文档文本内容
22.1 二次函数的图像和性质（第一课时）
【考点归纳】
考点一、二次函数的定义
考点二、根据二次函数的定义求参数
考点三、二次函数y=ax2的图象和性质
考点四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
考点五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
考点六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
考点七、二次函数图像与一次函数的交汇问题
考点八：二次函数的图像平移问题
考点九：二次函数图像和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分
别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实
数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．
（3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y =0 当x=0时，y =0
最小值 最大值
对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，k） （0，k）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小. x<0时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当x=0时，y = k 当x=0时，y = k
最小值 最大值
知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=h时，y = 0 当x= h时，y = 0
最小值 最大值
知识点五 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x= h时，y = k 当x= h时，y = k
最小值 最大值
【题型探究】
题型一、二次函数的定义
1．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的一般形式：形如 ， ， 为常数且 ，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，是二次函数，故A不符合题意；
B、 ，不是二次函数，故B符合题意；
C、 ，是二次函数，故C不符合题意；
D、 ，是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列各式：（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ；（6） ；
（7） ．是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数叫做二次函
数．根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】解：（1） 是一次函数，故不符合题意；
（2） 是二次函数，故符合题意；
（3） 的分母含自变量，不是二次函数，故不符合题意；
（4）当 时， 不是二次函数，故不符合题意；
（5） 是一次函数，故不符合题意；
（6） 是二次函数，故符合题意；
（7）当 时， 不是二次函数，故不符合题意．故选B．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数关系式中：（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ；（6） ；二次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 为常数， 的函数叫做二次函数．判
断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能
写成 为常数， 的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1） 是二次函数，故符合题意；
（2） ，不是二次函数，故不符合题意；
（3） 是二次函数，故符合题意；
（4） 不是二次函数，故不符合题意；
（5） 不是二次函数，故不符合题意；
（6） ，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
题型二、根据二次函数的定义求参数
4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数 是二次函数，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次
函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （a、b、c是常数， ）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令 且 ，即可求出m
的取值范围．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ 且 ，
且 ，
．
故选：B．
5．（22-23九年级上·四川凉山·期中）已知 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出 且 ，再求出答案即可．
【详解】解： ，是关于x的二次函数，
且 ，
，
故选：B．
6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数 是二次函数，则k的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且 ）的函数
叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．
二次函数中，自变量最高此项的次数 的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数 不为0．
【详解】解：根据二次函数的定义，得 ，
解得 或 ．
，
，
当 时，这个函数是二次函数．
故选：A．
题型三、二次函数y=ax2的图象和性质7．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数 的图象，它们
图象的共同特点是（ ）
A．都是关于 轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点
C．当 时， 随 的增大而增大
D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图
象与性质逐项判断即可．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数 的图象，如图，
A、三个函数的图象都是关于 轴对称，函数 和 的图象开口向上，函数 的图象开口向下，
故此选项说法错误，不符合题意；
B、三个函数的图象都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意；
C、函数 和 ，当 时， 随 的增大而增大；函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
故此选项说法错误，不符合题意；
D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数 和 的图象的顶点是最低点，函数 的图象的顶点
是最高点，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
8．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，y的值随x值得增大而减小
B．y有最大值，最大值为0C．当 时，y的值随x值的增大而增大
D．y的值随x值得增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象和性质逐选项判断即可．
【详解】解： ，
时，y的值随x值得增大而增大；A不正确；
当x=0时，y有最大值，最大值为0，B正确；
当 时，y的值随x值得增大而增大；
当 时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确；
故选：B．
