文档内容
22.3 实际问题与二次函数
【考点归纳】
考点一、增长率问题
考点二、销售问题
考点三、拱桥问题
考点四、投球问题
考点五、喷水问题
考点六、图形问题
考点七、图形运动问题
考点八：二次函数与其他知识交汇问题
【知识梳理】
知识点一 利用二次函数解决利润问题
利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为
求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．
知识点二 利用二次函数求图形面积的最值
二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=
时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为 ．
知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运
用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然
后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．
知识点四 应用二次函数解决实际问题的基本思路
①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；
⑤检验结果的合理性．【题型探究】
题型一、增长率问题
1．（23-24九年级上·河南周口）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划
第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值
为（ ）
A．1.2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得
出结论．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 ．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某超市一月份的营业额为 万元，一月、二月、三月的营业额共1000
万元，如果平均每月增长率为 ，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额 增长率 三月份的营业额，等量关系为：一月份
的营业额 二月份的营业额 三月份的营业额 ，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：二月份的营业额为 ，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加 ，
为 ，
则列出的方程是 ．
故选D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等
量关系为3个月的营业额之和．
3．（22-23九年级上·天津·期末）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是 ，降价后的价格为 元，原价为 元，则y与 之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为 ，第二次降价的价格为 ，根据
题意列出函数关系式即可求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，
则y与x之间的函数关系式为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
题型二、销售问题
4．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据
市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】设降价x元，则售价为 元，每件的盈利 元，每天可售出 件，
①当降价为3元时，每星期可卖 件；正确；
②根据题意，得 ，整理，得 ，
解得 ，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，故每星期的最大利润为6125元．判断即可．利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可
得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的
最值是解题的关键．
【详解】设降价x元，则售价为 元，每件的盈利 元，每天可售出 件，
①当降价为3元时，每星期可卖 件；
正确；
②根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为 元/两，某商店对
销售情况作了调查，结果发现月最大销售量 （两）与售价 （元/两） 之间的函数关系如图中的线段
所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
(1)求出 与 之间的函数表达式；
(2)若该菊花茶某月的总销售利润 元，求 关于 的函数表达式，当售价 为多少元/两时，销售利润 最大，该
月进货数量应定为多少？(3)若该商店某月进货 两，如果销售不完，就以亏本 元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润
最大？（注：“两”是一种质量单位）
【答案】(1) ；
(2) ，销售单价 为 元时利润 最大，该月进货数量应定为 两；
(3)售价定为 元/两时，当月月利润最大．
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）由题意可得 ，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（ ）设当月月利润为 元，可得 ，进而可得抛物
线开口向下，抛物线上的点距离对称轴 越近，函数值 越大，由 得 ，据此即可求解；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为 ，
点 在函数 上，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
（2）解：由题意可得， ，
∵ ，
当 时， 取得最大值，此时 ，
即 关于 的函数表达式是 ，销售单价 为 元时利润 最大，该月进货数量应定为 两；
（3）解：设当月月利润为 元，
则 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴 越近，函数值 越大，该商店进货 两，
，
解得 ，
当 时， 取得最大值，
答：售价定为 元/两时，当月月利润最大．
6．（2024九年级上·全国·专题练习）端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节
即将到来之际，某食品店以 元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近 ， ， ，
， 五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．
【数据整理】
将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：
售价/元/盒
日销售量/盒
【模型建立】
（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要
求写出自变量的取值范围）；
【拓广应用】
（2）①要想每天获得 元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）①要想每天获得 元的利润，应定价为 元/盒或 元/盒；②售价定为
元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是 元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）由表格可得日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系，设日销售量 （盒）与售价 （元/盒）之
间的函数关系式为： ，把表格中的两组数据代入可得 和 的值，可求得函数解析式并进行验证即
可；
（2）①设利润为 元，每天的利润 每盒粽子的利润 日销售量，取 ，求得相应的定价即可；
②由①中的函数关系可得二次函数的开口方向向下，所以当 时， 最大，把所得的 的值代入函数关系式
可得最大利润．
【详解】解：（1）日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系．
设日销售量 （盒）与售价 （元/盒）之间的函数关系式为： ，
把 和 代入，，
解得： ．
．
当x=30时，则 ，符合题意，
当 时，则 ，符合题意，
故函数解析式为： ；
（2）①设利润为 元．
．
当 时，
．
．
．
解得： ， ．
答：要想每天获得 元的利润，应定价为 元/盒或 元/盒；
② ，
∴当 时，利润最大，最大利润为 （元）．
答：售价定为 元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是 元．
题型三、拱桥问题
7．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位
线在 处，此时桥洞中水面宽度 仅为4米，桥洞顶部点O到水面 的距离仅为1米；旱季最低水位线在
处，此时桥洞中水面宽度 达12米，那么最低水位 与最高水位 之间的距离为 米．
