文档内容
专题 22.1 二次函数及 y=ax²（a≠0）的图象与性质
目 录
一.知识梳理与题型精析........................................................................................................................1
知识点（一）二次函数的定义.............................................................................................................1
【题型1】二次函数的定义..................................................................................................................1
【题型2】列二次函数的关系式..........................................................................................................3
知识点（二）二次函数 的图象画法............................................................................4
【题型3】画二次函数 的图象.....................................................................................5
知识点（三）二次函数 的图象和性质........................................................................7
【题型4】二次函数 的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值.................................7
【题型5】二次函数 的增减性.....................................................................................9
【题型6】二次函数 的对称性...................................................................................11
【题型7】二次函数 的图象与性质综合...................................................................12
【题型8】二次函数 的图象和性质与几何综合.......................................................14
二．同步练习.......................................................................................................................................17
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）................................................................17
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）................................................................27
一.知识梳理与题型精析
知识点（一）二次函数的定义
一般地，形如 的函数，叫做二次函数，其中 是
自变量， 为分是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【题型1】二次函数的定义【例题1】 （24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数 是二次函数．
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是
解题的关键．
（1）根据二次函数的定义可得 ，即可求解；
（2）由（1）可得二次函数解析式，把 代入计算即可．
解：（1）解：函数 是二次函数，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：当 时，二次函数解析式为 ，
∴当 时， ．
【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于 的函数 是二次函数，
则 的值为（ ）
A．0 B．2 C． 或2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出 且 ，求出即可．
解： 关于 的函数 是二次函数，
且 ，
解得： ，
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数 的二次项是 ，一次
项系数是 ，常数项是 ．【答案】 5
【分析】根据二次函数的定义判断即可。
解：二次函数 的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，
故答案为：① ，② ，③ ，
【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如 、 、 是
常数， 的函数，叫做二次函数．其中 、 是变量， 、 、 是常量， 是二次项系数，
是一次项系数， 是常数项．
【题型2】列二次函数的关系式
【例题2】（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价 （元/件）
与日销量 （件）满足 ．
（1）求日销售利润 （元）与 （元/件）的函数关系式；（不要求写 的取值范围）
（2）在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价 的取值范围．
（3）在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？
【答案】（1） ；（2）售价 的取值范围是 ；（3）能，60元
【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相
关知识成为解题的关键．
（1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可；
（2）由题意， ，则 ，解得： ，再结合要保证盈利即可解答；
（3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答．
解：（1）解：由题意可得：
日销售利润 与 的函数关系式为 ．
（2）解：由题意， ，则 ，解得： ，
要保证盈利
售价 的取值范围是 ．
（3）解：由 ，
则 ，解得： （舍去）或 ．
答：当定价为60元时，日销售利润为1600元．
【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学
校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平
方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米
宽的缺口作小门，若设 米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及 的长，可得出平行于
墙的一边长为 米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
解： 铁栅栏的全长为15米， 米，
平行于墙的一边长为 米．
根据题意得： ．
故选：A．
【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是
13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设
降价后售价为 元，每天利润为 元，则 与 之间的函数关系为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为 元，销售量为
件，据此列出对应的函数关系式即可．
解：由题意得，
，
故答案为： ．
知识点（二）二次函数 的图象画法
一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
【题型3】画二次函数 的图象
【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中画出 的图象并简单描述其性
质．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．列表、描点、连线画出 的图象
解：（1）列表：
﹣ ﹣
x … 0 1 2 …
2 1
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线，图象如图所示：【变式1】（22-23八年级·全国·假期作业）通过列表、描点、连线的方法画函数 的图象．
【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象．
解：列表得：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
描点、连线．
【点拨】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，
是求解本题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系中，画出函数 ，
， 与 的图象．
（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：
①由图象可知抛物线 与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线 与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称．
②当 相同时，抛物线开口大小___________；当 变大时，抛物线的开口___________；当 变
小时，抛物线的开口___________．
应用：抛物线 与 中，开口较小的抛物线是___________．
【答案】（1）见详解，（2）① ，x， ，x；②相同，较小，较大，
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）①结合轴对称梯形的特点，根据（1）中的图象作答即可；②根据（1）的图象特点直接作答
即可．
解：（1）作图如下：
（2）①由图象可知抛物线 与抛物线 的形状相同，且两抛物线关于x轴对称；同样，
抛物线 与抛物线 的形状相同，也关于x轴对称．
故答案为： ，x， ，x；
②当 相同时，抛物线开口大小相同；当 变大时，抛物线的开口较小；当 变小时，抛物线的
开口较大．
应用：抛物线 与 中，开口较小的抛物线是 ．
故答案为：相同，较小，较大， ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，注重数形结合是解答本题的关键．知识点（三）二次函数 的图象和性质
通过例题2及其变式的二次函数图象我们可以得出以下结论：
（1）开口方向： 的图象是一条抛物线，当 0时，开口向上，当 0时，开口向
下， 的越大，开口越小，反之越大；
（2）增减性： 的图象是轴对称图形，对称轴是 轴，①当 0时，在对称轴左侧
（ ）， 随 增大而减小，在对称轴右侧（ ）， 随 增大而增大；②当 0时，在对
称轴左侧（ ）， 随 增大而增小，在对称轴右侧（ ）， 随 增大而减大；
（3）最大（小）值：图象与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，当 0时,有最低点，这时函数
有最小值，当 0时，有最高点，这时函数有大值；从 图象可以看出，它的顶点坐
标为（0，0）.
