文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
1
A．y＝x+ B．y＝3（x﹣1）2
2
1
C．y＝ax2+bx+c D．y = −x
x2
【答案】B
1
【解答】解：A、y＝x+ 是一次函数，故此选项不符合题意；
2
B、y＝3 （x﹣1）2是二次函数，故此选项符合题意；
C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；
1
D、y = −x不是二次函数，故此选项不符合题意；
x2
故选：B．
2．一元二次方程3x2+1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣6，1 B．3，1，6 C．3，6，1 D．3，1，﹣6
【答案】A
【解答】解：一元二次方程3x2+1＝6x的二次项系数为3、一次项系数为﹣6、常数项为1，
故选：A．
3．用配方法解一元二次方程 x2+2x﹣2＝0 时，原方程可变形为（x+h）2＝k 的形式，则 h+k 的值为
（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：x2+2x﹣2＝0，
x2+2x＝2，
x2+2x+12＝2+12，
∴（x+1）2＝3，
∵一元二次方程x2+2x﹣2＝0可变形为（x+h）2＝k，
∴h＝1，k＝3，
∴h+k＝1+3＝4．
故选：D．
4．已知二次函数y＝﹣3x2+12x﹣15，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【答案】C
【解答】解：由题意得，二次函数为y＝﹣3x2+12x﹣15＝﹣3（x2﹣4x+4）﹣3＝﹣3（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，﹣3），且当x＝2时，y取最大值为﹣3．
∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
5．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣2＝0，
∴m2﹣2m＝2，
∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029，
故选：C．
6．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为36m、宽为22m的矩形，为了方便管理，要在中间开
辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为 700m2，则小路的宽
为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意可列方程（ ）A．（36﹣x）（22﹣x）＝700 B．（36﹣x）（22﹣2x）＝700
C．（36+x）（22+2x）＝700 D．（36﹣2x）（22﹣x）＝700
【答案】B
【解答】解：如图所示：将小路平移到边上，
∴（36﹣x）（22﹣2x）＝700，
故选：B．
7．二次函数y＝bx2+2b2x﹣6（b为常数，且b≠0）的图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则该二次函数
（ ）
A．有最大值﹣7 B．有最小值﹣7
C．有最小值﹣5 D．有最大值﹣5
【答案】D
【解答】解：∵二次函数图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
−2+4
∴对称轴是直线x= =1，
2
2b2
∴− =1，
2b
∴b＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x﹣6＝﹣（x﹣1）2﹣5，
∴最大值为﹣5．
故选：D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
b
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x=− ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项
2a
正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
b
C、由抛物线可知，a＞0，x=− ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
2a
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的
三角形说法正确的是（ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90°
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
{ a+c≠0 )
∴ ，
Δ=(2b) 2−4(a+c)(a−c)=0
∴a2＝b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，且边长a所对的角是90°．
故选：D．
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，则另一个关于x的方程a（x+3）2+b
1 2
（x+3）﹣c＝0的解是（ ）A．x ＝2，x ＝6 B．x ＝﹣2，x ＝﹣6
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝3 D．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴方程a（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的x+3＝1或（x+3）＝﹣3．
