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第 20 课 垂径定理
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课程标准
(1)理解圆的对称性；
(2)掌握垂径定理及其推论；
(3)学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．
知识精讲
知识点01 垂径定理
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2．推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【注意】
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点02 垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等 .
【注意】
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能
是直径)
能力拓展
考法01 应用垂径定理进行计算与证明
【典例1】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为 ，水面宽
为 ，则水的最大深度 为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
输水管的半径为 ，水面宽 为 ，水的最大深度为 ，
，
， ，
，
∴
水的最大深度 为： ．
故选：C．
【即学即练】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘
了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面
上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦
AB所在直线的距离是( )A．(4﹣ )米 B．2米 C．3米 D．(4+ )米
【答案】A
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是(4﹣ )米，
故选：A．
【典例2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
(1)求证：AC＝BD；
(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
(2)解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝ CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝ ＝ ＝2 ，
∴AH＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝AH﹣CH＝2 ﹣2．
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：
2，求AB的长．
【答案】
【详解】解：如图，连接OA．
∵OM：MC＝3：2，OC＝10，
∴OM＝ =6．
∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．
在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，
∴AM ＝8．
∴AB＝2AM =16．
考法02 垂径定理的综合应用
【典例3】如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为 ，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离 为
3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差(即 )为0.5米．则秋千链子的长 为( )
A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D． 米
【答案】B
【详解】解：∵点D为 的中点，
∴由垂径定理知OD⊥AB，AD=BD= AB= ×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
则OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故选：B．
【即学即练】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上
表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于( )mm．
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵ mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故选D
【典例4】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
(1)求 所在圆的半径r的长；
(2)当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采
取紧急措施？并说明理由．
【答案】(1)34
(2)不需要采取紧急措施，见解析
【详解】(1)解：连结OA，
由题意得：AD＝ AB＝30，OD＝(r−18)，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
，
解得，r＝34．(2)解：连结 ，
∵OE＝OP−PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ＝16．
∴ ＝32．
∵ ＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【即学即练】如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与
∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
(1)求证:AP = AO；
(2)若弦AB = 24，求OP的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】(1)证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
(2)过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH= =12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在 中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为( )
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【详解】如图所示，连接
由题意知，弦心距OC＝2，
则根据垂径定理，有
在 中，
则
根据垂径定理可知，
故选D．2．如图， 为 的直径， 为 的弦， 为优弧 的中点， ，垂足为 ， ，
，则 的半径为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ，延长 交 于点T，设 的半径为 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
故选：B．
3．小明想知道一块扇形铁片 中的 的拱高(弧的中点到弦的距离)是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由 的正方形瓷砖密铺而成(接缝忽略不计)．他将扇形 按如图方
式摆放，点 恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作， 的拱高约是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D为 中点，
∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴ cm，
∵OD=OB= cm，
∴CD=OD-OC= cm，
即拱高为 cm，
故选D．
4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是( )
A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
【答案】B
【详解】解： 是 的直径，弦 于点 ，
， ， ．
故选：B．
5．下列语句中不正确的有( )①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确
定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故选：B
6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深
的地方高度为2cm，则该输水管的半径为( )
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝(r﹣2)2+42，
解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：B．
7．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．【答案】5
【详解】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AE=BE= AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+(r-2)2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
故答案为：5．
8．如图，⊙O的直径AB的长是20，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD=16，则CE=____，BE=_____．
【答案】 8 4
【详解】解：∵ 为直径，弦CD⊥AB，
∴ ，
连接 ，如下图：
由题意可得：
由勾股定理可得：
∴
故答案为：8，4
9．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．【答案】见解析
【详解】解：证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
10．如图所示，已知 为⊙ 的直径， 是弦，且 于点 ，连接AC、OC、BC．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求⊙ 的直径．
【答案】(1)证明见解析；(2)10
【详解】(1)证明：∵
∴
又∵ 为直径，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴
∴
(2)∵ ， 为直径
∴ ，∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，
即 ，解得 ，
∴ ．
题组B 能力提升练
1．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为( )