【题型4】二次函数 的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值
【例题4】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（2）求m的值；
【答案】（1）函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ；（2）8
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：
（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数
图象上点的坐标特征，求出m；
（1）先把 代入 ，求出函数解析式，再根据函数的解析式， ，可得出抛物线开口
向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）把 代入（1）中所求的解析式计算即可求解．
解：（1）解：把 代入 ，得解得：
∴
∵
∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为 ．
（2）解：把 代入 ，得
．
【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线 ，则以下说法中，错误的是
（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当 时，y有最大值为0
【答案】D
【分析】本题考查了基本二次函数 的性质，根据抛物线 的开口方向，顶点坐标，结合
图象进行判断．
解：由抛物线 可知，
A. ，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意；
B.顶点坐标为 ，故选项B正确，不符合题意；
C.对称轴为直线 ，故选项C正确，不符合题意；
D.当 时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数
的图象如图所示，则 的大小关系为 ．【答案】 #
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由 的值决定的， 越大，开
口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由 的值决定是解题的关键．
解：由抛物线开口方向可知， 为正数，
又由开口大小可得， ，
故答案为： ．
【题型5】二次函数 的增减性
【例题5】 （2025·广东潮州·一模）已知点 ， ， 都在二次函数 的
图象上，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二
次函数的性质是解题的关键．
解： 二次函数 的图象关于 轴对称，
关于 轴的对称点为 ，
，且 时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故选：D．【变式1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当 时，函数 的最大值与最小值的和
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向
下，对称轴为直线 ，即 轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能
够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键．
解：由二次函数 可知，对称轴为直线 ，即 轴， ，
∴当 时，二次函数 有最大值 ，
由 ，根据距离对称轴越远，函数值越小，
∴当 时，有最小值 ，
∴当 时，函数 的取值范围为 ，
∴最大值与最小值的和为 ，
故选： ．
【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知 的图象上有三点 ， ，
，且 则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键．
根据函数 的图象上有三点 ， ， 得到 ，由
得 ，即可得到答案．
解：∵函数 的图象上有三点 ， ， ，
，
，，
，
故选：A．
【题型6】二次函数 的对称性
【例题6】 （22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数 ，当 取
时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 ．
【答案】
【分析】先判断出二次函数图像对称轴为 轴，再根据二次函数的性质判断出 关于 轴对称
即可解答．
解：二次函数 的对称轴为 轴，
取 时，函数值相等，
关于 轴对称，
，
当 取 时，函数值为0．
故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出 关于 轴对称是解题的关键．
【变式1】（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数 ，当 取
时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 ．
【答案】
【分析】先判断出二次函数图像对称轴为 轴，再根据二次函数的性质判断出 关于 轴对称
即可解答．解：二次函数 的对称轴为 轴，
取 时，函数值相等，
关于 轴对称，
，
当 取 时，函数值为0．
故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出 关于 轴对称是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线 ，正方形 的顶点
在抛物线上，顶点 在 轴上，求点 的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是
解题的关键．设正方形 的边长为 ，则根据抛物线对称性可得 ，代入抛物线的解析
式即可求得 ，得到 ；
解：设正方形 的边长为 ，
则 ， ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．【题型7】二次函数 的图象与性质综合
【例题7】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线 ，给出下列说法：①抛物线开口
向下，顶点是 ；②当 时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线 ；④当
时， ；⑤若 、 是该抛物线上两个不同的点，则 ．其中正确
的说法有 ．（填序号）
【答案】②③⑤
【分析】本题考查了二次函数 的性质，熟知二次函数 的性质是解题的关键；
根据 的开口向下，顶点是 可判断①，根据二次函数的增减性可判断②，根据抛物线的
对称轴为y轴可判断③，根据二次函数的增减性和最值可判断④，根据二次函数的对称性可判断⑤，
进而可得答案．
解：∵抛物线 ，
∴①抛物线开口向下，顶点是 ，故说法①错误；
②当 时，y随x的增大而减小，故说法②正确；