9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点 ， ， 都在函数 的图象上，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数 的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为y轴
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大
点 关于抛物线的对称轴的对称点为
∵
∴
故选：C．
题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
10．（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）．
A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为 轴 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数 中，
，
抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
函数 对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意；
把 代入 中，得 ，
∴图象的顶点坐标为 ，故选项B错误，符合题意；
∵图象开口向上，对称轴是y轴，
∴ 时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
11．（23-24九年级上·广东湛江·期末）若点 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性
质得到抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
而 离y轴的距离最远， 离y轴的距离最近，
∴ ．
故选：C．
12．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求
解，解题关键是熟练掌握二次函数图象与性质．
【详解】 、 的对称轴为 轴，此选项说法错误，不符合题意；
、 的顶点坐标为 ，此选项说法正确，符合题意；
、 中 ，开口向下，则函数有最大值 ，此选项说法错误，不符合题意；
、 中 ，开口向下，则函数有最大值 ，此选项说法错误，不符合题意；
故选： ．
题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
13．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是
解题的关键．
根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．
【详解】解：A、因为二次函数的表达式为 ，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意；
B、抛物线 的对称轴是直线 ，故此选项说法正确，不符合题意；
C、因为抛物线 的顶点坐标为 ，故此选项说法正确，不符合题意；
D、因为抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上，所以当 时， 随 的增大而减小，故此选
项说法不正确，符合题意；
故选：D．
14．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数 的图象上有 ， ， 三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴
越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴
的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵函数 ，
∴图象开口向下，对称轴为直线 ，
∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列对二次函数 的图像描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点 D．当 时，函数值 随 的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质与各系数的关系．
根据二次函数 的对称轴为 ．顶点坐标为 时，函数开口向下，在对称轴左边，y
随 的增大而增大，在对称轴右边，y随 的增大而减小； 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大
而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大． 逐个进行分析即可．
【详解】解：A、 ，开口向下，故A选项正确，不符合题意；
B、二次函数的顶点坐标是 ，故B选项正确，不符合题意；
C、当 时， ，与y轴交于点 ，故C选项不正确，符合题意；
D、二次函数的对称轴为 ，函数开口向下，当 时，函数值y随x的增大而减小，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当 时， 随 的增大而增大.
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线 是顶点式，可得对称轴是直线 ，函数的最大
值是3，开口向下，顶点坐标 ，当 时， 随 的增大而减小；即可得．
【详解】解：A、对于抛物线 ，对称轴是直线 ，选项说法正确，不符合题意；
B、对于抛物线 ，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意；
C、对于抛物线 ，开口向下，顶点坐标 ，选项说法正确，不符合题意；
D、对于抛物线 ，当 时， 随 的增大而减小，选项说法错误，符合题意；
故选：D．
17．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则 的大小
关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的
图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 可知：开口向上，对称轴为直线 ，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵ ， ， ，
而 ，1-0=1， ，∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远，
∴ ；
故选：D．
18．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，y随x的增大而减小 B．当 时，y有最大值
C．图象的顶点坐标为 D．图象经过一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．根据二次函数
的开口方向，顶点坐标，增减性及最值等性质，即可判断答案．
【详解】选项A， ，
抛物线开口向上，
当 时，y随x的增大而增大，
所以选项A错误，不符合题意；
选项B， ，
抛物线开口向上，
当 时，y有最小值－1，
所以选项B错误，不符合题意；
选项C，图象的顶点坐标为 ，
所以选项C错误，不符合题意；
选项D，令 ，则 ，
所以抛物线与y轴的交点 在y轴的正半轴上，
又 抛物线开口向上，顶点在第四象限，
所以图象经过一、二、四象限，所以选项D正确，符合题意；
故选D．
题型七、二次函数图像与一次函数的交汇问题
19．（24-25九年级上·全国·）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先
根据一次函数的性质确定 与 两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解： A. 函数 图形可得 ，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不
是交 轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数 图形可得 ，则 开口方向向下正确，顶点坐标为 ,故选项B正确；
C. 函数 图形可得 ，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确；