A．2m B．4m C．6m D．8m
【答案】B
【详解】∵CD垂直平分AB，
∴AD＝ ＝8m
∴OD＝ ＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m
故选：B．
2．如图， 的半径为 ， ，经过点 的 的最短弦的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：如图，过 点作弦 ，交 于点 、 ，连接 ；过点 作弦 ，交 于点 、
，过 点作 ，连接 ，
∴ ， ，∴在 中， ，
∵在 和 中， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为过 点的最短弦，
∵ 的半径为 ， ，
∴在 中，
，
∴ ，
∴经过点 的 的最短弦的长为 ．
故选：C．
3．已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D，大圆的半径是13，
， ，则OC的长是( )
A． B． C． D．8
【答案】B
【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵大圆和小圆的圆心都为点O，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，∵ ，
∴AE=BE=12，
∵OA=13，
∴ ，
设 ，
则CE=12-x，
在Rt△COE中， ，
解得： ，
即OC的长为 ，
故选：B．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是()
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．
【答案】C
【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴ ，DE=CE， ，
∴B，D选项正确；
∵ ，
∴ ，
∴∠COE=∠DOE，
∴A选项正确；
只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．
∴C选项不成立；
故选：C．
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大
小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题
中圆的直径为( )
A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交 于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且 ，
则 ．
设圆形木材半径为r，
则 ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为13寸，
∴ 的直径为26寸．
故选：C．
6．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距
离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 的长度为( )A．8mm B．6mm C．10mm D．0.9mm
【答案】A
【详解】解：如图，点O为圆心，过点O作OC⊥AB，
根据垂进定理可得：AC=BC，
∵直径是10mm，
∴OA=5mm，OC=8-5=3mm，
在Rt△AOC中，∠OCA=90°，
∴ ，
∴AB=2AC=8mm，
故选：A．
7．如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为20cm，最短的弦长为16cm，则
OM=_______cm．
【答案】6
【详解】解：过点M的⊙O最长的弦就是直径，
∴BO=10cm，
最短的弦就是垂直于直径的弦，即BM=8cm．
所以利用勾股定理可得OM= =6cm．
故答案为：6．8．如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过
C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE=6，则FG的长为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，
∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，
EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．
【答案】
【详解】解：连接OC，∵EM过圆心，EM⊥CD，
∴CM＝ CD，
∵CD＝4cm，
∴CM＝2cm，
设圆的半径是xcm，
在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+(6﹣x)2，
解得：x＝ ，
∴圆的半径长是 cm．
10．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足： ，AD交OC于点E．已知OE＝
3，EC＝2
(1)求弦AD的长；
(2)请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
【答案】(1)8；(2)
【详解】解：(1) ，得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝ ，
所以AD＝AE＋DE＝8；
(2)由CF AB，得 ，则 ．
题组C 培优拔尖练
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，
小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【答案】A
【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂
直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
2．如图， 的弦 垂直于 ， 为垂足， ， ，且 ，则圆心 到 的距离是
( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】连接 ，过点 ，分别作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形，
， ，
，
，，
(HL)，
，
则 ，
，
，
，
．
故选：A．
3．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O
点逆时针旋转90°得矩形 ，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】作线段BC、 的垂直平分线MH、NH，两线的交点为H点，连接BH，如图，
∵MH、NH为线段BC、 的垂直平分线，
∴BM= BC= ， = = ，∴HM= -1= ，
∴ ，
故选：C．
4．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝( )
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【详解】解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示，
则 ， ，
∵PA＝4，PB＝6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
故选：D
5．如图，AC是 的直径，弦 于E，连接BC，过点O作 于F，若 ， ，
则OE的长为( )
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A【详解】解：连接OB、AB，
中
故选：A．
6．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB，
在等腰梯形ABCD中，
∵OF⊥CB，
∴BF＝ BC＝1，
∴OE＝1，
设AE＝x，∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OB＝OA＝x+1，
由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝(x+1)2﹣12，
整理得2x2+2x﹣1＝0，
解得 或 (不合题意，舍去)
∴OA＝AE+OE＝ +1＝ ．
故选：A．
7．如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则
BC的长为_____.
【答案】6
【详解】延长CO交AB于点D，过点O作OE⊥AB垂足为E，
因为∠B=∠C=60°，
所以∠BDC=60°，
所以△BDC是等边三角形，
所以BC=BD=CD，∠DOE=30°．
因为OE⊥AB，AB=9，
所以BE=AE=4.5．
设OD=x，OC=3
所以DE= ，BD=4.5+ ，CD=OC+DO=x+3，所以4.5+ =x+3，
解得x=3，
所以BC=CD=OC+OD=3+3=6，
故答案为：6．
8．如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径， ，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小
值是_____________．
【答案】8
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点 ，连接 D与AB相交于点M，则CM＝ M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， ，
∴ ，
∵ ，AB为直径，
∴ D为直径，
即CM+DM= D＝AB，
∵AB=8，
∴CM+DM的最小值是8．
故答案为：8．
9．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．
【答案】(1)见解析(2)AC＝
【详解】(1)证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；
(2)解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝ ＝ ＝2 ，
AE＝ ＝ ＝4 ，
∴AC＝AE﹣CE＝4 ﹣2 ．
10．已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作 交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于
F．若AC＝2，
(1)求OF的长；
(2)连接BE，若BE= ，求半径OA的长．
【答案】(1)OF＝1
(2)半径为3
【详解】(1)解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵ ，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，∵在△ADO和△OFE中， ，
∴△ADO≌△OFE(AAS)，
∴OF＝AD＝1．
(2)解：设OA=OB=OE= x，则：BF=OB-OF=x-1，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠OFE＝90°，
∴ ，
∴ ，
解得： ， (舍去)
∴半径OA=3．