∴x ＝﹣2，x ＝﹣6．
1 2
故选：B．
11．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数
据（单位：m）如图所示，某学习小组探究之后得出如下结论：
①水面宽度为30m；
1
②抛物线的解析式为y= x2−5；
25
③最大水深为3.2m；
1
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 ．
3
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①观察图形可知，CD＝24m，
即水面宽度为24m，
故①错误；
②设为y＝ax2﹣5，
1
将（15，0）代入，可得a= ，
45
1
故y= x2−5；
45
故②错误；1
③∵y= x2−5，
45
∴当x＝12时，y＝﹣1.8，
∴最大水深为5﹣1.8＝3.2（m），
故③正确；
④当水面宽度为12m时，
1
将x＝6代入y= x2−5，得y＝﹣4.2，
45
可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），
1
即为原来的 ，
4
故④错误．
故选：A．
12．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b+2a＝0；③a
﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为﹣3，1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：①由图象可知a＞0；c＜0；b＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴− =−1，
2a
即b＝2a，
∴b﹣2a＝0，故②错误，不符合题意；
③由抛物线的性质可知，当x＝﹣1时，y有最小值，
即a﹣b+c＜am2+bm+c（m≠﹣1），即a﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1），故③正确，符合题意；
④因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，且与x轴的一个交点的横坐标为1，所以另一个交点的横坐标为﹣
3．因此方程ax+bx+c＝0的两根分别是1，﹣3．故④正确，符合题意；
⑤由图象可得，当x＝2时，y＞0，
即：4a+2b+c＞0，故⑤正确，符合题意；
故正确选项有③④⑤共3个，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．下列选项：①x+1＝3﹣2x；②x2﹣4x+6＝0；③（2x+2）2＝4x2﹣2x+1；④（x﹣1）（x+3）＝0；
1 2
⑤ + −1=0．其中是一元二次方程的是 ②④ （填序号）．
x2 x
【答案】②④．
【解答】解：①方程经过移项化简后为3x﹣2＝0，未知数最高次数是 1，是一元一次方程，不是一元
二次方程；
②方程含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是 2，是整式方程，所以是一元二次方程；
③方程展开左边可得4x2+8x+4＝4x2﹣2x+1，化简后为10x+3＝0，未知数最高次数是 1，是一元一次方
程，不是一元二次方程；
④方程展开可得x2+2x﹣3＝0，含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是 2，是整式方程，所以是
一元二次方程；
1 2 1 2
⑤ + −1=0，方程中含有分式 和 ，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程．
x2 x x2 x
答案：②④．
14．医保局第十批药品集采政策出台后，某种药品原价100元/盒，经过连续两轮降价后，现在仅卖49
元/盒．若两轮降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 30% ．
【答案】30%．
【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝49，
解得：x ＝0.3＝30%，x ＝1.7（不符合题意，舍去），
1 2
∴该种药品平均每次降价的百分率为30%．
故答案为：30%．
15．已知△ABC的两边长为3和6，若第三边的长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则该三角形的第三条边长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：由题意可知3＜第三边的长＜9；
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴x ＝5，x ＝2，
1 2
∵2＜3，
∴该三角形的第三条边长为5；
故答案为：5．
16．已知点A（﹣1，y ），B（﹣3，y ），C（7，y ）均在二次函数y＝﹣x2+8x+m（m为常数）的图象上，
1 2 3
则y ，y ，y 三者之间的大小关系是 y ＞ y ＞ y ．（用“＞”连接）
1 2 3 3 1 2
【答案】y ＞y ＞y ．
3 1 2
【解答】解：由条件可知：函数图象开口向下，
∵二次函数的对称轴为直线x＝4，
∴当x＜4时，y随x的增大而增大，且C（7，y ）关于直线x＝4的对称点为（1，y ）．
3 3
