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专题 22.1 二次函数的图象和性质
目录
二次函数的定义.................................................................................................................................1
二次函数求参数.................................................................................................................................3
二次函数一般式.................................................................................................................................4
性质......................................................................................................................................4
图像开口..............................................................................................................................6
图像问题..............................................................................................................................7
顶点坐标............................................................................................................9
性质..................................................................................................................10
图像平移..........................................................................................................12
二次函数一般式配凑顶点式...........................................................................................................13
二次函数图像问题...........................................................................................................................15
二次函数比较大小...........................................................................................................................19
二次函数性质综合...........................................................................................................................21
二次函数的定义
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变
量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
【例1】下列函数中，属于二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．不含有 的二次项，所以 不符合题意；
．化简后 ，不含有 的二次项，所以 不符合题意；
．符合题意；． ，不含有 的二次项，所以 选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列关于 的函数一定为二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．当 时， 不是二次函数，故本选项不符合题意；
．是二次函数，故本选项符合题意；
．是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列选项中是二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、是一次函数，故此选项不合题意；
、是反比例函数，故选项不合题意；
、 ，是二次函数，故此选项符合题意；
、是正比例函数，故此选项不合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列具有二次函数关系的是
A．正方形的周长 与边长
B．速度一定时，路程 与时间
C．正方形的面积 与边长
D．三角形的高一定时，面积 与底边长
【解答】解： 、 ，是一次函数，错误；
、 ， 一定，是一次函数，错误；
、 ，是二次函数，正确；、 ， 一定，是一次函数，错误．
故选： ．
二次函数求参数
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变
量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
【例2】若 是关于 的二次函数，则 的值是
A．1 B． C． D． 或
【解答】解： 函数 是关于 的二次函数，
且 ，
解得 ，
故选： ．
【变式训练1】若抛物线 是关于 的二次函数，那么 的值是
A．3 B． C．2 D．2或3
【解答】解：由题意得， 且 ，
解得 ， ，且 ，
所以， ．
故选： ．
【变式训练2】若函数 的图象是抛物线，则 的值为
A． B．2 C．4 D．
【解答】解： 函数 的图象是抛物线，
且 ，
．故选： ．
【变式训练3】已知 是 关于 的二次函数，则 的值为
A． B．3 C． 或3 D．0
【解答】解： 是 关于 的二次函数，则 且 ．，
解得： ．
故选： ．
二次函数一般式
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变
量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
【例3】二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是
．
【解答】解：二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是
故答案为： ；
【变式训练1】已知二次函数 ，则二次项系数 ，一次项系数
，常数项 ．
【解答】解：二次函数 ，则二次项系数 ，一次项系数 ，常数项
，
故答案为：3， ，
【变式训练2】二次函数 的一次项系数是
A．1 B．2 C． D．3
