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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
自主学习
一、知识链接
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1) y=x2－4x－5；(配方法) (2) y=－x2－3x+4.(公式法)
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求二次函数的最大(或最小)值
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间t(单位
s)之间的关系式是 h= 30t－5t 2(0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动
中的最大高度是多少？
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？
问题3 当自变量x限定范围时，二次函数 的最值如何确定？
试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：
典例精析
例1 求下列函数的最大值与最小值.
(1) (2)
方法归纳：当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围；
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质和图象，确定当x取
何值时函数有最大或最小值，然后根据x的值，求出函数的最值.
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化
而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
(1) 矩形面积公式是什么？
(2) 如何用l表示其邻边的长？
(3) 面积S的函数关系式是什么？
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
变式题
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m.
矩形菜园的面积S=____________.
想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
解决问题：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面
积是多少？
(2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 与(1)有什么区别？
试一试 在(2)中，求自变量的取值范围.
问题2 当21≤ x＜30时，S的值随x的增大如何变化？当x取何值时，S取得最大值？注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在
顶点处取得最值.
例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，
它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)
要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
三、课堂小结
一个关键 依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式
几何面积最值问题
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确
一个注意
定
当堂检测
1.二次函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2.二次函数y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值为________.
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.
4.某小区要在一块空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙(墙长25 m)，另三边
用总长为40 m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为x m，绿化带的面积为y m2．
(1) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2) 当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形
的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.能力提升
6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以
2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动(不与点C
重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
参考答案
自主学习
知识链接
解：（1）y=x2-4x-5=(x-2)2-9,开口方向：向上；对称轴：直线 x=2； 顶点坐标：（2，-
9）；最小值：-9；
(2)y= － x2 － 3x+4, 开 口 方 向 ： 向 下 ； 对 称 轴 ： 直 线 x= ; 顶 点 坐 标 ：
；最大值为 .
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求二次函数的最大(或最小)值
问题1 二次函数 的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决
定.
问题2 当a＞0时，y = ，此时x= .当a＜0时，y = ，此时x=
最小值 最大值
.问题3 先判断x= 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得一个最值，
另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次
函数的最值.
试一试 解： t= ∵0≤3≤6，∴h= 则小球运动的
时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析
例1 解：（1）y= ,即y= ∵ ，
所以当x= 时，y = 当x=1时，y =1+3-2=2.
最小值 最大值
（2）y= ∵ ，即x在对称轴的右侧.函数的值随着x的增大而减小.所以
当x=-3时，y = 当x=1时，y =
最大值 最小值
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
例2 解：（1）矩形面积=长×宽；（2）另一边长为(30-l)m；（3）S=(30-l)l = -l2+30l.
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0