D. 函数 图形可得 ，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确；
故选B．
20．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一
定不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据抛物线顶点坐标的位置求得 ， ，
据此可得一次函数 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
【详解】解：由题意可知，二次函数 的图象的顶点坐标为 ，
由图象可知，此拋物线的顶点 在第四象限，∴ ， ，
∴ ， ，
∴一次函数 的图象必经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限，
故选：C．
21．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，关键是由二次函数的图象判断出 和 的符号．由二次函
数 （其中 ）可得 ， ，再判断出一次函数的图象经过一、三、四象限即可．
【详解】由已知二次函数图象，可得抛物线与 轴的交点为 和
∵
，
一次函数 中 随 的增大而增大，与 轴的负半轴相关．
故选：C．
题型八：二次函数的图像平移问题
22．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）将抛物线 平移得到抛物线 ，则这个平移过程正确的是
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等
知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
点 向右平移 个单位可得到点 ，
将抛物线 向右平移 个单位可得到抛物线 ，
故选： ．
23．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到
新的二次函数 的图象，则原二次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定出抛物线的顶点坐标，再确定出平移前的顶点坐标，根据平移不改变图象的大小与形状即可确定平
移后的函数表达式．
【详解】 抛物线 的顶点坐标为
图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的顶点坐标为 ，由于平移不改变图形的形状与大小，则平
移前的抛物线表达式为 ；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住顶点的平移，问题便迎刃而解．
24．（23-24九年级上·山东济宁·期末）已知抛物线 ，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移
到原点（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位
B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位
D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，点在平移中的变化规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐
标上加下减．”是解题的关键．【详解】解：由题意得
抛物线的顶点为 ，
将 向左平移3个单位，
再向下平移4个单位得 ，
故选：D．
题型九：二次函数图像和性质综合问题
25．（24-25九年级上·全国）把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到
二次函数 的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】(1) ， ，
(2)开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大
而增大
【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题
的关键．
（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案；
（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．
【详解】（1）解：二次函数 的图象的顶点坐标为 ，把点 先向右平移2个单位，再
向下平移4个单位得到点的坐标为 ，
所以原二次函数的解析式为 ，
所以 ， ， ；
（2）解：二次函数 ，即∵ ，
∴图象开口向下，
二次函数 的图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大．
26．（2024九年级下·江苏·）已知二次函数 的图象与直线 的图象如图所示．
(1)判断 的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线 与抛物线 的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接 ， ，求 的面积．
【答案】(1)抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
(2)A点坐标为 ，B点坐标为
(3)3
【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐
标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可；
（3）首先得到 与y轴交点的坐标为(0,2)，进而求解即可．
【详解】（1）抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ；
（2）由题意得 ，即 ，解得 或 ，
则 或 ，
∴A点坐标为 ，B点坐标为(-1,1)；
（3）∵ 与y轴交点的坐标为(0,2)，
∴ 的面积 ．
27．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞）将抛物线 向右平移2个单位长度，得到抛物线
(1)求 的函数解析式；
(2)设抛物线 的对称轴交直线 于点P，求点P的坐标；
(3)设直线 与抛物线 交于A、B两点，求A、B两点的坐标．
(4)Q点是直线 下方抛物线上一动点，求 面积最大是多少？此时点Q坐标是多少？
【答案】(1)
(2)
(3) ，
(4) 有最大值 ，此时点Q的坐标为：
【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，以及和一次函数的结合．（1）根据二次函数平移的性质求解即可．
（2）先求出抛物线 的对称轴为 ，即点P的横坐标为2，由P点在 上即可得出点P的坐标．
（3）联立 和 方程组求解即可得出A、B两点的坐标．
（4）根据抛物线解析式设点 ，过点Q作 轴交 与点N，则 ，求得
，即可列出 关于m的方程，利用二次函数的性质求最值和点坐标即可．
【详解】（1）解：将抛物线 向右平移2个单位长度，得到抛物线 ，
则
（2）∵
∴抛物线 的对称轴为 ，
∵抛物线 的对称轴交直线 于点P，
∴ ．
（3）根据题意联立方程 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
（4） ，
设点 ， ，
过点Q作 轴交 与点N，则 ，
∴ ，∴
，
故当 时， 有最大值 ，
当 ，则
此时点Q的坐标为： ．
【高分演练】
一、单选题
28．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键；
根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项
解答即可
【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意；
B． ，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
故选：A．
29．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知 是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为 是解本题的关键是解题
的关键．
【详解】解：∵ 是关于x的二次函数，
∴ ，
解得： ，
故选C．