【解答】解：二次函数 的一次项系数是 ，
故选： ．
【变式训练3】二次函数 的一次项系数为 ．【解答】解： ，一次项系数为 ．
故答案为： ．
性质
Y轴式抛物线y= x2的对称轴，抛物线y= x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线
y= x2的顶点，它是抛物线y= x2的最低点。
【例4】抛物线 的顶点坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
故选： ．
【变式训练1】二次函数 的图象经过的象限是
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【解答】解： ，
抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
抛物线经过第一，二象限．
故选： ．
【变式训练2】抛物线 的开口方向是
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【解答】解： 中， ，
抛物线开口向下，
故选： ．
【变式训练3】关于抛物线 ，下列说法正确的是A．开口向下
B．顶点坐标为
C．对称轴为 轴
D．当 时，函数 随 的增大而增大
【解答】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为 轴，顶点坐标是 ，
、 都错误， 正确，
，对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小，
错误，
故选： ．
图像开口
一般地，抛物线y= ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a＞0时，抛物线的开口向上，
顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于
抛物线y= ax2，|a|越大，抛物线开口越小。
【例5】在函数① ，② ，③ 中，图象开口大小顺序用序号表示应
为
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．② ① ③
【解答】解： ， ， ，
，
越小，开口越大，
② ③ ①，
故选： ．
【变式训练1】在函数① ．② ．③ 中，图象开口大小顺序用序号表示为
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．② ① ③
【解答】解： 抛物线的开口大小是由二次项系数 的绝对值的大小确定， 越大则开口
越小．
开口大小按题号顺序表示为② ③ ①．
故选： ．
【变式训练2】抛物线 与 的开口大小相等，开口方向相反，则
．
【解答】解： 抛物线 与 开口大小相等、方向相反，
．
【变式训练3】二次函数 、 、 的图象开口大小由大
到小排列
A． B． C． D．
【解答】解： ，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小，
，
故选： ．
图像问题
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果
a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
【例6】在同一平面直角坐标系 中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．由直线可知 ，由抛物线开口向上， ，不符合题意．
．由抛物线开口向上 ，抛物线与 轴交点在 轴下方，在 ，不符合题意．
．由直线可知 ，由抛物线开口向下 ，抛物线与 轴交点在 轴下方， ，
符合题意．
．由直线可知 ，抛物线开口向下 ，不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 ，由二次函数 可知 ，当 ，由二次函数可知 ，
故 、 、 错误， 正确；
故选： ．
【变式训练2】已知 是不为0的常数，函数 和函数 在同一平面直角坐
标系内的图象可以是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， 的图象是经过原点和一三象限的直线， 开口
向上，与 轴交于负半轴，对称轴是 轴，
当 时， 的图象是经过原点和二四象限的直线， 开口向下，与 轴
交于负半轴，对称轴是 轴，
故选： ．
【变式训练3】已知 是不为0的常数，函数 和函数 在同一平面直角坐
标系内的图象可以是A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， 的函数图像经过原点和一，三象限， 的图像
开口向下，与 轴交于正半轴．
当 时， 函数图像经过原点和二，四象限， 的图像开口向上，与
轴交于负半轴．
故选： ．
顶点坐标
（1）当a＞0时开口向上；当a＜0时开口向下。
（2）对称轴是x=h。
（3）顶点是（h,k）。
【例7】抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
故选： ．【变式训练1】抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
故选： ．
【变式训练2】抛物线 的顶点坐标是
A． ， B． C． D．
【解答】解：抛物线 的顶点坐标是 ， ．
故选： ．
【变式训练3】抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
此函数的顶点坐标为 ，
故选： ．
性质
（1）当a＞0时开口向上；当a＜0时开口向下。
（2）对称轴是x=h。
（3）顶点是（h,k）。
【例8】对于函数 的图象，下列说法不正确的是
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．最大值为 D．与 轴不相交【解答】解：对于函数 的图象，
，
开口向下，对称轴 ，顶点坐标为 ，函数有最大值 ，与 轴的交点坐标是
，
故 选项符合题意，
故选： ．
【变式训练1】已知二次函数 ，则关于该函数的下列说法正确的是
A．该函数图象与 轴的交点坐标是
B．当 时， 的值随 值的增大而减小
C．当 取0和2时，所得到的 的值相同
D．当 时， 有最大值是1
【解答】解：令 ，则 ，
二次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，
故 不符合题意；
二次函数 的对称轴为 ，开口向上，
当 时， 随 的增大而增大，
故 不符合题意；
当 时， ，当 时 ，
故 符合题意；
二次函数 的对称轴为 ，开口向上，
当 时， 有最小值，
故 不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】关于二次函数 ，下列说法正确的是A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当 时， 随 的增大而增大
【解答】解： 中，
的系数为1， ，函数图象开口向上， 错误；
函数图象的顶点坐标是 ， 错误；
函数图象开口向上，有最小值为5， 错误；
函数图象的对称轴为 ， 时 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大，
正确．
故选： ．
【变式训练3】下列对二次函数 的图像描述不正确的是
A．开口向下
B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点
D．当 时，函数值 随 的增大而减小
