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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
学习目标：1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
自主学习
一、知识链接
如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出二次函数的解析式类型.
(1)_________ (2)_________ (3)_________
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决抛物线形实物问题
合作探究
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多
少？
问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线的位置呢？
问题3 如何确定a的值是多少？
问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？知识要点：解决抛物线型实际问题的一般步骤.
(1) 根据题意建立适当的直角坐标系；
(2) 把已知条件转化为点的坐标；
(3) 合理设出函数解析式；
(4) 利用待定系数法求出函数解析式；
(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
典例精析
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按
照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣ x2+2x+c表示．
（1）请写出该抛物线的函数解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车
道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的
高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
变式 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P
到OM的距离为8米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽 1米的隔离带），其中的一条行车
道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
探究点2：利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高
度y（m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x（m）之间满足
（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
变式 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面
中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA距离为1m处达到距水面最大高度
2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池
外？
0
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入
篮筐，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5m时，篮球达到最大高
度，且最大高度为3.5m，如果篮框中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高
度是多少米？
三、课堂小结
拱桥问题和抛
物线形运动轨
迹问题
转化的关键→建立恰当的直角坐标系→①能够将实际距离准确的转
化为点的坐标；②选择运算简便的方法.
当堂检测
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=－4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表
示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.
第2题图 第3题图
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏
需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护
栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．建立如
图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
5.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一
部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15 m时，达到飞
行的最高点C处，此时的竖直高度为45 m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60
m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
能力提升
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索
之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为
81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
求这条抛物线对应的函数解析式；
(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.
参考答案自主学习
知识链接
（1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k 或y=ax2+bx
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
问题1 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
问题2 由于顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式为y=ax2 （a＜0）．
问题3 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得
出-2=a·22，解得a=
因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的
相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
问题4 解：这条抛物线表示的二次函数为y= 当水面下降1m时，水面的纵坐标-3
令 解得 即，水面下降1m时，水面宽度增加
典例精析
例1 解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝ x2+2x+c，得c=4.所
以抛物线解析式为y＝ x2+2x+4.
（2）抛物线解析式为y＝ x2+2x+4= (x-6)2+10.所以对称轴为x＝6，由题意得货运汽
车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6，所
以这辆货车能安全通过.
（3）令y＝8，则 (x-6)2+10=8,解得x ＝6+2 ,x ＝6-2 ,则x﹣x ＝4 .所以两排
1 2 1 2
灯的水平距离最小是4 m.变式 解：（1）如图，以O为原点建立直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为（8，8）.
设y＝a（x﹣8）2+8，将点（0，0）代入上式得0＝64a+8，解得a= 故函数的解析式为
y＝ （x﹣8）2+8（0≤x≤16）.
（2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿处，x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，
y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行.
探究点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2 解：(1)∵y＝ x2+2x= (x-2)2+2.故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2.
(2)令y=0,即 x2+2x=0,解得x=0,x=4.即喷嘴喷出水流的最远距离为4m.
1 2
变式 解：建立如图①所示的坐标系.根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为
(1，2.25).设右边抛物线为 y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛物线解析式为 y=－
(x-1)2+2.25.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不
计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
图① 图②
例3 解：如图②，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的
位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析
式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的解析式为y=－0.2x2+3.5.当 x=－2.5时，y=2.25 .故该运动
员出手时的高度为2.25m.
当堂检测
1.4 2.2 3.C
4.解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a，
a=-0.04.∴y=-0.04x2.
5.解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，
45），∴y＝a（x﹣15）2+45，∵与x轴交于点A（60，0），∴0＝a（60﹣15）2+45，解
得：a＝ .∴解析式为 y= （x﹣15）2+45，令 x＝0 得：y＝ （0﹣15）2+45=40.∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
能力提升
解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数
解析式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5.解得
a＝ .故所求解析式为y= x2+0.5（-450≤x≤450）.
(2) 当x=450－100=350时，得y= ×3502+0.5=49.5.当x=450－50=400时，得y=
×4002+0.5=64.5.即距离桥两端主塔分别为 100m，50m 处垂直钢索的长分别为 49.5m、
64.5m.
