文档内容
22.3 实际问题与二次函数（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
【过程与方法】
再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，
培养学生解决实际问题的能力.
【情感态度与价值观】
进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激
发学习数学的兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时，共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等.
六、教学过程
（一）导入新课
出示课件3：如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位
置，说出这个二次函数的解析式类型.
（二）探索新知
探究 建立平面直角坐标系解答抛物线形问题
出示课件5：如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是
4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱
顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？教师问：你能想出办法来吗？(出示课件6)
学生答：建立函数模型.
教师问：这是什么样的函数呢？
学生答：拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数.
教师问：怎样建立直角坐标系比较简单呢？(出示课件7)
学生答：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
教师问：从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
学生答：由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
教师问：如何确定a是多少？(出示课件8)
学生答：已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线
上，由此得出-2=a×22,解得因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相
反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
教师问：由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
.
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？(出示课件9)
学生答：水面宽3m时, 从而
因此拱顶离水面高1.125m.
教师问：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？(出示课件
10)
师生共同总结如下：出示课件11：例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面
2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
学生独立思考后，师生共同总结如下：(出示课件12,13,14)
解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立
平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.
当拱桥离水面2m时,水面宽4m.
即抛物线过点(2,-2),
∴-2=a×22,
∴a=-0.5.∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x², 解得x=±√6，这
时水面宽度为2√6m,
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对
称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)，
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.
当拱桥离水面2m时,水面宽4m,
即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2，a=-0.5.
因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
-1=-0.5x²+2解得x=±√6，这时水面宽度为2√6m.
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个
交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2).
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2.
∵抛物线过点(0,0),
∴0=a×(-2)²+2.
∴a=-0.5.
因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)²+2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,
这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x =2-√6，x =2+√6
1 2
这时水面的宽度为x -x =2√6，
2 1
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.
出示课件15：回顾“最大利润”和“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总
结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
学生交流后，师生共同总结如下：1.理解问题；
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；
3.用数学的方式表示出它们之间的关系；
4.做数学求解；
5.检验结果的合理性.
出示课件16：巩固练习：有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度
为20m，拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表
示的函数的解析式.
学生思考后自主解答.
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04.
∴y=-0.04x2 .
出示课件18：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处
跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮
圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
学生自主思考后，师生共同解决如下.
出示课件19：解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度
时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B
在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.
当x=﹣2.5时，y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.
出示课件20：巩固练习：
一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水
平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ x2+ x+c，其图象如图所
示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为 m时，求此时铅球
的水平距离．
学生自主思考后板演如下：
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝ x2+ x+c，
得 ×102+ ×10+c＝0，
解得c＝ ，即铅球出手时离地面的高度 m；
（2）将y＝ 代入 x2+ x+ ＝ , ，
整理，得x2﹣8x﹣9＝0，
解得x ＝9，x ＝﹣1（舍），
1 2
∴此时铅球的水平距离为9m．
（三）课堂练习（出示课件22-30）
1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，
喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各
方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方
向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，
身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的
形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池
水柱的最大高度．
2.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来
表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
3.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离
x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为 米.
4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，
每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m
（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50m B.100m
C.160m D.200m
5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是
由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每
扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗
角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗
户？6.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平
桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两
主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标
系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
参考答案：
1.解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=a（x﹣
3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣
0.2，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2（x﹣3）2+5
（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x =﹣1，x =7，
1 2
因此为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣
0.2x2+bx+3.2，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3.
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣
0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米．
2.4
3.2
4.C
5.解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，
∴抛物线的表达式为
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于 C，D两点，D点坐标为（k，t），
已知窗户高1.6m，∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.
∴ ，解得k= ，
即k ≈5.07，k ≈﹣5.07.
1 2
∴CD=5.07×2≈10.14（m）.
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
6.解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
故所求表达式为
(2)当x=450﹣100=350（m）时，得当x=450﹣50=400（m）时，得
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
（五）课前预习
预习下节课（23.1第1课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直
角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生
用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让
学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.