③抛物线的对称轴为y轴，即直线 ，故说法③正确；
④当 时， ，故说法④错误；
⑤若 、 是该抛物线上两个不同的点，则 ，故说法⑤正确；
综上，说法正确的是②③⑤，
故答案为：②③⑤．
【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口方向是向下 B．当 时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线 D．当 时，y有最大值，最大值是0
【答案】B
【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的
对称轴可判断C选项，利用二次函数开口向上，函数有最小值可判断D选项．
解：A、二次函数 中， ，图象开口向上，原说法错误，不符合题意，选项错误；
B、根据二次函数性质可知，当 时，y随x的增大而减小，原说法正确，符合题意，选项正确；C、抛物线的对称轴为直线 ，原说法错误，不符合题意，选项错误；
D、二次函数 图象开口向上， 有最小值，原说法错误，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性
质是解题关键．
【变式2】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）关于抛物线 ，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是 ．
②当 时， 随 的增大而减小．
③当 时， ．
④若 是该抛物线上两个不同的点，则 ．
其中正确的说法有 ．（填序号）
【答案】 /
【分析】②直接④根④据②二次函数的图象和性质逐项判断即可．
解：∵ ，
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项错误；
②对称轴为 ，当 时，y随x的增大而减小，故该项正确；
③当 时， 时取最大值0， 时取最小值 ，因此 ，故该项错误；
④若 、 是该抛物线上两点，则两点关于直线 对称，因此 ，故该项正确．
故答案为：②④．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关
键．
【题型8】二次函数 的图象和性质与几何综合
【例题8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点 的直线交抛物线 于点F，
D，过点F的直线 交抛物线于另一点E，则直线 过定点，求这个定点的坐标．【答案】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质和待定系数
法是解题的关键，根据二次函数解析式设 ，利用待定系数法分别求
出直线 , , 的解析式，由 过 点和直线 的解析式可得到 ， ，
再分别将其代入到直线 中，可得到 ，进而得到直线 过定点 ．
解：设 ．
利用待定系数法可得，直线 ，
直线 ，
直线 ．
过 点，
．
∵直线 的解析式为 ．
，
∴
，
∴
．
∴直线 ，
∵当 时， ，
∴直线 过定点 ．
【变式1】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形 中， ，点A、B在抛物线 上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和 ，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三
角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入 即可求解，构造全等三角形解
题是关键．
解：过B作 轴于E，过A作 轴于D，
在等腰直角三角形 中， ，则 ，
∵A、B两点的横坐标分别为1和 ，
∴ ， ，
∵点A、B在抛物线 上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
整理 ，
解得： 或 （舍去），
∴b的值为2，
故答案为：2．
【变式2】（2022·广东东莞·一模）观察规律 ，运用你观察
到的规律解决以下问题：如图，分别过点 作 轴的垂线，交 的图
象于点 ，交直线 于点 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归
纳总结方法．由 可得： ， ，则可得 ，则可得
，再利用 ，进行计算即可．
解：∵过点 的垂线，交 的图象于点 ，交直线 于点 ；
∴令 ，可得： 纵坐标为 ， 纵坐标为 ，， ，
．
，
．
故选：D．
二．同步练习
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．
根据一次函数以及二次函数的性质逐项判断即可．
解：A、∵ ，
∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、∵ ，对称轴为y轴，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；C、 ，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
D、∵ ，
∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ，当 时，y随x增大而减小，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键．
解：∵二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴ ．
故选：C．
3．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数 的性质，说法不正确的是（ ）
A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴
C．当 时，y随x的增大而减小 D．有最大值
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可
以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本
题的关键是明确二次函数的性质，难度较小．
解：A、因为 ，把 代入，解得 ，故它的图象经过点 ，故该选项是正确的，不符
合题意；
B、 的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意；
C、 的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当 时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，
不符合题意；
D、因为 的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意．故选：D．
4．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此
