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第 19 课 圆的基本概念和性质
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课程标准
(1)理解圆的有关概念和圆的对称性；
(2)能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，圆的对称性进行计算或证明；
(3)养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.
知识精讲
知识点01 圆的定义及性质
1．圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成
的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆
O”．
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内 到定点 O 的距离等于定长 r 的点 的集合.
【注意】
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，
一个闭合的曲面.
2．圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中
心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
【注意】
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对
称轴是直径所在的直线”.
3．两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线).
知识点02 与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
【注意】
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
【注意】
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3．同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4．等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【注意】
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
能力拓展
考法01 圆的定义
【典例1】下列说法：(1)长度相等的弧是等弧；(2)相等的圆周角所对的弧相等；(3)劣弧一定比优弧短；(4)
直径是圆中最长的弦．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：(1)长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
(2)同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
(3)同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
(4)直径是圆中最长的弦，正确，
综上所述，四个说法中正确的只有1个，
故选：A．
【即学即练】下列说法，其中正确的有( )
①过圆心的线段是直径
②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形
③大于半圆的弧叫做劣弧
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；
②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；
③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确．
故选：B．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若 ， ，则点B的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设点B的坐标为(x，y)，
∵AB是⊙M的直径，
∴M点为AB的中点，
∵A(a，b)，M(1，0)，，
∴1＝ ，0＝ ，
解得：x＝2−a，y＝−b，
∴B点坐标为(2−a，−b)．故选：A．
【即学即练】如图所示， ， ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
则点C的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴OA= ，
∵ ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴ ，
∴ ，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C ，
故选：C．
考法02 圆的有关概念
【典例3】如图，图中的弦共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【即学即练】如图，圆 的弦中最长的是( )A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆 的弦中最长的是 ．
故选： ．
【典例4】下图中是圆心角的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的
度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
分层提分
题组A 基础过关练
1．圆有( )条对称轴．
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】D
【详解】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条，
所以，圆有无数条对称轴．
故选：D．
2．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是( )
A．10 B．20 C．5 D．15
【答案】C
【详解】∵圆当中最长的弦是直径，
∴直径为10，
∴半径为 ．
故选：C
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC
＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为( )
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【详解】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
故选：D．
4．下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
5．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求
证……”的形式，下列正确的是( )
A．已知：在⊙O中， ＝ ．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中， ＝ ．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中， ＝ ，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中， ＝ ，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．
【答案】B
【详解】A． 所对的圆心角应为∠AOD， 所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为
，故A选项错误；
B． 所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB， 所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项
正确；
C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；
D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．
故选：B．
6．如图，在⊙O中， 是直径， 是弦， 于 ，连接 ，∠ ，则下列说法
正确的个数是( )
① ；② ；③ ；④A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】∵AB⊥CD，
∴ ，CE＝DE，②正确，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，
∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；
又 ，故①错误；
故选：C．
7．如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC＝_____.
【答案】3
【详解】解：∵在⊙O中， ，AB＝3，
∴AC=AB=3．
故答案为：3．
8．一个圆的直径是4cm，周长是______cm．
【答案】
【详解】 圆的直径是 ，
圆的周长是 ，
故答案为： ．
9．如图，三角形 是直角三角形，其中O为圆心．已知三角形 面积是 ，求圆形面积．【答案】
【详解】解：∵OA=OB
∴△AOB是等腰直角三角形
∵ =10
∴
∴圆的面积为
答：圆的面积是
10．(1)如果把人的头顶和脚底分别看做一个点，把地球赤道看做一个圆，那么身高 的小明沿地球赤道
环行一周，他的头顶比脚底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何．
(2)假设小明在某个半径为 的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底又多“走”了多少米呢？在
半径为 的星球上情况又如何呢？
【答案】(1)他的头顶比脚底多“走”了3π米；(2)小明在半径为 和 的星球上环绕一周，头顶比脚
底都多“走”了3π米．
【详解】解：(1)他的头顶比脚底多“走”了3π米．
设地球的半径是Rm，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是(R＋1.5)m．地球的周长是2πRm，人
头环形一周的周长是2π(R＋1.5)m，
