文档内容
22.3 实际问题与二次函数（第二课时）导学案
学习目标
1 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．
重点难点突破
一、利用二次函数解决实际问题的步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的函数解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
二、利用二次函数解决销售利润最值的方法：
巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大
利润问题.
三、利用二次函数解决拱桥问题的方法：
1）建立适当的平面直角坐标系。
2）根据题意找出已知点的坐标。
3）求出抛物线解析式。
4）直接利用图象解决实际问题。
复习巩固
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
新知探究
【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每
星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
问题一：题中调整价格的方式有哪些？问题二：如何表示售价、进价、销售数量与总利润之间的关系？
问题三：如何定价才能使每周利润最大化？
【问题】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，
销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售
单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
[问题]简述利用二次函数解决利润最值的方法？
典例分析
例题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1
元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．
（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（3）问如何定价才能使利润最大？【针对训练】
1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系
如下表：已知日销售量y是售价x的一次函数．
（1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？
（3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．
2 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元
且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足
一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才
能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
新知探究
如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面
宽度增加多少？（利用多种方法求解）[问题]简述利用二次函数解决拱桥问题的方法？
典例分析
典例2 抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面5米．现有一辆集装箱
车，宽为2.8米，高为4米，请通过计算说明此车能否通过拱门．
【针对训练】
1．（2019山西中考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不
同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象
－抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的
距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面
直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
26 26 13 13
A．y= x2 B．y=− x2 C．y= x2 D．y=− x2
675 675 1350 13502．（2019合肥市中考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC构成，长方形的长OA是12m，
1
宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需
6
要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小
是( )
A．2m B．4m C．4❑√2m D．4❑√3m
3．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通
过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超______m.
直击中考
1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，
销售价格不低于22元/g，不高于45元g，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元g）之间
的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式：(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
2．（2023·湖北随州·统考中考真题）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网
上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数
关系式
p=
{mx+n(1≤x<20)（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为
q=x+10
，已知第5天
30(20≤x≤30)
售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
(1)m=___________，n= ___________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
3．（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水
平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐
标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已
知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
课堂小结
1.如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？
2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？
【参考答案】
新知探究
【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每
星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
问题一：题中调整价格的方式有哪些？
涨价和降价
问题二：如何表示售价、进价、销售数量与总利润之间的关系？
总利润=（售价－成本） ×销售数量=每件产品利润×销售数量
问题三：如何定价才能使每周利润最大化？1）设每件涨价x元，因此周利润合计为：
y=(60+x)(300－10x)－40×(300－10x) = +6250 (0≤x≤30)
−10(x−5) 2
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元
2）设每件降价a元，因此周利润合计为：
y=(60－a)(300+20a)－40×(300+20a) = +6125 (0≤a≤20)
−20(a−2.5) 2
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元
【问题】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，
销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售
单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y =4500；
最大值
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x=70，x=90．
1 2
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
[问题]简述利用二次函数解决利润最值的方法？
巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最
大利润问题。
典例分析
例题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1
元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（3）问如何定价才能使利润最大？
解：（1）y=（60+x－40）（300－8x）=－8x2+140x+6000 =－8（x－8.75）2 + 6612.5 ，
1
（2）y=（60－x－40）（300+12x）=－12x2－60x+6000 =－12（x+2.5）2+6075 ，
2
（3）当售价定为68.75时，利润才能达到最大值6612.5．
【针对训练】
1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系
如下表：已知日销售量y是售价x的一次函数．
（1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？
（3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．
{15k+b=25
解：1）设此一次函数关系式为y=kx+b，则
20k+b=20
解得k=−1，b=40，故一次函数的关系式为y=−x+40．
2） 设所获利润为 元，则
W W =(x−10)(40−x)=−x2+50x−400=−(x−25) 2+225
所以产品的销售价应定为 25 元， 此时每日的销售利润为 225 元；
3）根据题意，可得 ，
−(x−25) 2+225≥125
解得：15≤x≤35．
答：售价的取值范围为：15≤x≤35．
2 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元
且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足
一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才
能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.{22k+b=36 {k=−2
把(22，36)与(24，32)代入，得 ，解得
24k+b=32. b=80.
∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x＝25，x＝35(舍去)．
1 2
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)根据题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w ＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
最大
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
新知探究
如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面
宽度增加多少？（利用多种方法求解）
图一为例：建立如图所示直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2，
1
由抛物线过点(2,－2)得－2=a×4，a=－
2
1
所以这条抛物线表示的二次函数为y=− x2
2
将y=－3带入二次函数得，x=±❑√6
∴水面下降1m时，水面的宽度为2❑√6m∴水面的宽度增加了（2❑√6－4）m
[问题]简述利用二次函数解决拱桥问题的方法？
（1）建立适当的平面直角坐标系。
（2）根据题意找出已知点的坐标。
（3）求出抛物线解析式。
（4）直接利用图象解决实际问题。
典例分析
典例2 抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面5米．现有一辆集装箱
车，宽为2.8米，高为4米，请通过计算说明此车能否通过拱门．
解：建立如右图所示的直角坐标系，矩形代表卡车，
则点B的坐标为：（3，﹣5），
则抛物线的表达式为：y＝ ax2，
5
将点B的坐标代入上式并解得：a＝ − ，
9
5
则抛物线的表达式为：y＝ − x2，
9
98 98
当x＝1.4时，y＝－ ，即x＝1.4时，抛物线对应点离x轴的距离为 ，
90 90
98
则离地面的距离为6﹣ ＞4，故此车能通过拱门．
99
【针对训练】
1．（2019山西中考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不
同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象
－抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的
距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面
直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( B )
26 26 13 13
A．y= x2 B．y=− x2 C．y= x2 D．y=− x2
675 675 1350 13502．（2019合肥市中考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC构成，长方形的长OA是12m，
1
宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需
6
要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小
是( D )
A．2m B．4m C．4❑√2m D．4❑√3m
3．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通
过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超1.2 m.
直击中考
1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，
销售价格不低于22元/g，不高于45元g，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与
销售价格x（元g）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式：(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【详解】（1）当22≤x≤30时，设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
{22k+b=48 {k=−1
将点(22,48),(30,40)代入得，∴ 解得：
30k+b=40 b=70
∴y=－x+70(22≤x≤30)，
当30400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450
2．（2023·湖北随州·统考中考真题）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网
上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数
关系式
p=
{mx+n(1≤x<20)（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为
q=x+10
，已知第5天
30(20≤x≤30)
售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
(1)m=___________，n= ___________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
（1）解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，{5m+n=50 {m=−2
∴ ，解得 ，
10m+n=40 n=60
故答案为：−2，60；
（2）解：由题意当1≤x<20时，
，
W =pq=(−2x+60)(x+10)=−2x2+40x+600
当20≤x≤30时，W =30q=30(x+10)=30x+300，
（3）解：由题意当 时， ，
1≤x<20 W =−2x2+40x+600=−2(x−10) 2+800
∵−2<0，∴当x=10时，W最大为800，
1
当20≤x≤30时，W =30x+300，由30x+300>1000时，解得x>23 ，
3
又∵x为整数，且30>0，∴当20≤x≤30时，W随x的增大而增大，
∴第24至30天，销售额超过1000元，共7天．
3．（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水
平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐
标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已
知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为 ，
y=a(x−5) 2+9
9
将(0,0)代入，得0=a(0−5) 2+9．解之，得a=− ．
25
9
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−5) 2+9．
25
9
（2）令y=6，得− (x−5) 2+9=6．
25
5❑√3 5❑√3 5❑√3 5❑√3
解之，得x = +5,x =− +5．∴A(5− ,6),B(5+ ,6)．
1 3 2 3 3 3