题的关键．先根据一次函数的性质确定 与 两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出
结论．
解： A. 函数 图形可得 ，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，
而不是交 轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数 图形可得 ，则 开口方向向下正确，顶点坐标为 ,故选项B正确；
C. 函数 图形可得 ，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选
项C不正确；
D. 函数 图形可得 ，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选
项D不正确；
故选B．
5．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点 、 、 、 ，若抛物线
与四边形 的边没有交点，则a的取值范围为（ ）A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的
关系；把 ， 分别代入 求得 ， ，然后根据图象即可求得答案．
解：如图所示：把 代入 得， ，
把 代入 得 ，
抛物线的开口越小， 的绝对值越大，
抛物 与四边形 的边没有交点，则 的取值范围为： 或
故选C．
6．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线 的第
一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，正方形的性质．设 ，代入 ，确定 ，
，利用正方形的对角线相等计算选择即可．
解：∵正方形 的顶点B在抛物线 的第一象限的图象上，点B的纵坐标是横坐标的2倍，
∴
设 ，代入 ，
得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
二、填空题
7．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线 与 的形状相同，开口方向相反，则
．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次图象的形状相同，开口方向相反，则a互为
相反数是解题的关键．
二次图象的形状相同，开口方向相反，则a互为相反数求解即可．
解：∵抛物线 与 的形状相同，开口方向相反
∴
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知点 在抛物线 上，则 的大小关系是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把点 、
代入解析式 ，然后比较大小即可．
解： 点 在抛物线 上，
， ，
，
故答案为： ．
9．（22-23九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数 开口向上，且 ，则
．
【答案】5
【分析】根据二次函数开口朝上，得到 ，然后化简 ，即可求得a的值．
解：∵二次函数 开口向上，
∴ ，
∵
∴ 或
∴ 或
又∵
∴ ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方向判断a的正
负．
10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）二次函数 ，当 时，则 的取值范围是
．【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数 可得对称轴为 ，结合自变量的
取值方法，代入 进行计算，即可求解．
解：已知二次函数 ，
∴对称轴为 ，开口向上，
∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；
∴当 时， ， 是最大值； 时， 是最小值；
当 时， ， 是最大值； 时， 是最小值；
∴当 时， ，
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 和点 ，若
抛物线 与线段 恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入 得a的值，根据二次
函数的性质得到a的取值范围．
解：把 代入 得 ；
把 代入 得 ，
∴a的取值范围为 ．
故答案为： ．
12．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数 的图象如图所示，点 为坐标原点，点
在 轴的正半轴上，点 、 在函数图象上，四边形 为菱形，且 ，则点 的坐标
为 ．【答案】
【分析】连结 交 于 ，如图，根据菱形的性质得 ， ，利用含 度的
直角三角形三边的关系得 ，设 ，则 ， ， ，利用二次函数图象
上点的坐标特征得 ，得出 ， ，然后根据菱形的性质得出 点坐标．
解：连结 交 于 ，如图，
四边形 为菱形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
把 ， 代入
得 ，
解得 舍去 ， ，
， ，
故 点坐标为： ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性
质得出 的长是解题关键．
三、解答题
13．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知 是关于 的二次函数．
（1）求 值；
（2）若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）2；（2）
【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，
（1）根据二次函数最高次必须为二次建立方程，解方程即可得到答案；
（2）先判断二次函数的开口方向，求出二次函数的对称轴和 时x的值，结合二次函数的图像
性质即可得到答案．
解：（1）解：根据题意得： ，且 ，
解方程得： 或 （舍去），
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线开口向上，且对称轴为：
∵ 时，解方程得， ， ，
∴当 时， ．
14．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知 是关于x的二次函数．
（1）若函数图象有最低点，求k的值；
（2）判断点 是否在（1）中的函数图象上．
【答案】（1） ；（2）不在
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质：（1）根据二次函数的定义可得 ，则 ，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，
据此求解即可；
（2）根据（1）所求求出当 时的函数值即可得到结论．
解：（1）解：∵ 是关于x的二次函数，
∴ ，
∴ ，
∵函数图象有最低点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得函数解析式为 ，
