文档内容
22.3 实际问题与二次函数
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一 利用二次函数解决利润问题
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为
求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．
知识点二 利用二次函数求图形面积的最值
二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=
时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为 ．
知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运
用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然
后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．
知识点四 应用二次函数解决实际问题的基本思路
①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；
⑤检验结果的合理性．
【题型探究】题型一、图形问题
【例1】．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用 长的篱笆围成一个矩形
花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）为了节省材料，某工厂利用岸堤 （岸堤足够长）为一边，
用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形 区域（如图），若 米，则下列
4个结论：① 米；② ；③ ；④矩形 的最大面积为300平方米．其中正确
结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，某校劳动实践基地用总长为 的栅栏，围成一块
一边靠墙的矩形实验田，墙长为 ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x
（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位： ）．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？题型二、拱桥问题
【例2】．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．
(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．
(2)水面下降 ，水面宽度增加多少？
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为
2m，隧道的最高点P位于 的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式．
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
【跟踪训练2】．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛
物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面 的距离为 ，距离左、右侧桥墩
的水平距离均为 ，已知桥墩露出水面的高度 ，以 所在直线为x轴，垂直于 且过
最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带 （灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行， ，且 均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为 ，当灯
带总长度 最大时，求 的长．
题型三、增长率问题
【例3】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为 万辆，销
量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·重庆·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的
研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆
电动自行车，计划第三个月投放电动自行车 辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率
为 ，那么 与 的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、销售问题
【例4】．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品
的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市
场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件．
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）．
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？【跟踪训练1】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一
带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售
144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每
上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的
实际售价应定为多少元/个？
(3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房
全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，
房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？
题型五、投球问题
【例5】．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手 点处）的高度是 ，出手后的铅球沿一
段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高 时，水平距离是 ．
(1)试求铅球行进高度 与水平距离 之间的函数关系式；
(2)如果将 轴平移至直线 ， 轴平移至直线 ，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表
达式．【跟踪训练1】．（24-25九年级下·河南）投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的
规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看
成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为 ）．
某同学将箭从 处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线 的一部分，且当箭的最大高度为 时，
距离投出点的水平距离为 ．把壶近似看作矩形 ，已知壶口的宽度 ，壶的高度 ．
(1)求抛物线 的表达式．
(2)若箭刚好由点 处擦边投入壶中，求人离壶的距离 ．
(3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请
直接写出 的取值范围．
【跟踪训练2】．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课
余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从 点掷出，篮球在 处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线
的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为 轴建立如图的平面直角坐标系，点 与 轴的水
平距离为 ，且距离水平地面（ 轴）为 ，点 与 轴的水平距离为 ，抛物线与 轴交于点 ．
(1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ；
②求抛物线的顶点坐标为
(2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点 为中心放置一个高为 ，直径为 的圆柱形球筐，其截
面为矩形 ，若抛物线恒过 、 两点（落地点会发生变化）．①求出解析式中 与 之间满足的关系式；
②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中 的取值范围．
题型六、喷水问题
【例6】．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以
水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分 所在直线为y轴，垂直于 的直线为x轴，建立如
图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴 ，距y轴 ．
(1)直接写出点P的坐标__________；
(2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分 的距离为
，求水龙头直立部分 的长度．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管 喷出，
长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立
平面直角坐标系，水流喷出的高度 （米）与水平距离 （米）之间近似满足函数关系 ，下
面是水流高度 和水平距离 之间的几组数据：
/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
/米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2
(1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式 ；
(2)由于调整了水压，水流喷出高度 与水平距离 之间近似满足函数关系 ，调整后水流落点为 ，则 ____________ ．（填“ ”，“＝”或“ ”）．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对
此展开研究：喷水装置 竖立在地面上、建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度 与
水柱距喷水头的水平距离 之间满足关系式 ．
(1)求喷头 与地面的距离 ；
(2)已知身高 的小红现直立在距离喷水装置 有 的水柱正下方的点 处，此时她的头顶并未接触到水柱，
小红想要继续沿 方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点 多远？
题型七、图形运动问题
【例7】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形 中， ，点P从点A开始沿边
向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．如果P、Q
分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时， 的长度等于 ？
(2)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使 的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江）如图，矩形 的两边长 ，点M、N分别从A、