∵当x＜4时，y随x的增大而增大，且1＞﹣1＞﹣3，
∴y ＞y ＞y ．
3 1 2
故答案为：y ＞y ＞y ．
3 1 2
√b √a 21
17．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b❑ +a❑ = − ❑√2 ．
a b 2
21
【答案】− ❑√2
2
【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，
则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
b❑√ab a❑√ab
则原式=− −
a b
b2❑√ab+a2❑√ab
=−
ab
❑√ab[(a+b) 2−2ab]
=−
ab
❑√2×(25−4)
=−
221
=− ❑√2，
2
21
故答案为：− ❑√2．
2
1 3
18．如图，抛物线y= x2− x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，
2 2
0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点
A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时
5 33
点C'的坐标为 （ 2 ，﹣ 3 ）或（ − ，− ） （点C'不与点A重合）．
2 8
5 33
【答案】（2，﹣3）或（− ，− ）
2 8
1 3
【解答】解：令y= x2− x−2=0，
2 2
3
解得：x＝﹣1或4，则函数的对称轴为x= ，
2
1 3
当x＝5时，则y= x2− x−2=3，
2 2
即点C（5，3）；
（1）当点A′、D′在抛物线上时，如图，
3
由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x= ，
2
3 1
则点D′的横坐标为 −2=− ，
2 21 1 3 9
当x=− 时，y= x2− x−2=− ，
2 2 2 8
1 9
则点D′（− ，− ），
2 8
设点C′为（x，y），
1 9
由中点坐标公式得：− +3=5+x且− =3+y，
2 8
5 33
解得：x=− ，y=− ，
2 8
5 33
即点C′的坐标为：（− ，− ）；
2 8
（2）当C′D′在抛物线上时，
1 3
设点C′的坐标为：（m， m2− m﹣2），
2 2
由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C，
1 3
则点D′（m+2， m2− m﹣2+3），
2 2
1 3 1 3
将点D′的坐标代入抛物线的表达式得： m2− m﹣2+3= （m+2）2− （m+2）﹣2，
2 2 2 2
解得：m＝2，
则点C′的坐标为：（2，﹣3）；
（3）当A′、C′在抛物线上时，1 3
设点C′的坐标为：（m， m2− m﹣2），
2 2
由点A向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C，
1 3
则点A′（m+6， m2− m﹣2+3），
2 2
1 3 1 3
将点A′的坐标代入抛物线的表达式得： m2− m﹣2+3= （m+6）2− （m+6）﹣2，
2 2 2 2
解得：m＝﹣1，
则点C′的坐标为：（﹣1，0），
该点和点A重合，故舍去；
5 33
综上，点C′的坐标为：（2，﹣3）或（− ，− ），
2 8
5 33
故答案为：（2，﹣3）或（− ，− ）．
2 8
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6；
（2）4x2﹣20x+25＝7；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0；
（4）x2+2x﹣4＝0．
【答案】（1）x ＝1，x ＝3；
1 2
5+❑√7 5−❑√7
（2）x = ，x = ；
1 2
2 2
2+❑√7 2−❑√7
（3）x = ，x = ；
1 2
3 3
（4）x =−❑√5−1，x =❑√5−1．
1 2
【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6，
（x+1）（x﹣3）＝2（x﹣3），∴（x+1﹣2）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x ＝1，x ＝3；
1 2
（2）4x2﹣20x+25＝7，
4x2﹣20x+18＝0，
∴2x2﹣10x+9＝0，
a＝2，b＝﹣10，c＝9，
∴x −b±❑√b2−4ac 10±❑√100−4×2×9 10±❑√28 5±❑√7，
= = = =
2a 4 4 2
5+❑√7 5−❑√7
∴x = ，x = ；
1 2
2 2
（3）3x2﹣4x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴x −b±❑√b2−4ac 4±❑√28 2±❑√7，
= = =
2a 2×3 3
2+❑√7 2−❑√7
∴x = ，x = ；
1 2
3 3
（4）x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
∴（x+1）2＝5，
∴x+1=±❑√5，
∴x=±❑√5−1，
∴x =−❑√5−1，x =❑√5−1．
1 2
20．二次函数y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），与y轴相交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的顶点是M，求△AMC的面积．
1