当 时， ，
∴断点 不在（1）中的函数图象上．
15．（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线 与直线 交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求抛物线 与直线 的两个交点 ， 的坐标（点 在点 右侧）．
【答案】（1） ；（2）点 坐标 ，点 坐标 ．
【分析】（1）将点 代入 求出 ，再把点 代入抛物线 求出 即可．
（2）解方程组即可求出交点坐标．
解：（1） 点 在直线 上，
，
点 坐标 ，把点 代入 得到 ，
．
（2）由 解得 或 ，
点 坐标 ， ，点 坐标 ， ．
【点拨】本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象
交点坐标．
16．（21-22九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，直线 与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2
交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
（1）求a，b的值；
（2）连接OC、OB，求△BOC的面积．
【答案】（1）a的值是 ；b的值是4；（2）
【分析】（1）把B（2，2）代入到直线 中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线
中，进行计算即可得；
（2）联立两函数解析式成方程组， ，进行计算可得点C的坐标为 ，即可得．
解：（1）解：把B（2，2）代入到直线 中，
得： ，
即 ；
把B（2，2）代入到抛物线 中，
得： ，即 ，
∴a的值是 ；b的值是4．
（2）解：∵b＝4，
∴点A（0，4）．
联立两函数解析式成方程组， ，
解得： 或 ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系
数法求参数，求函数解析式．
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如 （a、b、c为常数， 的函
数）叫二次函数成为解题的关键．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B． 是二次函数，故本选项符合题意；
C． ，y是x的一次函数，故本选项不符合题意；D． 不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是 轴
C．有最高点 D． 随 的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
解：抛物线 的开口向上，有最低点，对称轴为y轴，
当 时，函数值 随x的增大而减小，
∴四个选项中只有B选项的说法正确，
故选：B．
3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线 与直线 围成的封闭图形内部有k个
整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，
运用数形结合思想是解题的关键．
先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的 的取值范围为 ，
于是可得 的整数解为 ， ， ，根据函数图象分别求出当 ， ， 时的整点数，将其相加
即可得出 的值．
解：令 ，解得： ， ，
抛物线 与直线 围成的封闭图形（不包括边界）的 的取值范围为： ，
的整数解为： ， ， ，
当 时， ， ，
满足条件的整点为 一个点；
当 时， ， ，
满足条件的整点为 ， 两个点；
当 时， ， ，
满足条件的整点为 ， 两个点；
满足条件的整点共 个，故 ，
即： 的值为 ，
故选： ．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点
的坐标是 ，连接 ，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点 ，代入求出 的值，再结合函数图象求解即可得．
解：将点 代入抛物线 得： ，解得 ，
将点 代入抛物线 得： ，
如图，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，
则 的取值范围是 ，
故选：D．
5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形 的顶点O，A，C在抛物线 上，
其中点O为坐标原点，对角线 在y轴上，且 ．则菱形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解
题的关键．连接 交 于点D，则由菱形性质知 ，从而得 ；
由 知， 点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得 的长，从而得 长，由菱形
面积公式即可求得其面积．
解：如图，连接 交 于点D；∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ 点纵坐标为1；
∵点A在抛物线 上，
∴ ，
解得： ，
即A点横坐标为 ，
即 的长，
∴ ，
∴菱形面积为 ．
故选：C．
6．（2023·四川达州·二模）如图，已知点 在函数 位于第二象限的图像上，点
在函数 位于第一象限的图像上，点 在 轴的正半轴上，若四边形
都是正方形，则正方形 的边长为（ ）A．1012 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得 与 轴的夹角为 ，然后表示出 的解析式，
再与抛物线解析式联立求出点 的坐标，然后求出 的长，再根据正方形的性质求出 ，表示
出 的解析式，与抛物线联立求出 的坐标，然后求出 的长，再求出 的长，然后表示
出 的解析式，与抛物线联立求出 的坐标，然后求出 的长，从而根据边长的变化规律解答
即可．
解： 是正方形，
与 轴的夹角为 ，
的解析式为 ，
联立方程组得： ，
解得 ， ．
点的坐标是： ， ，
；同理可得：正方形 的边长 ；
依此类推，正方形 的边长是为 ．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，
与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
二、填空题
7．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）二次函数 的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它
的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】把抛物线翻折后二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反即可求解.