【答案】8【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直
角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为 ，
由题意可得 ，
代入函数关系式 得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
可设 ，
代入抛物线的解析式，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最低水位 与最高水位 之间的距离为8米．
故答案为：8
8．（2024·湖南株洲·二模）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为 ，为
增加照明度，在该抛物线上距地面 高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离 是
米．（可用含根号的式子表示）【答案】
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当 时，x的值即可得到答案．
【详解】解：当 时，则 ，
解得 ，
∴ 米，
故答案为： ．
9．（2023·吉林长春·模拟预测）如图①，美国密苏里州的圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑．某数学兴
趣小组结合图①作出示意图②，拱门的地面部分宽为 米，拱门顶部距地面的最大高度也是 米，在拱门两侧
距地面高 米处各有一个观光窗，则两窗间的水平距离AB为 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标，进而求得抛物线解析式，令 ，解方程，
即可求解．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，
依题意，抛物线的顶点坐标为 ， ，
设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
题型四、投球问题
10．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿一
段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可求出解析式；
当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，
解得， （舍去）， ，即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
11．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实
心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 （米）与飞行的水平距离 （米）之间具有
函数关系 ，则小明这次实心球训练的成绩为 ．
【答案】 /10米
【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际运用、解一元二次方程，解题关键是理解题意及熟练掌握一元二次
方程的解法．
根据题意可知，求小明这次实心球训练的成绩即求 时，二次函数 中 的取值，将 代
入后求解即可．
【详解】解：依题得：在二次函数 中，
时，即实心球的飞行高度为 时，
有 ，
，
，
解得 或-2（舍去），
即实心球飞行的水平距离为 ．
小明这次实心球训练的成绩为 ．
故答案为： ．
12．（23-24九年级上·四川广安·期末）在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同
学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线
的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．【答案】3.6/ /
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将抛物线解析式转化为
顶点式，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，
即篮球在空中运行的最大高度为 ．
故答案为：3.6．
题型五、喷水问题
13．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶
端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线
形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高
时，水柱落点距O点 ．现要使水柱落点距O点 ，则喷头高应调整为 m．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
则当喷头高 时，可设抛物线形水柱解析式为 ，将 代入解析式得出 ①；喷头
高 时，可设抛物线形水柱解析式为 ；将 代入解析式得 ②，联立①②可求出
和 的值，设喷头高为 时，水柱落点距O点 ，则此时的解析式为 ，将 代入求解，即可解题．
【详解】解：由题知，喷头高 时，水柱落点距O点 ；
设抛物线形水柱解析式为 ，
则 ①，
喷头高 时，水柱落点距O点 ．且抛物线形水柱竖直上下平移，
这时抛物线形水柱解析式为 ，
则 ②，
联立①②解得 ， ，
设喷头高应调整为 米，
调整后抛物线形水柱解析式为 ，
要使水柱落点距O点 ，
过点 ，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
14．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一
个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点 为坐标原点，建立如图所示的
平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为 ．若露在墙壁外面的钢管的长度 米（钢管的直径
长度忽略不计），钢管离水池水面的高度 米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是
米．
【答案】2.2
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得 ，令 ，则 ，求出 ，从而得出，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得 ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴水池宽至少是 米，
故答案为： ．
15．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管 ，水管的顶端B处有一个
喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为 处达到A最高点C，高度为 ，水柱落地点D离池
中心A处 ，则水管 的长为 m．
【答案】2.25
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x
轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为 ，将 代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，
代入 时得到的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为 时达到最高，高度为 ，即抛物线的顶点坐标为 ，
则设抛物线的解析式为： ，
代入 得： ，
∴ ，
∴设抛物线的解析式为： ；
令 ，则 ．
故水管 的长为 ，
故答案为：2.25．
题型六、图形问题
16．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．
(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________
【答案】(1)5米
(2)4；48
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用：
（1）用总长减去三个宽即为 的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可；
（2）用总长减去三个宽即为 的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可．
【详解】（1）解：设花圃的宽 为x米，则花圃的长为 米，根据题意得：
，整理得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，
答： 的长是5米；
（2）解：根据题意得： ，
根据题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时，S取得最大值，最大值为48，
即当x为4时，花圃 的面积最大，最大面积是 ．
故答案为：4；48
17．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 ），围成中间隔有
一道篱笆（平行于 ）的矩形花圃．设花圃的一边 为 ，面积为 ．
(1)若要围成面积为 的花圃，则 的长是多少？
(2)求 为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
【答案】(1)AB的长为
