文档内容
22.3 实际问题与二次函数
【考点归纳】
考点一、增长率问题
考点二、销售问题
考点三、拱桥问题
考点四、投球问题
考点五、喷水问题
考点六、图形问题
考点七、图形运动问题
考点八：二次函数与其他知识交汇问题
【知识梳理】
知识点一 利用二次函数解决利润问题
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为
求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．
知识点二 利用二次函数求图形面积的最值
二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=
时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为 ．
知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运
用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然
后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．
知识点四 应用二次函数解决实际问题的基本思路
①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；
⑤检验结果的合理性．【题型探究】
题型一、增长率问题
1．（23-24九年级上·河南周口）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划
第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值
为（ ）
A．1.2 B． C． D．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某超市一月份的营业额为 万元，一月、二月、三月的营业额共1000
万元，如果平均每月增长率为 ，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
3．（22-23九年级上·天津·期末）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平
均每次降价的百分率是 ，降价后的价格为 元，原价为 元，则y与 之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
题型二、销售问题
4．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据
市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为 元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量 （两）与售价 （元/两） 之间的函数关系如图中的线段
所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
(1)求出 与 之间的函数表达式；
(2)若该菊花茶某月的总销售利润 元，求 关于 的函数表达式，当售价 为多少元/两时，销售利润 最大，该
月进货数量应定为多少？
(3)若该商店某月进货 两，如果销售不完，就以亏本 元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润
最大？（注：“两”是一种质量单位）
6．（2024九年级上·全国·专题练习）端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节
即将到来之际，某食品店以 元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近 ， ， ，
， 五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．
【数据整理】
将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：
售价/元/盒
日销售量/盒
【模型建立】
（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要
求写出自变量的取值范围）；
【拓广应用】
（2）①要想每天获得 元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
题型三、拱桥问题
7．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位
线在 处，此时桥洞中水面宽度 仅为4米，桥洞顶部点O到水面 的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度 达12米，那么最低水位 与最高水位 之间的距离为 米．
8．（2024·湖南株洲·二模）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为 ，为
增加照明度，在该抛物线上距地面 高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离 是
米．（可用含根号的式子表示）
9．（2023·吉林长春·模拟预测）如图①，美国密苏里州的圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑．某数学兴
趣小组结合图①作出示意图②，拱门的地面部分宽为 米，拱门顶部距地面的最大高度也是 米，在拱门两侧
距地面高 米处各有一个观光窗，则两窗间的水平距离AB为 米．
题型四、投球问题
10．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿一
段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则 ．
11．（23-24九年级下·吉林长春）掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路
线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 （米）与飞行的水平距离 （米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为 ．
12．（23-24九年级上·四川广安·期末）在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同
学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线
的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．
题型五、喷水问题
13．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶
端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线
形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高
时，水柱落点距O点 ．现要使水柱落点距O点 ，则喷头高应调整为 m．
14．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点 为坐标原点，建立如图所示的
平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为 ．若露在墙壁外面的钢管的长度 米（钢管的直径
长度忽略不计），钢管离水池水面的高度 米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是
米．
15．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管 ，水管的顶端B处有一个
喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为 处达到A最高点C，高度为 ，水柱落地点D离池
中心A处 ，则水管 的长为 m．
题型六、图形问题
16．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．
(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________17．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 ），围成中间隔有
一道篱笆（平行于 ）的矩形花圃．设花圃的一边 为 ，面积为 ．
(1)若要围成面积为 的花圃，则 的长是多少？
(2)求 为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
18．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆
长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
(1)求 与 与 的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
题型七、图形运动问题
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同时从点
A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，
连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形 和等腰 重
合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）A． B． C． D．
20．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
开始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，如果 、 两点
分别从 、 两点同时出发，运动时间为 ， 的面积为 .
