文档内容
22.3 实际问题与二次函数（第二课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.3 实际问题与二次函数（第二课时），内容包括：利用二次函数解决利润最值问题与拱桥最值．
2.内容解析
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，
就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学
习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论
解决相关的实际问题．
利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；
(3)确定函数解析式；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。特别需要注意，解答此类型问题
要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到
销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函
数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。
以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐
标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小
(大)值解决实际问题．
二、目标和目标解析
1.目标
1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，
理解当x＝－ 时，函数有最小(大)值 ．
达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何
从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本
节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关
系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．
基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．
四、教学过程设计
（一）复习巩固
[问题]简述用二次函数解决实际问题的一般步骤？
师生活动：教师提出问题，学生回答．
【设计意图】复习回顾用二次函数解决实际问题的一般步骤，为本节课学习利用二次函数解决利润最
值问题与拱桥问题进行铺垫．
（二）探究新知
【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，
每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
师：题中调整价格的方式有哪些？
生：涨价和降价．
师：如何表示售价、进价、销售数量与总利润之间的关系？
生：总利润=（售价－成本） ×销售数量=每件产品利润×销售数量．
师：当每件涨价x元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？如何定价
才能使每周利润最大化？
生：(60＋x)元，（300－10x）件，40(300－10x)，(60＋x)(300－10x)元，(60＋x)(300－10x)－40(300－
10x)元．
学生将利润的式子化简后，得利润y＝－10x2＋100x＋6 000= +6250(0≤x≤30)．
−10(x−5) 2
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元
师生活动：先由学生尝试解决问题。教师根据情况给出提示信息：【销售最大利润问题关键】通过售
价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题．
【设计意图】通过一系列问题，让学生明确实际问题的分析方法，从特殊到一般，最后利用学生已掌
握的函数最值知识解决，从未知转化为已知．
师：当每件降价a元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？如何定价才能使每周利润最大化？
生：(60－a)元，（300+20a）件，40(300+20a)，(60－a)(300+20a)元，(60－a)(300+20a)－40(300+20a)
元．
学生将利润的式子化简后，得利润y=(60－a)(300+20a)－40×(300+20a) = +6125 (0≤a≤20)
−20(a−2.5) 2
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元
师：由上面的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
生：因为6 250＞6 125，所以涨价5元时利润最高．
【设计意图】通过让学生独立完成，提升学生解决实际问题的能力和应用函数知识解决实际问题的意
识．
【问题】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场
调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要
求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
师生活动：先由学生尝试解决问题．教师适当引导，最后通过多媒体给出具体求解过程．
【设计意图】请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过
程中做到有的放矢，对症下药。
[问题]简述利用二次函数解决利润最值的方法？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生，得出如下结论：
巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大
利润问题。
（三）典例分析与针对训练
例题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1
元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．
（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（3）问如何定价才能使利润最大？
【针对训练】
1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系
如下表：已知日销售量y是售价x的一次函数．（1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？
（3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．
2 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元
且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足
一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才
能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【设计意图】让学生掌握利用二次函数解决利润最值问题的方法．
（四）探究新知
如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降
1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
师：如何建立直角坐标系？
师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，出现以下3种情况：
1）有的小组是将抛物线顶点作为坐标系原点．
2）有的小组是在宽度为4 m的水面中点作为坐标系原点．
3）有的小组是以宽度为4 m的水面的左或右端点作为坐标系的顶点．
师：根据所建立的直角坐标系，尝试解决这个问题．
师生活动：学生以小组为单位，通过计算给出答案．并尝试选用不同的直角坐标系求解这个问题．教
师通过多媒体给出具体求解过程．
【设计意图】利用一元二次方程解决问题，通过审题，引导学生建立合理的坐标系，再通过二次函数
的知识解决问题，锻炼学生实际应用的能力．
[问题]简述利用二次函数解决拱桥问题的方法？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生，得出如下结论：
（1）建立适当的平面直角坐标系。
（2）根据题意找出已知点的坐标。
（3）求出抛物线解析式。（4）直接利用图象解决实际问题。
【设计意图】通过思考和讨论，使学生能够更好地将函数知识应用到实际生活中，培养学生的应用意
识．
（五）典例分析与针对训练
典例2 抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面5米．现有一辆集装箱
车，宽为2.8米，高为4米，请通过计算说明此车能否通过拱门．
【针对训练】
1．（2019山西中考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不
同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象
－抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的
距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面
直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
26 26 13 13
A．y= x2 B．y=− x2 C．y= x2 D．y=− x2
675 675 1350 1350
2．（2019合肥市中考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC构成，长方形的长OA是12m，
1
宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y=﹣ x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需
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要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小
是( )
A．2m B．4m C．4❑√2m D．4❑√3m3．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通
过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超______m.
【设计意图】让学生掌握利用二次函数解决拱桥问题的方法．
(六）直击中考
1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，
销售价格不低于22元/g，不高于45元g，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元g）之间
的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
2．（2023·湖北随州·统考中考真题）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网
上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式
p=
{mx+n(1≤x<20)（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为
q=x+10
，已知第5天
30(20≤x≤30)
售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
(1)m=___________，n= ___________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
3．（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水
平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐
标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已
知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（七）归纳小结
1.如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？
2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？
（八）布置作业
P51：习题22.2 第2、3、8题
五、教学反思