(2)AB为 时，花圃面积最大，花圃的最大面积为
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关
系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意得到 ，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值．【详解】（1）解：根据题意得， ，
解得 ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意，舍去，
∴当 的长为 时，花圃的面积为 ；
（2）解：花圃的面积 ，
而由题意： ，
即 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时面积最大，最大面积为 ．
18．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆
长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
(1)求 与 与 的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
【答案】(1) ；
(2)能，
(3) 的最大值为800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据 可求出 与 之间的关系，根据墙的长度可确定 的范围；根据面积公式可确立二次
函数关系式；
（2）令 ，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
又矩形面积
；
（2）解：令 ，则 ，
整理得： ，
此时， ，
所以，一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为 ；
∴
∴
∵ ，
∴ ；
（3）解：
∵
∴ 有最大值，
又 ，
∴当 时， 取得最大值，此时 ，即当 时， 的最大值为800
题型七、图形运动问题
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同时从点
A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，
连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形 和等腰 重
合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，
以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当 与 重合时，及当 时图象的走势，和当 时图
象的走势即可得到答案．
【详解】解：当 与 重合时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当 在 下方时，设 ，由题可得：∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
20．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
开始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，如果 、 两点
分别从 、 两点同时出发，运动时间为 ， 的面积为 .
(1)求 随 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当 为 时， 的值时多少？
(3)当 取何值时，面积 最大，最大是多少？
【答案】(1) ；
(2) 或 ；(3)当 时，面积最大，最大值为 ．
【分析】（1）根据题意得出 ， ，则 即可；
（2）当 时，列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式 ，再化成顶点式 ，最后求出最值即可；
本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得： ， ，则 ，
∴ ；
（2）当 时，
∴ ，解得 ， ，
∴ 的值为 或 ；
（3） ，
∴当 时，面积最大，最大值为 ．
21．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在 中， ， ．动点P从点A出发，沿
方向以 的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿 方向以 的速度向终点A运动．以
为一边向上作正方形 ，过点Q作 ，交 于点F．设点P的运动时间为 ，正方形
和 重叠部分图形的面积为 ．
(1)当点D落在 上时，x的值为______．
(2)当点D落在 上时，求x的值．(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解
题的关键．
（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得 ，进而即可求解；
（2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得 ，进而即可求解；
（3）分三种情况：当 时，当 时，当 时，画出图形，结合图形即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
当点 在 上时，如图所示，此时 ，
∵ ，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
当点 在 上时，如图所示，此时 ，∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ；
（3）由（1）可知，当点 在 上时， ，当点 在 上时， ，
当 时，如图，正方形 和 重叠部分图形的面积为正方形 的面积，
∴ ；
当 时，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
又∵ 是正方形，∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ；
当 时，如图，
，
∴ ．
题型八：二次函数与其他知识交汇问题
22．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平
面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（ 对应一个单位长度）， 轴， ，最低点C在x轴上，
且 ．则轮廓线 所在抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用 关于 轴对称， ， 可得到 点坐标为 ，由 ，最低点 在 轴
上，则 关于直线 对称，可得到左边抛物线的顶点 的坐标为 ，于是得到右边抛物线的顶点 的坐标
为 ，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．
本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，
然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．【详解】∵ 且 ， ，且 关于y轴对称，
∴ 点坐标为 ，
∵ 轴， ，最低点 在 轴上，
∴ 关于直线 对称，
∴左边抛物线的顶点 的坐标为 ，
∴右边抛物线的顶点 的坐标为 ，
设右边抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴轮廓线 所在抛物线对应的函数表达式为 ，
故选：B．
23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，
小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，
设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间 （单位：s）是关于x的一次函数
，若小敏骑单车的时间 （单位：s）也受x的影响，其关系可以用 来描述，则小敏
从文化宫回到家里所需的时间最短为（ ）
A．34分钟 B．39分钟 C．34.5分钟 D．39.5分钟
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小敏从文化宫回到家里所需的时
间为 ，则 ，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【详解】解：设小敏从文化宫回到家里所需的时间为 ，
则 ，
当 时， ，
故选：B．
24．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被
迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为 )路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路
上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：
)是车流密度K(单位：辆 )的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度 时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度 时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，
则 .已知v关于K 的函数图象经过 .