(1)求 随 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当 为 时， 的值时多少？
(3)当 取何值时，面积 最大，最大是多少？
21．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在 中， ， ．动点P从点A出发，沿
方向以 的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿 方向以 的速度向终点A运动．以
为一边向上作正方形 ，过点Q作 ，交 于点F．设点P的运动时间为 ，正方形
和 重叠部分图形的面积为 ．
(1)当点D落在 上时，x的值为______．(2)当点D落在 上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
题型八：二次函数与其他知识交汇问题
22．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平
面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（ 对应一个单位长度）， 轴， ，最低点C在x轴上，
且 ．则轮廓线 所在抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，
小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，
设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间 （单位：s）是关于x的一次函数
，若小敏骑单车的时间 （单位：s）也受x的影响，其关系可以用 来描述，则小敏
从文化宫回到家里所需的时间最短为（ ）
A．34分钟 B．39分钟 C．34.5分钟 D．39.5分钟
24．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被
迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行
宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为 )路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：
)是车流密度K(单位：辆 )的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度 时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度 时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，
则 .已知v关于K 的函数图象经过 .
(1)若 辆 时，求对应v的值.
(2)点 是图象 上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形
所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
【高分演练】
一、单选题
25．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部
分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A． B． C． D．
26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一边
靠墙， 的长不能超过 ，其余的三边 用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：① 的长可以
为 ；② 有两个不同的值满足菜园的面积为 ；③菜园 面积的最大值为 ．正确结论的个数
是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
27．（24-25九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关
系满足 ，由于某种原因，销售单价只能为 ，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平
面直角坐标系，并标出相关数据（单位： ），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ）
A．水面宽度为
B．抛物线的解析式为
C．最大水深为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的
29．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点A沿
向点C以 的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以 的速度运动（点Q运动到点B停止），在
运动过程中，四边形 的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2024·山西忻州·三模）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实
验，已知“水火箭”的升空高度 与飞行时间 满足函数表达式 ．已知“水火箭”飞行 和飞行 时的升空高度相同，飞行 时的升空高度为 ，则“水火箭”升空的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
31．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上
月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低
于成本，且获得的利润不得高于成本的 ．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系
．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
33．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）
间的关系为 ，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米．
34．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直
角坐标系中，对应的函数解析式为 ，当涵洞水面宽 为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．35．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为 ，不超出
墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形．已知栅栏的总长度为 ，设较小矩
形的宽为 ，则矩形养殖场总面积的最大值为 ．
36．（2024·吉林白城·模拟预测）如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩
D距离地面2.25米，最高点C距灯柱 的水平距离为1.5米，灯柱 米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则
茶几到灯柱的距离 为 米．
37．（2024·四川达州·一模）某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在
拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求 ，最高点的五
角星（点E）到 的距离为0.5米， 米， 米，则点C到 的距离为 米．
三、解答题
38．（2024·河南南阳·模拟预测）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地面竖直高度为 米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横
截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平
移得到的，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离 为
米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式：
(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
(3)若 米，则灌溉车行驶时喷出的水__________（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
39．（2024九年级上·全国·专题练习）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）
与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q
（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
…
销售价格x（元/千克） 2 4 10
…
…
市场需求量q（百千克） 12 10 4
…
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出
符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于
10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
(3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．
40．（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决
定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x
（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的
收益p（元）会相应降低且满足： ．(1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
(2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？
(3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．
41．（2024·吉林·模拟预测）某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利
润 （万元），投资乙产品一年后的利润 （万元）随投入成本x（万元）（ 且x为整数）变化的数据如下
表：
投入成本x（万元） … 1 2 4 8 …
甲产品利润 （万元） … 0.5 1 2 4 …
乙产品利润 （万
… 2.25 4 6 4 …
元）
(1) 与x， 与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关于x的函数解析式和 关于x
的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若该公司投资了甲、乙两款产品．
①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？
②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为 ，那么该公司共投入的成本
是多少？（利润率 ）
42．（2024九年级上·全国·专题练习）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进
价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，
如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多
少？
43．（2024九年级上·全国·专题练习）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废
弃高楼距地面 的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛
物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点
A处，且水流的最大高度为 ．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到
达点B处，已知点D到高楼的水平距离为 ，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为 ．建立如
图所示的平面直角坐标系．
(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；
(3)若消防员站在到高楼水平距离为 的地方，想要扑灭距地面高度 范围内的火苗，当水流最高点到高楼
的水平距离始终为 时，直接写出a的取值范围．
44．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为
的水管 ，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离 为 ，水流
竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离 为 ．
(1)求喷出水流的竖直高度 与距离水池中心O的水平距离 之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的
长；
(2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持
对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至 ，则水管 的高度增加多少米？