【解答】解： 、 ，
抛物线的开口向下，正确，不合题意；
、抛物线的顶点坐标是 ，故本小题正确，不合题意；
、令 ，则 ，
所以抛物线与 轴的交点坐标是 ，故不正确，符合题意；
、抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
当 时，函数值 随 的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选： ．图像平移
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y= ax2的形状相同，位置不同，把抛物线 y= ax2向上
（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k。平移的方向、距离要根据h，k
的值来决定。
【例9】二次函数 的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是
A． B． C． D．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，二次函数 的图象向下平移2个单位，得
到新图象的二次函数表达式是： ．
故选： ．
【变式训练1】将二次函数 先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，所
得图象的函数解析式是
A． B． C． D．
【解答】解：将二次函数 先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后所得
抛物线的解析式为 ，即 ，
故选： ．
【变式训练2】如果将抛物线 向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐
标是
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线 的顶点坐标为 ，顶点坐标 向上平移2个单位，
平移后的抛物线的顶点坐标为 ．
故选： ．
【变式训练3】将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
即可得到抛物线 ，即 ．其顶点坐标是 ．
故选： ．
二次函数一般式配凑顶点式
b b 4ac−b2
抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是x= - ，顶点是（- ， ）
2a 2a 4a
【例10】用配方法将二次函数 化为 的形式为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
【变式训练1】把 配方成 的形式后， 和 对应的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：，
则 ， ，
故选： ．
【变式训练2】将二次函数 配成顶点式为
A． B．
C． D．
【解答】解：
．
故选： ．
【变式训练3】用配方法将 化为 的形式，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
．
故选： ．二次函数图像问题
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
[来源:学科网ZXXK] 2a
( b 4ac−b2)
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
[来源:学_科_网Z_X_X_K] 科网] [来源:学#科#网][来源:学 [来源:学*科*网] 2a 4a
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
4ac−b2
4a
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
b b
− −
2a 2a
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增 大。
减
性 b b
− −
2a 2a
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
。
【例11】二次函数 的图象如图所示，已知其对称轴为 ，则下列
结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在 轴正半轴，，
、 异号，
，
抛物线与 轴交于负半轴，
，
，故选项 错误；
抛物线对称轴为直线 ，
，即 ．
，故选项 错误；
由题图可得，当 时， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，与 时抛物线上的两个点关于对称轴对称．即 与 关于
对称轴对称．
．
，
．
，即 ．故选项 正确；
抛物线 与 轴有两个交点，
．
故选项 错误．
故选： ．
【变式训练1】二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是A． B．
C．当 时， D．
【解答】解： 抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
．选项 正确．
抛物线与 轴有两个不同交点，
△ ，
，选项 正确．
抛物线经过 ，对称轴为直线 ，
抛物线经过 ，
时， ，选项 正确．
，
，
抛物线经过 ，
，选项 错误．
故选： ．
【变式训练2】二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，下列结论中不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线的开口向下知 ，与 轴的交点为在 轴的正半轴上，
，对称轴为直线 ，得 ，
、 异号，即 ，即 ，故 选项结论正确；
抛物线与 轴有两个交点，
，即 ，故 选项结论正确；
由二次函数 图象可知，当 时， ，
，故 选项结论正确；
，
，
，
，故 选项结论不正确；
故选： ．
【变式训练3】已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，
，
图象与 轴的交点在 轴的上方，
，
图象的对称轴在 轴的左侧，
，
，
，
选项不合题意，
由图象可知，当 时， ，
选项不合题意，
当 时， ，
选项不合题意，
，
，
选项符合题意，
故选： ．
二次函数比较大小
【例12】函数 图象上有两点 ， ， ， ，若 ，则 、
的大小关系是
A． B．
C． D． 、 的大小不确定
【解答】解： ，
此函数的对称轴为： ，，两点都在对称轴左侧， ，
对称轴左侧 随 的增大而减小，
．
故选： ．
【变式训练1】已 知 抛 物 线 过 ， ， ，
四点，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线 过 ， ， ， 四点，
抛物线开口向下，对称轴为 ．
，
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ， 是抛物线 上的点，则
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线 ，
关于对称轴的对称点为
，
时， 随 的增大而减小，
，
．
故选： ．【变式训练3】已知抛物线 过 ， ， ， ，
四点，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线 过 ， ， ， ，
四点，
抛物线开口向上，对称轴为 ．
，
故选： ．
二次函数性质综合