(1)若 辆 时，求对应v的值.
(2)点 是图象 上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形
所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
【答案】(1)
(2)6075
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将 代入 求出a，b，再将 代入求解；
（2）根据 列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）解： 若车流密度K达到最大值270时，则 ，
，
将 代入 ，得： ，
解得 ，v关于K 的函数关系为 ，
将 代入，得：
即 辆 时，对应v的值为 ；
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为 ，
， ，
，
，
当 时，Q取最大值，最大值为6075．
【高分演练】
一、单选题
25．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部
分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求 的长，而 已知，所以只需求出
即可， 就是 点的横坐标．
【详解】解：如图，把 点纵坐标 代入 中得：
(舍去负值)，即 ，
所以 ．
故选：C．
26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一边
靠墙， 的长不能超过 ，其余的三边 用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：① 的长可以
为 ；② 有两个不同的值满足菜园的面积为 ；③菜园 面积的最大值为 ．正确结论的个数
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设 边长为 ，则 边长为 ，根据
列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积 ，解方程求出x的值可以判
断②；设矩形菜园的面积为 ，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判
断③.
【详解】解：设 边长为 ，则 边长为 ，
当 时， ，
解得
∵ 的长不能超过 ，
∴ ， 故①不正确；
∵菜园 面积为 ，
∴ ，
整理得：
解得 或∵ ，
∴ ，
∴ 的长只有一个值满足菜园 面积为 ，故②错误；
设矩形菜园的面积为 ，
根据题意得： ，
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为200. 故③正确；
∴正确的有１个，
故选：B．
27．（24-25九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关
系满足 ，由于某种原因，销售单价只能为 ，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当 时，y取最大值，即一周可获得最大
利润，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为 ，
∴当 时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558，
故选：A．
28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平
面直角坐标系，并标出相关数据（单位： ），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ）
A．水面宽度为B．抛物线的解析式为
C．最大水深为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位
置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键．
利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．
【详解】解：设解析式为 ，
将抛物线上点 ，
带入抛物线解析式中得 ，
解得 ，
解析式为 ．
选项A中， ， ，水面宽度为 故选项A错误，不符合题意；
选项B中，解析式为 ，故选项B错误，不符合题意；
选项C中，池塘水深最深处为点 ，水面 ，所以水深最深处为点 到水面 的距
离为 米，故选项C正确，符合题意；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于 轴对称可知，抛物线上点横坐标 ，带入解
析式算得 ，即到水面 距离为 米，而最深处到水面的距离为 米，
减少为原来的 ．故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
29．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点A沿向点C以 的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以 的速度运动（点Q运动到点B停止），在
运动过程中，四边形 的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题的关键．在
中，利用勾股定理可得 ，设运动时间为 ，则 ， ，利用分割图形求
面积法可得 ，利用二次函数的性质即可求出四边形 的面积最小值．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
设运动时间为 ，则 ， ，
∴
当 时，四边形 的面积取最小值，最小值为 ．
故答案为：C．
30．（2024·山西忻州·三模）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实
验，已知“水火箭”的升空高度 与飞行时间 满足函数表达式 ．已知“水火箭”飞行 和飞
行 时的升空高度相同，飞行 时的升空高度为 ，则“水火箭”升空的最大高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为： ，再将其化为顶点式，
问题随之得解．
【详解】根据题意有： ，
解得： ，
∴函数表达式为： ，
将 化为顶点式为： ，
当 时，函数有最大值，且为： ，
即则“水火箭”升空的最大高度为 ，
故选：C．
31．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上
月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为： ，故三月
份新产品的研发资金为： ，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为： ，故三月份新产品的研发资金为： ，
今年一季度新产品的研发资金 ，故选：B．
32．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低
于成本，且获得的利润不得高于成本的 ．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系
．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质
及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由题意可知 ，解得： ，
∴销售单价不可能是90元，故①不正确；
利润 与销售价的函数关系式：
，
，
抛物线的开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，
而 ，
当 时， （元）．
当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确；
当 时， ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确；
综上，正确的结论只有1个，
故选：B．二、填空题
33．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）
间的关系为 ，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米．
【答案】11
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴
的交点的横坐标的长度．
根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令 求出相应
的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
【详解】解：∵ ，
∴当 ，时， ，
即 ，
解得 ， （舍去），
∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米．
34．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直
角坐标系中，对应的函数解析式为 ，当涵洞水面宽 为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．
