文档文本内容
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．
2.内容解析
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，
就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学
习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论
解决相关的实际问题．
以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐
标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，
初步体验建立函数模型的过程和方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小
(大)值解决实际问题．
二、目标和目标解析
1.目标
1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，
理解当x＝－ 时，函数有最小(大)值 ．
达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何
从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有
知识综合运用来解决实际问题．
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关
系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．
基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．
四、教学过程设计
（一）复习巩固
[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值
分别是多少？
1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10
师生活动：教师提出问题，学生回答．
【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决
抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．
（二）探究新知
【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之
间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．
师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？
生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．
师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？
生：结合已学二次函数知识回答问题.
师生活动：教师引导学生，得出如下结论：
画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的
顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
师：如何求出小球的最大高度呢？
b 30
生：当t=－ =－ =3时，
2a 2×（−5）
4ac−b2 −302
h有最大值 = =45.
4a 4×（−5）
也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m.
【设计意图】通过提问，让学生在解决实际问题的过程中体会与二次函数之间的联系.
【问题】如何求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最小(大)值？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生得出如下结论：一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a≠0) 的顶点是最低(高) 点，
b 4ac−b2
当x= － 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值y= .
2a 4a
【设计意图】让学生得出求二次函数的最小(大)值的结论，体会由特殊到一般的思想方法．
[问题]一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为
1 2 5
y=− x2+ x+ ，铅球行进路线如图．
12 3 3
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．
师生活动：学生板书．教师通过巡查，检查学生是否掌握求二次函数的最小(大)值的方法，最后通过
多媒体给出答案．
【设计意图】让学生掌握求二次函数的最小(大)值的方法．
[问题]简述利用二次函数解决实际问题的步骤？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生得出如下结论：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的函数解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
【设计意图】通过归纳小结，让学生理解利用二次函数解决实际问题的方法。
（三）典例分析与针对训练
典例1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的
水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距
离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是
（ ）
1
A．此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
5
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m
【针对训练】
1 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路
3
线是抛物线y=－ x2+3x+1的一部分，如图所示．
5(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？
请说明理由．
2．（2020山西中考）竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式
表示，其中 是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度．某人将
h=−5t2+v t+h h (m) v (m/s)
0 0 0 0
一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为
（ ）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
3 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻
力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：
①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5 ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5
4．（2020贺州市中考）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在
3
1
空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=− x2+bx+c，当铅球运行至与出
12
手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运
行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高 2.6m，球网与D点的水平距离为 9m．高度为2.43m，球场的边界距 O点的水平距离为
18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
【设计意图】让学生掌握利用二次函数解决抛掷问题的方法．
（四）探究新知
【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少
时，场地的面积S最大，最大面积是多少？
师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
生：矩形面积S与矩形一边长x两个变量之间的关系．
师：结合题目内容，已知用总长为60m的篱笆围成矩形场地，其中一边为x 米，则另一边如何表示呢？
生：另一边（30－x） 米．
师：如何求出场地的最大面积呢？
生：根据题意列方程：S=x(30－x)
整理后得：S=−x2+30x(0<x<30)
b 4ac−b2
当x=－ =15时，S= =225 ㎡
2a 4a
当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225 ㎡
【问题】李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一
个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
师生活动：学生通过计算给出答案．教师通过多媒体给出具体求解过程．
【设计意图】让学生在解决实际问题的过程中体会与二次函数之间的联系.
【问题】简述利用二次函数解决面积最值的方法？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生得出如下结论：
①找好自变量；②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
【设计意图】让学生理解利用二次函数解决面积最值的方法.
（五）典例分析与针对训练
典例2 如图，在一面靠墙的空地上用长为 24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花
圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
【针对训练】
1 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形，S的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
2 用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该
窗的长，宽应分别是多少？
3．如图，在足够大的空地上有一段长为 a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【设计意图】让学生掌握利用二次函数解决几何最值问题的方法．
(六）直击中考
1．（2023·浙江温州真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，
现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动
多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
2．（2022·甘肃兰州真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名
女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如
5
图2所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的
水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
3．（2023·山东真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足
够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为 A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定
购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售
价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（七）归纳小结
1.如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？
2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出
适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
（八）布置作业
P51:习题22.2 第1、4、5题
五、教学反思