30．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
C．当x=1时， 有最大值 D．当x<1时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解，掌握
二次函数顶点式的特点是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线 ，故选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为 ，故选项C正确，不符合题意；
当 时， 随 的增大而增大，故选项D错误，符合题意；故选：D．
31．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的
是（ ）
A．y的最大值是1
B．图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线
C．它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当 时，y随x的增大而减小．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】解：二次函数 ， ，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点为 ，当 时，y有最大值1，当 时，y的值随x
值的增大而减小，当 时，y的值随x值的增大而增大；
故选项A、B的说法正确，D的说法错误；
根据平移的规律， 的图象向右平移2个单位长度得到 ，再向上平移1个单位长度得到
；
故选项C的说法正确，
故选：D．
32．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数 的图象经过 ， ， 三点，则 ，
， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离
对称轴越远函数值越小判断即可．【详解】解：二次函数 的图象开口向下，对称轴是直线 ，根据点距离对称轴越远函数值越小，
距离对称轴6，
距离对称轴2，
距离对称轴1，
，
，
故选：A
33．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当 时，y随x的增大而增大
C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由 ，抛物线开口向上，而对称轴为直线x=1，可得答案；
【详解】解：∵二次函数 ，
由于 ，抛物线开口向上，
而对称轴为直线x=1，
所以当 时，y随x的增大而增大．
故选D
34．（2024·广东河源·一模）将抛物线 向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物
线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定抛物线 的顶点坐标为 ，再根据点平移的规律得到点 平移后所得对应点的
坐标为 ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线
平移后的形状不变，故 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
把点 向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为 ，
∴平移后的抛物线解析式为 ．
故选：A．
35．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线 ，直线 ，下列判断中：
①当 或 时， ；
②当 或 时， ；
③当 时 随x的增大而增大；
④使 的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由图知：抛物线 与直线 交于 和 ，由此可判断①正确；求出 ，
将 和 代入求值即可判断②正确；由 ，根据二次函数的增减性可判断③
错误；由 得 ，则可得 或 ．根据一元二次方程根的判别式即可判断④
错误．【详解】由图知：抛物线 与直线 交于 和 ，
当 或 时， ；
故①正确；
当 时， ，
当 时， ，
故②正确；
，开口向下，对称轴为 ，
∴当 时 随x的增大而减小；
故③错误；
由 得 ，
∴ 或 ．
由 得 ，
∵ ，
∴此方程无解；
由 得 ，
∵ ，
∴此方程由两个不相等的实数根．
∴使 的x的值有2个，
故④错误；
综上，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键．
36．（2024·广东广州·一模）已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为（ ）．
A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数 的对称轴为：直线 ，
（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；
（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．
37．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象大
致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
解法一：分 和 ，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；
解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解法一：当 时，函数 的图象开口向上，函数 的图象经过第一、第二、第三象限，所
以A、D错误，B正确；
当 时，函数 的图象开口向下，函数 的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误．
解法二：A项，由一次函数的增减性，知 ，由一次函数图象与y轴的交点，知 ，故A不符合题意；
B项，由二次函数的图象，知 ，由一次函数的图象，知 ，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知 ，由一次函数的图象，知 ，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知 ，由一次函数的图象，知 ，故D不符合题意．
故选：B．
38．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 的图象与一次函数 的
图象交于 和 两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线 ，由函数图象
与系数的关系讨论(x ,y )和(x ,y )两点中 与 的关系．
1 1 2 2
【详解】解： ，
抛物线对称轴为直线 ，
若 ， ，
抛物线开口向下，一次函数中 随 增大而减小，
设 ，则 ，
，
．故选：C．
二、填空题
39．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要靠考查了二次函数的性质，根据二次函数 的顶点坐标为 进行求解
即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
40．（2024·江苏扬州·模拟预测）点 在抛物线 上，则 的大小关
系是 （用“<”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置
对的影响是解题的关键．根据 可求出函数的对称轴，点 、 在对称轴右侧，函数图形开口向上，
随 增大而增大，可以判断 的大小，而点 点离对称轴最远，故 的值最大，据此即可判断．
【详解】解：∵ 的开口向上，且对称轴为x=1，
∵ 、 点在抛物线右侧， ，
∴ ，
∵ 离对称轴最远， 值最大， 离对称轴最近， 值最小，
∴
故答案为： ．
41．（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；B：当 时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数 的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数 的图像和性质是解题的关键，根
