函数，故本选项符合题意；
C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、 是一次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或 B．1 C． 或3 D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出
方程求解即可．【详解】解：由题意得 ，解得 ，
故选：D．
3．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线 经过 三点，则 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函
数解析式 ，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据 ，故
，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，
则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．
∵抛物线 经过 三点，
则 ， ， ，
∵ ，
∴
故选：D．
4．（18-19九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出 的图象，正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数 的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负
数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出
答案．
【详解】解：依题意， 开口向下， 和 开口向上，且 开口较小， 开口较大，
故选：D．
5（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于二次函数 ，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴
为直线 ；③其最小值为2；④其图像一定过点 ；⑤当 时， 随 的增大而增大．以上说法正确的个
数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握并灵活运用二次函数 的性质是解题的关键．
根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可解答．
【详解】解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若 ，开口向上；若 ，开口向下．因a的正负未知，
故①错误．
②顶点式为 ，对称轴为 ．此处 ，对称轴为 ，故②正确．
③当 时，函数有最小值2；当 时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误．
④由题意可得顶点坐标为 ，无论a为何值，抛物线必过顶点 ，故④正确．
⑤当 时， 时y随x增大而减小；当 时， 时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减
性，故⑤错误．
综上，正确的说法为②和④，共2个．
故选：D．
6．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）要将抛物线 平移得到抛物线 ，可以（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查抛物线的平移．根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可；
【详解】解：将抛物线 先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可得到抛物线
；
故选：B．
7．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 的最小值为1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质．
根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解： ， ，
A：抛物线 ，对称轴为直线 ，故该选项不符合题意；
B：抛物线 ，顶点坐标为 ，故该选项不符合题意；
C：抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，当 时， 随 的增大而减小，故该选项不符合题意；
D：顶点坐标为 ，函数有最大值，最大值为 ，故该选项符合题意．
故选：D．
8．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数 的图象经过 ， ，
， 四点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象点的坐标特征由图象中存在 ， 两个对称点可得 是抛物线与x
轴右侧交点，作出图象求解．
【详解】解：如图，
设点 与 关于抛物线对称轴对称，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
9．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线 先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长
度，平移后的抛物线与抛物线 重合，则a，b的值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为： ，再根据平移
后的抛物线与抛物线 重合，得出 ，求出结果即可．
【详解】解：抛物线 的表达式为 ，
平移后的抛物线的表达式为：，
∵平移后的抛物线与抛物线 重合，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
10．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该
函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时， 随 的增大而减
小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二
次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性．
【详解】解： 二次函数形状由二次项系数决定，原函数为 ，其二次项系数为 ，与
的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确；
对于 ，当 时，即 ，该函数的图象一定经过点 ，
结论②正确；
由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，结论③错误；
的顶点坐标为 ，对于二次函数 ，当 时， ，即该函数的图象
的顶点 在函数 的图象上，结论④正确；
综上，正确结论为①②④，共3个，
故选：C．
11．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若 为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作 于点D，根据等边三角形的
性质得出 ， ， ， ，将点 代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 于点D，
∵抛物线 的对称轴为 ， 为等边三角形，且 轴，
∴ ， ， ．
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
二、填空题
12．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）若抛物线 （ 为常数）的开口向下，则 的取值范围是
．【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于0是解决问题的关键．
根据二次函数的图象与性质，由题意列不等式直接求解即可得到答案．
【详解】解：因为抛物线 的开口向下，
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向下平移
3个单位长度后得到的二次函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数图像的平移．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】解：二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数
表达式为 ，
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点 ， 都在二次函数 的图象上．
若 ，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据 得对称轴为直线 ，结合 ，则 与
关于直线 对称，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，
∵点 ， 都在二次函数 的图象上，且 ，∴ 与 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
15．（25-26九年级上·全国·期末）已知抛物线 与直线 有两个交点 ， ，抛物线
与直线 的一个交点是 ，则 的值是 ．
【答案】2或6
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．
根据抛物线 向左平移m个单位得到抛物线 ，而 ， 向左平移2或
6个单位得到点 ，即可求解．
【详解】解：由抛物线 向左平移m个单位得到抛物线 ，而 ， 向
左平移2或6个单位得到点 ，
得 或6．
故答案为：2或6.
三、解答题
16．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 ，不画图像，回答下列问题．
(1)确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)抛物线 是由抛物线 经过怎样的平移得到的？
【答案】(1)抛物线 开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．(2)当 时，y有最大值，最大值是0．
(3)当 时，y随x的增大而增大．
(4)抛物线 是由抛物线 向右平移2个单位长度得到的．
【分析】（1）本题考查二次函数 的图象和性质，根据 ，抛物线开口向上， ，抛物线开口向
下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，即可解题．
（2）本题考查二次函数 的最值，根据二次函数开口确定其在顶点处取得最大值，即可解题．
（3）本题考查二次函数的增减性，根据二次函数开口和对称轴，得到二次函数的增减性，得出 的取值范围，即
可解题．
（4）本题考查二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，掌握规律并灵活运用，即可解题．
【详解】（1）解： 抛物线解析式为 ，且 ，
抛物线 开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
（2）解： 抛物线 开口向下，
二次函数有最大值，且当 时，y有最大值是0．
（3）解： 抛物线 开口向下，对称轴是直线 ，
当 时，y随x的增大而增大；
（4）解：有函数平移规律可知，抛物线 是由抛物线 向右平移2个单位长度得到的．
17．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位
长度，得到二次函数 的图象．
(1) ___________， ___________， ___________；
(2)写出二次函数 图象的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)开口向下， ，
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，涉及到二次函数的性质和二次函数图象的平移规律．（1）利用平移规律，可写出平移后的解析式，进而确定 ， ， 的值；
（2）根据 确定开口方向，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：由题意得：
把抛物线 先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到二次函数 的图
象，即 ，
， ， ．
（2） 二次函数 ，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
18．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线 （如图所示）．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
(2)已知y轴上一点 ，点P在抛物线上，过点P作 轴，垂足为B．若 是等边三角形，求点P的
坐标．
【答案】(1)0，1；y轴
(2) 或
【分析】熟悉抛物线 的图象和性质、等边三角形的性质，是正确解答本题的关键．
（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）设 ．根据 轴于B，点 ， 是等边三角形，得 ，求得x的值
即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标，即得．
【详解】（1）解：抛物线 的顶点为 ，对称轴为y轴．
故答案为：0，1；y轴．（2）解：设 ．
∵ 轴，垂足为B，
∴ ．
∵点 ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
解得， ．
∴
∴点P的坐标为 或 ．
19．（25-26九年级上·全国）如图，抛物线 经过点 ，且顶点B的坐标为 ，对称轴与x轴
交于点C．(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使 是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点 的坐标为
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点主要有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质
以及平面内两点间的距离公式．
（1）由抛物线 的顶点坐标是 知： ， ，则 ．再把 代入此解析
式求解即可；
（2）连接 、 则 设点 的坐标为 ，则根据平面内两点间的距离公式可得 ，
的值，令二者相等求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 的顶点 的坐标为 ，
．
抛物线经过点 ，
，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：如图，连接 、 ．
设点 的坐标为 ．
，．
，
．
整理，得 ，
解得 （舍去）．
当 时， ，
点 的坐标为 ．