因而他的头顶比脚底多行的路程＝2π(R＋1.5)−2πR＝3π(m)．
(2)当小明在某个半径为1km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π(1000＋
1.5)−2π•1000＝3π(m)，
当小明在某个半径为10km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π(10000＋
1.5)−2π•10000＝3π(m)．
题组B 能力提升练
1．以下说法中：①任一多边形的外角中最多有三个是钝角②对顶角相等③三角形的一个外角等于两个内
角的和④两直线被第三条直线所截，同位角相等⑤弧分为优弧和劣弧．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【详解】解：①多边形的外角和是360°，若外角中钝角的个数超过3个，则外角的和就超过360°，所以最
多有3个外角，正确；
②对顶角相等，正确；
③三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，错误；
④两直线平行，同位角相等，错误；
⑤弧分为优弧、劣弧和半圆，错误．
∴正确的结论是①②．
故选：B．
2．如图， 为半圆O的直径， ， 平分 ，交半圆于点D， 交 于点E，则
的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接OD
平分 ，
故选：B．
3．如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度数为( )A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OA DE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
4．如图 是 的半径， 是 的弦，且 ，若 与 互相垂直平分，则 的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接 ，设 交 于点 ．
与 互相垂直平分，
， ，
又 ，，
．
故选：B．
5．如图，在 中， ， ，若以点 为圆心， 的长为半径的圆恰好经过 的
中点 ，则 的长等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AB的中点， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得 ；
故选D．
6．如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：
①以M为端点的弦只有一条；
②以M为端点的直径只有一条；③以M为端点的弧只有一条．
则( )
A．①、②错误，③正确 B．②、③错误，①正确
C．①、③错误，②正确 D．①、②、③错误
【答案】C
【详解】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误；
以M为端点的直径只有一条，所以②正确；
以M为端点的弧有无数条，所以③错误．
故选：C．
7．如图，将△AOB绕点A顺时针旋转得到△ACD，使得点C，D都在圆上，则旋转角的度数为_____．
【答案】60°##60度
【详解】解：由题意可知，OA＝AC，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴旋转角的度数为60°，
故答案为：60°．
8．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面
积是______(用含有 的式子表示)．
【答案】
【详解】解：如图所示
S = -S = -12= ．
阴影 正方形
故答案为： ．9．如图，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE.点C为 上一点，连接CD，CE，
CO，∠AOC＝∠BOC，求证：CD＝CE．
【答案】见解析
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】(1)如图所示，作射线 ，交 于点 ，则线段 即为 的直径；
(2)如图所示，连接 ，线段 即为所求；
(3)如图所示，连接 ，线段 即为所求的一条弦(答案不唯一)．题组C 培优拔尖练
1．如果一个圆的半径由1厘米增加到2厘米．那么这个圆的周长增加了( )
A．3.14厘米 B．2 厘米 C．8 厘米 D．4 厘米
【答案】B
【详解】解：(2-1)×2×π
=2π(厘米)．
故选：B．
2．下列语句中：
①两点确定一条直线；
②圆上任意两点 、 间的部分叫做圆弧；
③两点之间直线最短；
④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形．
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①根据直线公理：过两点有且只有一条直线，故该项正确；
②根据圆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，故该项正确；
③根据线段公理：两点之间，线段最短，故该项错误；
④根据多边形的定义：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形，故三角形、四边形、五边形、
六边形等都是多边形，故该项正确．
综上可得：①、②、④正确．
故选：C
3．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不
同阶段时进度条的示意图：若圆半径为2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d(m)．下列描
述正确的是( )
A．d(25%)＝2
B．当m＞50%时，d(m)＞4
C．当m＜m 时，d(m)＜d(m)
1 2 1 2
D．当m+m＝100%时，d(m)＝d(m)
1 2 1 2
【答案】D
【详解】根据已知，利用图象判断即可．
解：A、d(25%)＝2 ＞2，本选项不符合题意；B、当m＞50%时，0≤d(m)＜4，本选项不符合题意；
C、当m＜m 时，d(m)与d(m)可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
1 2 1 2
D、当m+m＝100%时，d(m)＝d(m)，本选项符合题意；
1 2 1 2
故选：D．
4．在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格
的圆内部分的面积之和记为S，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S，则 的整数部分
1 2
是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：由题意知： ，
∵
∴ 的整数部分是1
故选：B
5．如图，如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ， ，
与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则 的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：连接 ，，
，
，
，
若要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，
过点 作 轴于点 ，
则 、 ，
，
又 ，
，
，
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D
巧好为线段AB的中点，则AB的长度为( )
A． B．3 C． 6 D．9
【答案】C
【详解】连接CD，∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3，
∴ ，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点，
∴ ，
∴ ；
故选C．
7．如图， 的半径为13， ，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
M，N，作直线 交 于点C，则 ________．
【答案】12
【详解】连接OC、OB，如图，
根据作图可知，OC是线段AB的垂直平分线，
则有BC=AC= AB=10× =5，
又∵圆的半径OB=13，
∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得： ，
故答案为：12．
8．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为________【答案】
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
9．如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．
【答案】28°．
【详解】解：设∠B=x，
∵BD=OD，
∴∠DOB=∠B=x，
∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=2x，
∵∠AOC=∠A+∠B，
∴2x+x=114°，解得x=38°，
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．
10．在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干(偶数)等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小
纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．(注：本题中的π取3.14)
(1)若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？
(2)若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？
(3)在(2)的条件下，求此圆的面积．【答案】(1)6cm；(2)4cm；(3)50.24(cm2)．
【详解】解：(1)拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6cm；
(2)设圆的半径为r，
由题意得，2πr+2r＝33.12，
解得：r＝4，
答：圆的半径为4cm；
(3)此圆的面积＝3.14×42＝50.24(cm2)．