【例13】关于二次函数 下列说法中错误的是
A．用配方法可化成
B．将它的图象向下平移5个单位，会经过原点
C．函数有最大值，最大值为
D．当 时， 随 的增大而减小
【解答】解： ，故 正确，不符合题意；
其对称轴为 ，开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为 ，
函数有最小值，最小值为 ，当 时， 随 的增大而减小，故 错误，符合题意，
正确，不符合题意；
令 可得 ，
与 轴的交点坐标为 ，将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故 正确，不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】对于二次函数 ，下列结论错误的是
A．它的顶点坐标为
B．当 时，它的图象经过第一、二、三象限
C．点 与 是二次函数图象上的两点，则
D．无论 取何实数，它的图象一定经过点 ，
【解答】解： ，
可得它的顶点坐标为 ， 正确；
当 时， ，顶点在第三象限，开口向上， 时， ，
它的图象经过第一、二、三象限， 正确；
函数对称轴为 ，开口向上，距离 越远，函数值越大，
距离 的的距离 距离 的的距离，
， 错误；
，
当 时， ，无论 取何实数，它的图象一定经过点 ， ，
正确；
故选： ．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，对于抛物线 ，下列说法中错误的是
A． 的最小值为1
B．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小
D．它的图象可以由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得
到
【解答】解：二次函数 ， ，
该函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，当 时， 有最小值1，
当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小；
故选项 、 的说法正确， 的说法错误；
根据平移的规律， 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
故选项 的说法正确，
故选： ．
【变式训练3】关于二次函数 ，下列说法正确的是
A． 有最小值
B．图象的对称轴为直线
C．当 时， 的值随 的值增大而增大
D．图象是由 的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的
【解答】解： ． ，
抛物线开口向下，函数有最大值，因此该选项错误；
． ，
二次函数 图象的对称轴为直线 ，因此该选项错误；
． 抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而增大，因此该选项错误；
． 图象是由 的图象向左平移 1个单位长度，再向上平移 6个单位长度得到，
二次函数 图象是由 的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6
个单位长度得到的，因此该选项正确；
故选： ．
1．下列函数是 关于 的二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 不是二次函数，故此选项错误；
、 不是二次函数，故此选项错误；
、 是二次函数，故此选项正确；
、 不是二次函数，故此选项错误；
故选： ．
2．下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、当 时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选： ．
3．下列函数是二次函数的是A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，是一次函数，故 不符合题意；
、 ，是二次函数，故 符合题意；
、 ，是一次函数，故 不符合题意；
、 ，不是二次函数，故 不符合题意；
故选： ．
4．已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是
A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而减少 D．图象与 轴有唯一交点
【解答】解： ，
抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，当 时， 随
的增大而增大，
令 ，则 ，
△ ，
抛物线与 轴有两个交点．
故选： ．
5．某同学为了画抛物线 的图象，取自变量的四个值 ， ， ， ，并
求得其对应的 值分别为 ， ， ， ．经检验，其中恰有一个 值
计算错误，若 ，则算错的 值是A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
．
，
，
，
，
，
由于 参加运算的结果，可知 错了，
故选： ．
6．抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选： ．
7．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数 的图象可得， ， ， ，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选： ．
8．一次函数 与二次函数 在同一个平面坐标系中图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 一次函数和二次函数都经过 轴上的 ，
两个函数图象交于 轴上的同一点，故 不符合题意；
当 时，二次函数 的图象开口向上，一次函数 中 值随 值的
增大而增大，故 不符合题意；
当 时，二次函数 的图象开口向下，一次函数 中 值随 值的
增大而减小，故 不符合题意．
故选： ．
9．当 时，函数 是二次函数．【解答】解：根据题意得： 且 ，
由 得 ，
由 得 ，
．
故答案为： ．
10．函数 是二次函数，则 ．
【解答】解： 函数 是关于 的二次函数，
，
．
故答案为： ．
11．若 是二次函数，则 的值为 3 ．
【解答】解：当 且 时，为二次函数，
（舍去）， ．
故答案为3．
12．如图所示，在同一坐标系中，作出① ；② ；③ 的图象，则图象从
里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ①③② ．
【解答】解：① ，
② ，
③ 中，二次项系数 分别为3、 、1，，
抛物线② 的开口最宽，抛物线① 的开口最窄．
故依次填：①③②．
13．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ．
（1）求点 的坐标及抛物线的对称轴．
（2）当 时， 的最大值是2．求当 时， 的最小值．
【解答】解：（1）将 代入 得 ，
点 坐标为 ，
，
抛物线对称轴为直线 ．
（2） ，
抛物线开口向下，
抛物线对称轴为直线 ，
当 时， 时 取最大值2，
将 代入 得 ，
解得 ，
，
将 代入 得 ，
的最小值为 ．
14．当 为何值时， 是二次函数？
【解答】解： 是二次函数，，
解得： ， ，
，
，
故 ．
15．当系数 ， ， 满足什么条件时，函数 是二次函数？是一次函数？是
正比例函数？
【解答】解：函数 中 ， 和 为任意常数时是二次函数，
， ， 为任意常数时是一次函数；
， ， 时是正比例函数．
