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22.1 二次函数的图像和性质
【知识梳理】
知识点一 二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分
别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实
数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．
（3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y =0 当x=0时，y =0
最小值 最大值
对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质
函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0）开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，k） （0，k）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小. x<0时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当x=0时，y = k 当x=0时，y = k
最小值 最大值
知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=h时，y = 0 当x= h时，y = 0
最小值 最大值
知识点五 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x= h时，y = k 当x= h时，y = k
最小值 最大值
【题型探究】
题型一、二次函数的定义
【例1】．（25-26九年级上·上海）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是 关于 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、根据二次函数的定义求参数
【例2】．（25-26九年级上·云南昆明）若函数 是关于 的二次函数．则常数 的值是
（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数 ，则 的值
为（ ）
A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数 是关于x的二次函数，则
（ ）
A． B．1 C．1或 D．2
题型三、二次函数y=ax2的图象和性质
【例3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）下表是二次函数 中，x，y的部分对应值：
x … 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
则下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴
C．图象顶点是原点 D．图象经过点
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点 均在抛物线 上，则 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练2】（24-25九年级上·宁夏固原）已知抛物线 经过点 ， ．
(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(2)求m的值；
题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
【例4】．（25-26九年级上·安徽合肥）对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）对于二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数图象的顶点坐标为 D．当 时，y有最大值
【跟踪训练2】．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则
与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
【例5】．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点是 D．函数有最小值0
【跟踪训练1】．（2014·上海浦东新·二模）已知抛物线 上的两点 ， ，如果
，那么下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练2】．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点
．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
【例6】．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知函数
(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)当x______时，y随x的增大而增大；
(3)怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数 ．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当 取何值时， 随 的增大而增大？
(3)当 取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ．
(1)若此抛物线的顶点在直线 上，求 的值；
(2)若点 与点 在此抛物线上，且 直接写出 的取值范围.
题型七：二次函数的图像平移问题
【例7．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）若将二次函数 的图象向下平移2个单位，再向左平移3个
单位，那么所得这个函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若平面直角坐标系中二次函数 的图象，经过平
移后可与 的图象完全重合，则 的值可能分别为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）将抛物线 的图象先向右平移3个单位，再向上
平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：二次函数图像和性质综合问题
【例8】．（24-25九年级上·广东潮州）把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移
4个单位长度可得到二次函数 的图象
(1)则 ______， ______， ______；
(2)指出二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)当 时，求二次函数 的取值范围．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的
坐标分别为 ，连接 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得 ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山东滨州）如图，点C为二次函数 的顶点，直线 与该二
次函数图象交于 、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合
条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或 B．1 C． 或3 D．33．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线 经过 三点，则 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
4．（18-19九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出 的图象，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于二次函数 ，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴
为直线 ；③其最小值为2；④其图像一定过点 ；⑤当 时， 随 的增大而增大．以上说法正确的个
数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）要将抛物线 平移得到抛物线 ，可以
（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
7．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 的最小值为1
8．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数 的图象经过 ， ，
， 四点，且 ，则（ ）A． B． C． D．
9．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线 先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长
度，平移后的抛物线与抛物线 重合，则a，b的值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（24-25九年级上·重庆永川）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象
与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时， 随 的增大而减小；④该函
数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴交抛物线另一点于B，
点C为该抛物线的顶点．若 为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
12．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）若抛物线 （ 为常数）的开口向下，则 的取值范围是
．13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向下平移
3个单位长度后得到的二次函数表达式为 ．
14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点 ， 都在二次函数 的图象上．
若 ，则m的值为 ．
15．（25-26九年级上·全国·期末）已知抛物线 与直线 有两个交点 ， ，抛物线
与直线 的一个交点是 ，则 的值是 ．
三、解答题
16．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 ，不画图像，回答下列问题．
(1)确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)抛物线 是由抛物线 经过怎样的平移得到的？
17．（25-26九年级上·贵州遵义）将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到
二次函数 的图象．
(1) ___________， ___________， ___________；
(2)写出二次函数 图象的开口方向，对称轴及顶点坐标．
18．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线 （如图所示）．(1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
(2)已知y轴上一点 ，点P在抛物线上，过点P作 轴，垂足为B．若 是等边三角形，求点P的
坐标．
19．（25-26九年级上·全国）如图，抛物线 经过点 ，且顶点B的坐标为 ，对称轴与x轴
交于点C．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使 是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