【答案】（1）这个二次函数的解析式为y= x2+x−2；（2）S△AMC ＝2．
4
【解答】解：（1）将点A（2，1）、B（﹣4，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中得：{ 4a+2b−2=1 )
，
16a−4b−2=−2
解得： { a= 1 ) ，
4
b=1
1
∴这个二次函数的解析式为y= x2+x−2；
4
1 1
（2）∵y= x2+x−2= (x+2) 2−3，
4 4
∴这个二次函数图象的顶点M的坐标为（﹣2，﹣3），对称轴为直线x＝﹣2，
令x＝0，y＝﹣2，
∴点C坐标为（0，﹣2），
设直线AM的表达式为y＝kx+n，
{ 2k+n=1 )
则有 ，
−2k+n=−3
{ k=1 )
解得： ，
n=−1
∴直线AM的表达式为y＝x﹣1，
设直线AM与y轴交于点D，
则点D的坐标为（0，﹣1）
∴CD＝1，
1 1
∴S△AMC ＝S△ACD +S△MCD = CD⋅2+ CD⋅2=2．
2 2
21．已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1．
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
【答案】（1）y＝x2+2x；顶点坐标（﹣1，﹣1）；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0），
∴m﹣1＝0．
∴m＝1．
∴抛物线为y＝x2+2x．
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标（﹣1，﹣1）．（2）证明：∵a＝1，b＝2m，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝4m2﹣4（m﹣1）
＝4m2﹣4m+4
＝（2m﹣1）2+3＞0．
∴不论m取何值，二次函数图象与x轴总有两个公共点．
22．湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，
素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化
衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵
26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．
（1）求每件文化衫和每个书签的进价．
（2）社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文
化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．
社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？
【答案】（1）每件文化衫的进价30元，每个书签的进价4元；
（2）文化衫应降价8元．
【解答】解：（1）设每件文化衫的进价x元，则每个书签的进价（x﹣26）元，
3000 800
由题意得： ×2= ，
x x−26
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣26＝30﹣26＝4，
答：每件文化衫的进价30元，每个书签的进价4元；
（2）设文化衫应降价y元，则平均每天售出（20+10y）件，
由题意得：（42﹣y﹣30）（20+10y）＝400，
整理得：y2﹣10y+16＝0，
解得：y ＝8，y ＝2（不符合题意，舍去），
1 2
答：文化衫应降价8元．
23．【阅读材料】
方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝
y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①．解方程①可得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，即x2＝2，∴x=±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，即x2＝5，∴x＝±❑√5；
∴原方程的解为 ， ， ， ．
x =❑√2 x =−❑√2 x =❑√5 x =−❑√5
1 2 3 4
【解决问题】
（1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 降次 的目的（选填“降次”或“消
元”），体现了数学的转化思想；
（2）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值；
（3）请仿照材料中的方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）＝0．
【答案】（1）降次；
（2）x2+y2＝1；
（3） ．
x =0，x =2，x =❑√5+1，x =−❑√5+1
1 2 3 4
【解答】解：（1）利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
故答案为：降次；
（2）设m＝x2+y2，则（m+1）（m+3）＝8，
整理得m2+4m﹣5＝0，
解得m ＝﹣5，m ＝1，
1 2
由条件可知x2+y2＝1，
（3）设x2﹣2x＝y，则y2﹣4y＝0，
解得y ＝0，y ＝4，
1 2
当y ＝0时，x2﹣2x＝0，解得x ＝0，x ＝2，
1 1 2
当y ＝4时，x2﹣2x＝4，解得 ， ，
2 x =❑√5+1 x =−❑√5+1
3 4
∴原方程的解为 ．
x =0，x =2，x =❑√5+1，x =−❑√5+1