据 函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式；
【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为 ，
根据C的描述可知 ，则 ，
再结合B的描述可得出 ，且 ，
所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是y=-2(x-1) 2，
故答案为：y=-2(x-1) 2 (答案不唯一)．
42．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当
以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物
线”，正方形 为它的内接正方形．当抛物线 是“美丽抛物线”时， ．
【答案】8
【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为 ，
再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．【详解】解：依题意，∵
∴抛物线的顶点A的坐标为 ，点C的坐标为
∵“美丽抛物线”的定义
∴点D的坐标为
将 代入 ，
得
解得 （舍去）或 ．
故答案为：8
三、解答题
43．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）已知函数 ．
(1)当 ____________时，抛物线有最大值，是____________．
(2)当x____________时，y随x的增大而增大．
(3)该函数可以由函数 的图象经过怎样的平移得到？
(4)该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标）
(5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．
【答案】(1)1；4
(2)
(3)见解析
(4) 和 ；(5)见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与 轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为 得出抛物线开口向下，由此即可得出
结论；
（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；
（3）找出函数 的顶点坐标，结合函数 的顶点坐标，即可找出平移的方法；
（4）令 可得出关于 的一元二次方程，解方程求出 值，由此得出抛物线与 轴的交点坐标；令 求出
值，由此即可得出抛物线与 轴的交点坐标；
（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象．
【详解】（1）解： 函数解析式为 ，
抛物线的开口向下，顶点坐标为 ．
当 时，抛物线有最大值，是4．
故答案为：1；4；
（2）解： 抛物线的开口向下，对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而增大．
故答案为： ；
（3）解： 函数 的顶点坐标为 ，
将函数 的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数 的图象．
（4）解：令 ，则有 ，
解得： ， ，
该抛物线与 轴的交点坐标为 和 ．
当 时， ，
该抛物线与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： 和 ； ．
（5）解：列表：
0 1 2 30 3 4 3 0
描点，连线，该抛物线的图象如图：
．
44．（2024·广西南宁·一模）已知二次函数 ．
(1)写出该函数图象的对称轴 ．
(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标．
(3)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)该函数图象与x轴的交点坐标 ，
(3)
【分析】（1）根据顶点式可确定对称轴即可；
（2）将 代入函数解析式可确定抛物线与 轴的交点；
（3）根据顶点坐标，可确定 时， 的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数 的对称轴为直线 ；
（2）解：当 时，即
解得 ， ，
∴该函数图象与x轴的交点坐标 ， ．
（3）解：∵顶点坐标为 ．抛物线开口向下，
当 时， 随 增大而增大，
当 时， 随 增大而减小，
∴当 时， 有最大值 7，又 ，
∴当 时取得最小值，最小值 ，
∴当 时， ．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：
，顶点坐标为 ，对称轴 ．解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
45．（2024·江苏南京·二模）二次函数 的图像过点 ， ．
(1) 的值为______；
(2)若 ， 是该函数图像上的两点，当 ， 时，试说明： ；
(3)若关于 的方程 有一个正根和一个负根，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)1；
(2)见解析；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系；
（1）由图像过点 ， 得 ，即可求解；
（2）可得n-1>1，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解；
（3）由根的判别式和根于系数的关系得Δ=(-2a) 2-4a(-a-1) ， ，即可求解；
掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个
b
{ x +x =-
1 2 a
相等的实数根； 时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键．
c
x ⋅x =
1 2 a
【详解】（1）解： 图像过点 ， ，
；
故答案： ；（2）解：由（1）得
，
∵n>2，
∴n-1>1，
，
到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
，
到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，
；
（3）解：由（1）得
a(x-1) 2+4=2a+5，
整理得：ax2-2ax-a-1=0，
方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2a) 2-4a(-a-1)=8a2+4a>0，
令 ，画出图象如图所示：
由图象得： 或 ，
∵方程有一个正根和一个负根，
-a-1
∴x ⋅x = <0，
1 2 a
则有
同理由图象求得，或 ，
综上：a的取值范围为： 或 ．
46．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，直线 过 和 两点，它与二次函数 的图像在
第一象限内交于 点，若 的面积为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)能否将抛物线 上下平移，使平移后的抛物线经过点 ？
【答案】(1)
(2)
(3)故能将抛物线 向下平移 个单位长度，使平移后的抛物线经过点
【分析】此题考查二次函数图像与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上
点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键；
（1）有题意直线 过点 和 两点，根据待定系数法求出直线 的解析式，再根据 的面积为
求出点 的纵坐标，然后将其代入直线 的解析式，即可求出点 坐标；
（2）把点 的坐标代入 ，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）设将抛物线 上下平移后抛物线为 ，把点 坐标代入，求出 的值即可；
【详解】（1）设直线 的解析式为：直线 过 和 两点，
， ，
， ，
，
的面积为 ，
，
，
，
解得： ，
点 的坐标为：
（2）把点 代入 ，
得 ，
解得： ，
故二次函数解析式为：
（3）设将抛物线 上下平移后解析式为： ，
把点 代入，得 ，
解得： ，
故能将抛物线 向下平移 个单位长度，使平移后的抛物线经过点