【答案】16
【分析】本题考查二次函数的应用．根据抛物线的对称性及解析式求解．【详解】解：依题意，设 点坐标为 ，
代入抛物线方程得： ，
即水面到桥拱顶点 的距离为16米．
故答案为：16．
35．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为 ，不超出
墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形．已知栅栏的总长度为 ，设较小矩
形的宽为 ，则矩形养殖场总面积的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设 ，则 ，
，设矩形养殖场的总面积是 ，根据题意得： ，由二次函数性质求最值即可．
【详解】如图，
设 ，
∵分成两个面积为 的矩形，
∴ ， ，
设矩形养殖场的总面积是 ，
墙的长度为 ，
，
根据题意得： ，，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
36．（2024·吉林白城·模拟预测）如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩
D距离地面2.25米，最高点C距灯柱 的水平距离为1.5米，灯柱 米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则
茶几到灯柱的距离 为 米．
【答案】
【分析】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点
的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题．以 所在直线为 轴、 所在直线为
轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出 时 的值，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，以 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则点C坐标 ，点B坐标
设抛物线的解析式为 ，
将点B代入得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，当 时， ，
解得： （舍去）或 ，
茶几到灯柱的距离 为 米，
故答案为： ．
37．（2024·四川达州·一模）某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在
拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求 ，最高点的五
角星（点E）到 的距离为0.5米， 米， 米，则点C到 的距离为 米．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解．
【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵最高点的五角星（点 E）到 的距离为0.5米，
∴ ，代入解析式得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，代入解析式得，
，
∴ ，即点C到 的距离为 米，故答案为： ．
三、解答题
38．（2024·河南南阳·模拟预测）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地面竖直高度为 米，建
立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横
截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平
移得到的，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离 为
米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式：
(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
(3)若 米，则灌溉车行驶时喷出的水__________（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】(1)
(2)点B的坐标为
(3)不能
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程
的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点 得，设 ，再根据抛物线过点 ，可得 的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点 的对称点为 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，可得点
的坐标；
（3）根据 米，可求得点 的坐标为 ，当 时，求出 的值，再与1.1比较，从而得出答案．
【详解】（1）如图2，由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又 抛物线过点 ，代入得 ，
，
上边缘抛物线的函数解析式为 ；
（2） 上边缘抛物线的对称轴为直线 ，
点 的对称点为 ，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
当 时， ，
解得 ， （舍去），
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
（3） 米， 米， 米，
点 的坐标为 ，
当 时， ，
当 时， 随 的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
39．（2024九年级上·全国·专题练习）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）
与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q
（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
…
销售价格x（元/千克） 2 4 10
…
…
市场需求量q（百千克） 12 10 4
…
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出
符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于
10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
(3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．【答案】(1)
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元
(3)厂家每天获得的最大利润为 元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问
题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键．
（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）设厂家每天获得的利润为y元，则 ，根据每天的产量不大于市场需求量时 ，求出x的取值
解答即可；
（3）根据每天的产量大于市场需求量时 ，求出x的取值解答即可．
【详解】（1）设q与x的函数关系式为 ，由题意，得
∴
∴q与x的函数关系式为 ；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，得 ，
即 ，
解不等式得 ，
∵ ，
∴ ；
设厂家每天获得的利润为y元，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，
，答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元；
（3）当每天的产量大于市场需求时， ，
∴ ，
解不等式得 ，
∴ ，
设厂家每天获得的利润为y元，
，
，
，
，，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时，
，
∵ ，
∴厂家每天获得的最大利润为 元．
40．（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决
定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x
（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的
收益p（元）会相应降低且满足： ．
(1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
(2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？
(3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．【答案】(1)