1 2 3 4
24．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k
个单位长度（k＞0），再次经过点A．
（1）若a＝0时，求m的值．
（2）求m与k的关系式．
（3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．【答案】（1）0或3；
（2）k＝2m﹣3．
（3）1≤k≤5．
【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+1，
得0＝﹣（1﹣m）2+m+1，
解得m＝0或m＝3，
故m的值为0或3．
（2）抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0）后得到抛物线的解析式为y＝﹣
（x﹣m+k）2+m+1﹣k，
∵平移后的图象也经过点A（1，a），
∴ { a=−(1−m) 2+m+1 )，
a=−(1−m+k) 2+m+1−k
消去a，得k＝2m﹣3．
（3）对称轴为直线x＝m．
①当m＜2时，
当x＝2时，y取最大值﹣（2﹣m）2+m+1＝﹣m2+5m﹣3，
当x＝m+2时，y取最小值m﹣3，
所以﹣m2+5m﹣3﹣（m﹣3）＝4，解得m ＝m ＝2（舍去）．
1 2
②当m≥2时，
i．当2≤m≤4时，
当 x＝m 时，y取到最大值m+1，
当 x＝m+2时，y取到最小值m﹣3，
所以 m+1﹣（m﹣3）＝4，符合题意．
ⅱi．当m＞4时，
当x＝m时，y取到最大值m+1，
当 x＝2 时，y取到最小值﹣m2+5m﹣3
所以m+1﹣（﹣m2+5m﹣3）＝4解得m ＝0，m ＝4（均舍去）．
1 2
综上所述，2≤m≤4．
由2m﹣3＝k，得1≤k≤5．
25．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，
最小值等．例如，求代数式x2+2x﹣3的最小值．x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，可知，当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4．请同学们利用配方法解决下列问题：
（1）请比较多项式2x2+2x﹣3与x2+3x﹣4的大小，并说明理由；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣4c+20＝0，求a+b+c的值．
【答案】（1）2x2+2x﹣3＞x2+3x﹣4．理由见解析；
（2）a＝2，b＝﹣5，最小值为4；
（3）2．
【解答】解：（1）2x2+2x﹣3＞x2+3x﹣4．理由如下：
2x2+2x﹣3﹣（x2+3x﹣4）
＝2x2+2x﹣3﹣x2﹣3x+4
＝x2﹣x+1
1 3
＝（x− ）2+ ＞0，
2 4
∴2x2+2x﹣3＞x2+3x﹣4；
（2）a2+b2﹣4a+10b+33
＝a2﹣4a+4+b2+10b+25+4
＝（a﹣2）2+（b+5）2+4，
∵（a﹣2）2≥0，（b+5）2≥0，
∴（a﹣2）2+（b+5）2+4≥4，
当a＝2，b＝﹣5时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值为4；
（3）∵a﹣b＝8，
∴a＝8+b，
∵ab+c2﹣4c+20＝0，
∴b（8+b）+16+c2﹣4c+4＝0，
∴（b+4）2+（c﹣2）2＝0，
∵（b+4）2≥0，（c﹣2）2≥0，
∴（b+4）2＝0，（c﹣2）2＝0，
∴b＝﹣4，c＝2，
∴a＝4，
∴a+b+c＝2．
26．一次足球训练中，小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立
如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球．
（2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是 2.25m，小明需要站在
至多距离球门多远的地方才可能防守住这次射门？
（3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将
足球向球门方向移动一定距离，为争取时间避开防守，他采取吊射（即足球越过最高点下落）的方式射
门，他最多可以向球门移动 2. 4 m．（结果精确到0.1m，参考数据：❑√6.72≈2.592）
1
【答案】（1）y=− (x−5) 2+3；此次射门在不受干扰的情况下能进球；
12
（2）小明需要站在离球门距离2m的地方才可能防守住这次射门；
（3）2.4．
【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点为（5，3），
∴可设抛物线为y＝a（x﹣5）2+3．
又∵抛物线过（11，0），
∴36a+3＝0．
1
∴a=− ．
12
1
∴所求抛物线为y=− (x−5) 2+3．
12
又令x＝0，
∴y≈0.92＜2.44．
∴此次射门在不受干扰的情况下能进球．
1
（2）由题意，结合（1），∵抛物线的解析式为y=− (x−5) 2+3，
12
又∵小明的最大起跳高度是2.25m，1
∴2.25=− (x−5) 2+3．
12
∴x＝2或 x＝8．
∵小明需要站在抛物线左侧防守，
∴x＝2，即小明需要站在离球门距离2m的地方才可能防守住这次射门．
（3）由题意，设小华带球向正前方移动bm，
1
∴移动后的解析式为y=− (x−5+b) 2+3．
12
又∵B为（0，2.44），
1
∴2.44=− (0−5+b) 2+3．
12
∴b≈7.59或2.4（b≈7.6，舍去）．
∴小华最多可以向球门移动约2.4m．
故答案为：2.4．
