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22.2二次函数与一元二次方程
知识点1 用二次函数解一元二次方程
1．（2024春•青秀区期末）如图，二次函数 y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那
么关于x的一元二次方程﹣x2+mx+n＝0的解为（ ）
A．x ＝5，x ＝1 B．x ＝5，x ＝﹣1 C．x ＝5，x ＝﹣5 D．x＝5
1 2 1 2 1 2
2．（2023•新城区模拟）抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3
3．（2024•拱墅区二模）二次函数 a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点
y =ax2+bx(
1
（m，n）．若二次函数 的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣
y =a(x−2) 2+b(x−2)
2
2）2+b（x﹣2）＝n的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝4 B．x ＝0，x ＝2 C．x ＝0，x ＝4 D．x ＝2，x ＝6
1 2 1 2 1 2 1 2
知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似解
4．（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于
A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
5．（2024春•海淀区月考）如表是若干组二次函数y＝x2﹣4x+c的自变量x与函数值y的对应值：
x … 0.7 0.8 0.9 1.0 …
y … 0.28 0.05 ﹣0.18 ﹣0.40 …
则下面哪个数是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）（ ）A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3
知识点3 用二次函数解不等式
6．（2024秋•朝阳区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
当y＜8时，则x的取值范围是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 18 8 2 0 2 …
A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5
7．（2023秋•淮南月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
解答下列问题：
（1）方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根是 ；
（2）当ax2+bx+c＞﹣1时，x的取值范围是 ．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为 ；
（2）方程ax2+bx+c＝0的根是 ；
（3）不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ；
不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求常数k的取值范围为 ．
【易错警示】
易错点：因不结合图形，导致考虑不周而出错。
9．（2023春•兴宁区期中）如图，抛物线 y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方
的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C 、C 共有3个不同的
1 1 2 2 1 2
交点，则n的取值范围是（ ）
1 7 15
A．﹣2＜n＜ B．﹣3＜n＜− C．﹣3＜n＜﹣2 D．﹣3＜n＜−
8 4 810．（2022•松桃县模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣2，0）与（1，0）两点，若x ，x
1 2
（x ＜x ）是关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c+m2＝0的两根，则下列结论中正确的是（ ）
1 2
A．﹣2＜x ＜x ＜1 B．x ≤﹣2＜1≤x
1 2 1 2
C．x ＜﹣2＜1＜x D．﹣2≤x ＜x ≤1
1 2 1 2
11．（2024•招远市模拟）规定：两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．
1 2
例如，函数y ＝2x+2与y ＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝
1 2
kx2+2（k﹣2）x+k﹣8（k≠0）的“Y函数”图象与 x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为
（ ）
A．y＝﹣x2﹣6x+9 B．y＝﹣x2﹣6x﹣9
C．y＝﹣x2+6x+9 D．y＝﹣x2+6x﹣9
12．（2020•鄞州区自主招生）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次
方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
13．（2024秋•思明区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为
（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，则p的值有 个．
14．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方
程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 ．
1
15．（2023•海淀区开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax+
2
的图象交于点A（1，0），B（3，2）．
（1）求一次函数解析式；
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+n与x轴存在交点，且当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝ax2﹣2ax+n
的值大于函数y＝kx+b的值，请直接写出n的值．5
16．（2024秋•淮南期中）如图，抛物线 y＝a（x﹣2）2+3 （a为常数且a≠0）与y轴交于点 A(0， )．
3
（1）求该抛物线的表达式；
2
（2）若直线y＝kx+ （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x ，x ，当x2+x2=10时，求
1 2
3 1 2
k的值．
1
17．（2024秋•长春期末）利用函数图象探究方程x（|x|﹣2）= 的实数根的个数．
2
1 1
（1）设函数y＝x（|x|﹣2），则这个函数的图象与直线y= 的交点的横坐标就是方程x（|x|﹣2）= 的
2 2
实数根．
（2）分类讨论：当x≤0时，y＝﹣x2﹣2x；
当x＞0时，y＝ ；
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，
画出当x＞0时的函数图象．
1 1
（4）在给定的坐标系中画直线y= 、观察图象可知方程x（|x|﹣2）= 的实数根有 个．
2 2
（5）深入探究：若关于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，
则m的取值范围是 ．