解：由题意得二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反，故翻折后它的函数解析式为y=−2x2，
故答案为：y=-2x2
【点拨】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数有关性质是解答此题的关键．
8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形 是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，
点B在y轴上，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点 作 轴于点 ，设
，由四边形 是正方形，且点 在 轴上，得 ，得出 是
等腰直角三角形，推出 ，即 ，解得 （舍去）或 ，求出 ，由勾
股定理可求出 ．
解：过点 作 轴于点 ，如图，设 ，
∵四边形 是正方形，且点 在 轴上，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
9．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴的负半轴上，抛物线
过点 ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点 作 轴交 轴于点，求出 点的坐标，代入即可求解，求出 点的坐标是解题的关键．
解：过点 作 轴交 轴于点 ，
∵菱形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
10．（21-22九年级上·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（ ，2）在抛物线
y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线
内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为 ．
【答案】
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为（m，2-2m），将点坐标代入解析式求解．
解：把A（ ，2）代入y=ax2中得2= a，
解得a=1，
∴y=x2，
设点C横坐标为m，
∵四边形CDFE为正方形，
∴CD=CE=2m，
∴点E坐标为（m，2-2m），
∴m2=2-2m，
解得m=-1- （舍）或m=-1+ ．
∴CD=2m=-2+2 ．
答：线段CD的长是-2+2 ．
故答案为：-2+2 ．
【点拨】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
11．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，
作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣
PH是个定值，则这个定值为 ．
【答案】2
【分析】设p（x， x2-1），则OH=|x|，PH=| x2-1|，因点P在x轴上方，所以 x2-1>0，由勾股
定理求得OP= x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
解：设p（x， x2-1），则OH=|x|，PH=| x2-1|，当点P在x轴上方时，∴ x2-1>0,
∴PH=| x2-1|= x2-1，
在Rt OHP中，由勾股定理，得
△
OP2=OH2+PH2=x2+（ x2-1）2=（ x2+1）2，
∴OP= x2+1，
∴OP-PH=（ x2+1）-（ x2-1）=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．
12．（19-20九年级下·吉林·阶段练习）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线
交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直
角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x 的“完美三角
形”斜边AB的长 ．
【答案】2．
【分析】过点B做BN⊥x轴于N，得到△BON是等腰直角三角形，设点B坐标为（n，n），根据点
B在抛物线y＝x 上，求出点B坐标为（1，1），点A坐标为（-1，1），问题得解．
解：过点B做BN⊥x轴于N，
由题意得△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BON=45°∴△BON是等腰直角三角形，
设点B坐标为（n，n），
∵点B在抛物线y＝x 上，
∴n =n
解得n=1，或n=0（不合题意，舍去），
∴点B坐标为（1，1），
∴点A坐标为（-1，1），
∴AB=2．
故答案为：2
【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，二次函数性质，理解“完美三角形”概念，根据题意得
到△AOB为等腰直角三角形是解题关键．
三、解答题
13．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知 是二次函数，且当 时， 随
的增大而增大．
（1）求实数 的值；
（2）写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1） ；（2） ，对称轴是 轴
【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关
键．
（1）根据二次函数的次数是2可得方程，根据二次函数的性质，可得 ，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．
解：（1）解：由 是二次函数，且当 时， 随 的增大而增大，得，
解得 ；
（2）由（1）得二次函数的解析式为 ，
的顶点坐标是 ，对称轴是y轴．
14．（21-22九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线
上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）P点的坐标为
【分析】（1）根据题意设 ，则 ，代入抛物线的解析式即可求得 ，得到
；
（2）根据待定系数法求得直线 的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求
得P点的坐标．
解：（1）解：由题意可设 ，则 ，
∵点A在抛物线 上，
∴ ，
∴ 或 （舍去），∴ ；
（2）解：设直线 的解析式 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线 为 ，
由 解得 或 ，
∴P点的坐标为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是
解题的关键．
15．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数 的图像经过点 ．
（1）求出这个函数关系式；
（2）写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点C，使得 的面积等于 面积的2倍？如果存在，求出点C
的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数关系式为 ；（2） ； ；（3）存在，此时C点坐标为
、 、 、
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据条件求出 ，从而求出 ，即可求解；
（3）由题意可得点 到 的距离是点C到 的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把
和 代入求解即可．解：（1）解;∵二次函数 的图像经过点
∴把点 直接代入 可得： ，
∴二次函数关系式为 ．
（2）解：把 代入 ，解得： 或1，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：存在；
∵ 的面积等于 面积的2倍，且 和 都有共同的底边 ，
∴点 到 的距离是点C到 的距离的2倍，
∵ 到 的距离为2，
∴点C到 的距离为1
即点C的纵坐标为1或者3，
把 代入 得： ，把 代入 得： ，
∴此时C点坐标为 、 、 、 ；
【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所
学知识是关键．
16．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，
与 轴于点 ，其中点 的坐标为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上．【答案】（1） ， ；（2）见分析
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D
的坐标，可得结论．
解：（1）把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=- x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y= ×22=2，
∴点D在抛物线y= x2上．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