B同时出发．M在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速运动，N在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速
运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、 的面积为 ．
(1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)求 的面积的最大值．
【跟踪训练2】．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为
边 的中点．点 从点 出发，以3单位长度/s的速度沿 方向运动，到点 停止．当点 与 、 两点不重
合时，过点 作 交 于点 ，点 在点 右侧， ，以 、 为边作矩形 ．设点 的运
动时间为 ．
(1)直接写出线段 长．（用含 的代数式表示）
(2)求当点 落在线段 上时 的值．
(3)设矩形 与 重叠部分图形面积为 ，求 与 之间的函数关系式．题型八：二次函数与其他知识交汇问题
【例8】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从
斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离 与小球飞行的高度 的变化规律如表：
0 1 2 3 4 5 …
0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡 的函数表达式为 ．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度 与水平距离 的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为 米，若小球恰好经过树的最高点，求点B
的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点P在抛物线对称轴上，当 是以 为底的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上存在点Q，使得 ，直接写出Q的坐标______．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图像与
一次函数 的图像交于A，B两点，已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线 上方抛物线上的一动点，连接 ， ．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足
，连接 ， ，当 的面积取得最大值时，求 的最小值；
(3)当（2）中 取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线 上方的一动点，是否存在以C、
M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120
元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，
每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（ ）A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就
获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为 万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达
万元，若把增长率记作 ，则 关于 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为
，当水面宽度 为 时，水面与桥拱顶部的高度 为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，
房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每
个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（ ）
A．210 B．220 C．230 D．240
5．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，
每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关
系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，
得到抛物线的函数解析式为 ，正常水位时，水面宽 为 ，此时拱顶 到水面 的距离为（ ）A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此
发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨 ， 的交点O为坐标原点建立平面直角坐
标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上， ， 关于y轴对称．已知抛物线的表达式为 ，
若点A到x轴的距离是 ，则A，B两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·全国）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高
度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系 ，那么他能跳过的最大高度为
（ ）
A． B． C．1m D．
9．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每
天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平
均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价 元，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为 的正方形 中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1
cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以 的速度运动．当点Q到达点B时，点P，
Q同时停止运动．设 的面积为y（ ），运动时间为x（ ），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹 可看作某条抛物
线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系，有一个横截面为矩形 的竹筐，长 米，
高 米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内（不含G，F点），请求竹筐的边 到O点的水平距离
m的取值范围 ．
12．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，
求这两个正方形面积和的最小值 ．
13．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）小汽车刹车距离 与速度 之间的函数关系式为 ，
一辆小汽车速度为 ，在前方 处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）．
14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度 满足关系式
，其中 是物体运动的时间， 是物体被发射出时的速度 科学小组在 高的实验楼前从地
面竖直向上发射出小球，如图所示 若发射出小球的初速度 ，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同
时， 的值为 ．
15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 （ ）与水平距离 （ ）之间的关系如图2所示，点 为该水流的最高点，点 为该水流的落地
点，且 ，垂足为点 ， ．若 ， ，则 的长为 ．
三、解答题
16．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为7元，
当销售单价定为9元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物
价部门规定：销售单价不能超过进价的2倍，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润
为w（元）．
(1)求y与x的函数关系式：
(2)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
17．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：
喷水装置 竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水
头的水平距离x（m）之间满足关系式 ．
(1)求喷头P与地面的距离OP；
(2)已知身高 的小红现直立在距离喷水装置 的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小
红想要继续沿 方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？18．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低
于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数
关系，部分数据如下表所示：
销售单价 /元 … 12 13 14 …
每天销售数量 /件 … 36 34 32 …
(1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围．
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
19．（25-26九年级上·北京·开学考试）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足
够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 两边），设 米．
(1)如果花园的面积为5平方米，求x的值；
(2)如果在点P处有一棵树到墙 的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗
细），直接写出花园面积的最大值．
20．（25-26九年级上·山西吕梁）在一次劳动课中，老师准备了一些长为 、宽为 的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸
板在四个直角处裁掉四个边长为 的正方形，再在中间裁掉一块正方形 ，再分别沿着虚线折起来，得到
两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 ．
(1)求制作的无盖纸盒的底面的边 的长；
(2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位： ）与x（单位： ）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个
无盖纸盒的体积y的值．
21．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经
过原点O和点 ．点P是抛物线上的点，其横坐标为m，点Q的坐标为 ．连接PQ、PO、QO．
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)当 时，求 的面积；
(3)求m为何值时，线段 的长为2；
(4)当该抛物线在 内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
