文档内容
22.1 二次函数的图像和性质（第一课时）
【考点归纳】
考点一、二次函数的定义
考点二、根据二次函数的定义求参数
考点三、二次函数y=ax2的图象和性质
考点四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
考点五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
考点六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
考点七、二次函数图像与一次函数的交汇问题
考点八：二次函数的图像平移问题
考点九：二次函数图像和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分
别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实
数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．
（3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y =0 当x=0时，y =0
最小值 最大值
对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，k） （0，k）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小. x<0时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当x=0时，y = k 当x=0时，y = k
最小值 最大值
知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x0） y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x1，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解；
（3）由根的判别式和根于系数的关系得Δ=(-2a) 2-4a(-a-1) ， ，即可求解；
掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个
b
{ x +x =-
1 2 a
相等的实数根； 时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键．
c
x ⋅x =
1 2 a
【详解】（1）解： 图像过点 ， ，
；
故答案： ；（2）解：由（1）得
，
∵n>2，
∴n-1>1，
，
到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
，
到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，
；
（3）解：由（1）得
a(x-1) 2+4=2a+5，
整理得：ax2-2ax-a-1=0，
方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2a) 2-4a(-a-1)=8a2+4a>0，
令 ，画出图象如图所示：
由图象得： 或 ，
∵方程有一个正根和一个负根，
-a-1
∴x ⋅x = <0，
1 2 a
则有
同理由图象求得，或 ，
综上：a的取值范围为： 或 ．
46．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，直线 过 和 两点，它与二次函数 的图像在
第一象限内交于 点，若 的面积为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)能否将抛物线 上下平移，使平移后的抛物线经过点 ？
【答案】(1)
(2)
(3)故能将抛物线 向下平移 个单位长度，使平移后的抛物线经过点
【分析】此题考查二次函数图像与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上
点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键；
（1）有题意直线 过点 和 两点，根据待定系数法求出直线 的解析式，再根据 的面积为
求出点 的纵坐标，然后将其代入直线 的解析式，即可求出点 坐标；
（2）把点 的坐标代入 ，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）设将抛物线 上下平移后抛物线为 ，把点 坐标代入，求出 的值即可；
【详解】（1）设直线 的解析式为：直线 过 和 两点，
， ，
， ，
，
的面积为 ，
，
，
，
解得： ，
点 的坐标为：
（2）把点 代入 ，
得 ，
解得： ，
故二次函数解析式为：
（3）设将抛物线 上下平移后解析式为： ，
把点 代入，得 ，
解得： ，
故能将抛物线 向下平移 个单位长度，使平移后的抛物线经过点
