文档内容
22.3 实际问题与二次函数（第2课时）
一、教学目标
【知识与技能】
能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
【过程与方法】
再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，
培养学生解决实际问题的能力.
【情感态度与价值观】
进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激
发学习数学的兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等.
六、教学过程
（一）导入新课
出示课件2：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.
如繁华的商业城中很多人在买卖东西.如果你去买商品，你会选哪一家呢？如果
你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
（二）探索新知
探究 利润问题中的数量关系
出示课件4：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知
商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润
元.
学生独立思考后口答：18000；6000
教师问：利润问题中有哪些数量关系?
学生答：（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
出示课件5：例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，
市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可
多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
学生在教师的引导下分析：
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件6）
学生答：营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，
故300-10x≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.
③教师问：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
学生答：y=-10x2+100x+6000，当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
出示课件7：例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，
市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可
多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
学生在教师的引导下分析：
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即y=-18x2+60x+6000.
②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件8）
学生答：营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，
故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.
③教师问：涨价多少元时，利润最大，是多少？
学生答：即：y=-18x2+60x+6000，当 时,
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
出示课件9：例3 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单
价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会
导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，
当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
学生在教师的引导下分析：
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元）
正常销售
涨价销售
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件10）
学生答：营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，
故180-10x≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.
③教师问：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？学生答：y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
出示课件11：教师总结：求解最大利润问题的一般步骤：
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出
最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
出示课件12：巩固练习：某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单
价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致
销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少
元时,才能在半个月内获得最大利润?
学生独立思考后自主解决.
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500.∴当x=5时，y最大=4500.
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.
出示课件13,14,15,16：例4 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30
元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令
每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润
最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q=60(x－30)=60x－1800.
∵y=60>0，Q随x的增大而增大，
∴当x最大=50时，Q最大=1200.
答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
∴y=－2x+160（50≤x≤70）.
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x+160)
=－2x2+220x－4800
=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70).
∵a=－2＜0，图象开口向下，
∴当x=55时，Q最大=1250.
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250
元.
⑶若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售
量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时，Q =1200＜1218.
最大
当50≤x≤70时，Q =1250＞1218.
最大∴售价x应在50~70元之间.
因此令－2(x－55)2+1250=1218,
解得：x =51，x =59.
1 2
当x =51时，y =－2x+160=－2×51+160=58(件),
1 1
当x =59时，y =－2x+160=－2×59+160=42(件).
2 2
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或59
元，当月的销售量分别为58件或42件.
出示课件17，18,19：变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据
例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说
明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
师生共同分析后解答.
解：Q与x的函数关系式为：
由例4可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q =1200,
最大
若50≤x≤70， 则当x=55时，Q =1250.
最大
∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x
的取值范围；
师生共同分析后解答.
解：①当40≤x≤50时，∵Q =1200＜1218，
最大
∴此情况不存在.
②当50≤x≤70时，Q =1250>1218，
最大
令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218.
解得x =51，x =59.
1 2
由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知:
当51≤x≤59时，Q≥1218.
因此若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620
元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
师生共同分析后解答.
解：由题意得
解得：51≤x≤53.
∵Q=－2(x－55)2+1250的顶点不在51≤x≤53范围内，
又∵a=－2＜0，
∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大.
∴当x最大=53时，Q最大=1242.
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
出示课件20：巩固练习：某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价
50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售
量相应减少10个.(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，
这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示).
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为
多少元?
学生独立思考后自主解答.
⑴x+10，500-10x
⑵800元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70
元.
（三）课堂练习（出示课件21-27）
1.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该
纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增
加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？
并求出最大利润．2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元
（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为
元.
3.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，
销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的
函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系
式为 .(以上关系式只列式不化简）.
4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品
一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润
增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个
档次的产品，可获得最大利润？
5.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：
y=ax²+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多
少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
参考答案：
1.解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），
（2）由题意得：
y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
=﹣10x2+1100x﹣28000
=﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
2.25
3.y=2000-5(x-100)；w=[2000-5(x-100)](x-80)
4.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.
5.解：(1)由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）,
将两点坐标代入解析式即可求得：
(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25.
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
(2)显然，当y=16时，x=7和13.
因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10，
因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）,
故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.
（四）课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.对于由二次函数的性质求最大利润问题，你认为有哪些需要注意的？
（五）课前预习
预习下节课（22.3第3课时）的相关内容.七、课后作业
1教材习题22.3第2、8题.
2.配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直
角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学
时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生
用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让
学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.