(2) 元
(3) 元， 元
【分析】（1）依题意设 ，待定系数法求解即可；
（2）当 时， ，当 时， ，根据 ，计算求解即可；
（3）设总收益为W元，则 ，由 ，可知当 时，W
有最大值，计算求解即可．
【详解】（1）解：依题意设 ，
将 ， 代入 得， ，
解得 ，
∴ ．
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为 元．
（3）解：设总收益为W元，则 ，
，
∵
当 时，W有最大值 ．
∴答：政府应将每台补贴款额定为 元时，可获得最大利润 元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一
次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
41．（2024·吉林·模拟预测）某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润 （万元），投资乙产品一年后的利润 （万元）随投入成本x（万元）（ 且x为整数）变化的数据如下
表：
投入成本x（万元） … 1 2 4 8 …
甲产品利润 （万元） … 0.5 1 2 4 …
乙产品利润 （万
… 2.25 4 6 4 …
元）
(1) 与x， 与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关于x的函数解析式和 关于x
的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若该公司投资了甲、乙两款产品．
①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？
②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为 ，那么该公司共投入的成本
是多少？（利润率 ）
【答案】(1) ，
(2)①6万元；②40万元
【分析】（1）设 ， 将表中数据代入计算即可求出答案；
（2）①根据题意列出等式即可得到答案；
②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，计算出当 时，w有最大值，最大值为
，即可得到解答．
【详解】（1）设 ，将 代入，
解得 ，
，
设 ，
将 和 和 代入，，解得 ，
．
（2）①由题意得： ，
故 ，
解得： （舍去）， ．
乙产品投入的成本是6万元．
②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，
投入乙产品为n万元，则投入甲产品为 万元，
，
抛物线开口向下， ，
当 时，w有最大值，最大值为 ．
，
解得 ．
答：该公司共投入成本是40万元．
42．（2024九年级上·全国·专题练习）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进
价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，
如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多
少？
【答案】(1)
(2)每件商品的销售价应定为30元
(3)售价定38元/件时，每天最大利润为768元
【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解
题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
（1）设y与x之间的函数关系式为 ，利用待定系数法即可求解；
（2）根据等量关系得 ，解方程即可求解；
（3）根据题意得 ，进而可得抛物线的对称轴为 ，且开口向下，则当 时，y随x
的增大而增大，当 时，w有最大值，代入函数即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，
由所给函数图象可知： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意得： ，
整理，得： ，
解得： 或 （舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）解：∵ ，
∴ ，∴抛物线的对称轴为 ，且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为 ，
∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元．
43．（2024九年级上·全国·专题练习）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废
弃高楼距地面 的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛
物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点
A处，且水流的最大高度为 ．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到
达点B处，已知点D到高楼的水平距离为 ，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为 ．建立如
图所示的平面直角坐标系．
(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；
(3)若消防员站在到高楼水平距离为 的地方，想要扑灭距地面高度 范围内的火苗，当水流最高点到高楼
的水平距离始终为 时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2) 之间的距离为
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决
问题的关键．
（1）根据题意，设顶点式 ，利用待定系数法将 代入即可得到答案；
（2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为 ，利用待定系数法求出表达式，令，则 ，根据 ， ，即可得到答案；
（3）根据题意，由待定系数法得到灭火过程中 与 始终满足 ，由要扑灭距地面高度
范围内的火苗，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为 ，
设水流所在抛物线的解析式为 ，
点 在抛物线上，
，解得 ，
，
消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为 ；
（2）解： 两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米，
可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为 ，
由题意可知该抛物线过点 ，
，
解得 ，
，
令 ，则 ，
，
，
，
即 之间的距离为 ；
（3）解：由题意可知灭火过程中 与 始终满足 ，
将 代入后可得 ，，
，
当抛物线过点 时， ，解得 ；
当抛物线过点 时， ，解得 ；
．
44．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为
的水管 ，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线
的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离 为 ，水流
竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离 为 ．
(1)求喷出水流的竖直高度 与距离水池中心O的水平距离 之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的
长；
(2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持
对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至 ，则水管 的高度增加多少米？
【答案】(1) ，水流最大竖直高度CD的长为 m
(2)水管 的高度增加 米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，设抛物线的解析式为 ，由A点坐标为 ，B点坐标为 ，进而求得
a，k后得解，再令x=1，从而求出水流喷出的最大高度；
（2）依据题意，设抛物线为 ，结合此时B为 ，求出m，从而得抛物线解析式，再令x=0，
即可得解．【详解】（1）由题意，A点坐标为 ，B点坐标为 ．
设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过点A，点B，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴x=1时， ．
∴水流最大竖直高度CD的长为 ．
（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，
∴可设抛物线为 ．
又此时B为 ，
∴ ．
∴ ．
∴抛物线为 ，
令x=0，
∴ ，
，
∴水管 的高度增加 米．
