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专题03 平面向量（选填题10种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 平面向量的坐标运算
【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量 ， // ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，则A正确； ，则B正确；
因为 // ，所以设 ，因为 ，
所以 ，解得 ，所以 或 ，故C错误；
，故D错误．故选：AB
【变式】
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
【淘宝店铺：向阳百分百】C．若 ，则
D．若 ，则向量 的夹角为锐角
【答案】B
【解析】对于选项A：因为 ，则 ，
所以 ，解得 或 ，故A错误；
对于选项B：因为 // ，所以 ，解得 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，所以 ，解得 ，故C错误；
对于选项D：当 时， ，
由选项B可知： 不共线，所以向量 的夹角为钝角，故D错误.
故选：B.
2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量是
【答案】AC
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，故A正确；
因为 ，故B错误；
， ，故C正确；
因为 在 上的投影向量是 ，故D错误.
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：AC．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ∥ ，则
C．若 ，则 D．若 ，则向量 ， 的夹角为钝角
【答案】BD
【解析】对于A，因为 ， ，所以 ， ，解得
或 ，故A错误；
对于B，因为 ∥ ，所以 ，解得 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，解得 ，故C错误；
对于D，当 时， ， ，又因为此时 ， 不共线，所以向量 ， 的夹角为
钝角，故D正确.故选：BD.
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD
上靠近D，A的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ①；
，则 ②；
【淘宝店铺：向阳百分百】① ②两式相加， ，即 ，
故选：C.
【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，
整理得 ，可得 ，
所以 .
故选：A.
【变式】
1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形 中， ､ 分别在边 ､ 上，
， 与 相交于点 ，记 ，则 （ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】D
【解析】过点 作 平行于 ，交 于点 ，
因为 ，则 为 的中点，所以 且 ，
因为 ，所以 ，
由 可得： ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选： .
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在 中， 是 的中点，
与 交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 中，设 ，由 ，可得 ，故
【淘宝店铺：向阳百分百】．
又 是 的中点， ，所以 ，所以 ．
由点 三点共线，可得 ，解得 ，
故 ．
故选：A．
3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨
斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另
一部分与这部分之比，黄金分割比为 .如图，在矩形 中， 与 相交于点 ，
，且点 为线段 的黄金分割点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，显然 ， ，
同理有 ， ，
所以 ，故 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为
，
所以 .
故选：D
考法三 平面向量的数量积
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形 的边长为2，D，E分别是 ， 上的点，且
， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
∴
．
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
3．（2023·河北保定·统考二模）在 中，点 在边 上， 平分 ，若 ，
，则 ．
【答案】1
【解析】延长 至点 ，使 ，连接 ，
延长 交 于点 ，过点 作 的平行线交 于 ．
平分 ， ， 为 的中点，得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】， ，可得 ，
．
， ， ，
可得 ，
．
故答案为：1．
考法四 平面向量的共线定理
【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知 、 为不共线的向量， ， ，
，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】C
【解析】因为 、 为不共线的向量，所以 、 可以作为一组基底，
对于A： ， ，若存在实数 使得 ，
则 ，所以 ，方程组无解，所以 与 不共线，故 、 、 三点不共线，即
A错误；
对于B：因为 ， ，所以 ，
同理可以说明不存在实数 ，使得 ，即 与 不共线，故 、 、 三点不共线，即B错误；
对于C：因为 ， ，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，故 、 、 三点共线，即C正确；
对于D： ， ，
同理可以说明不存在实数 ，使得 ，即 与 不共线，故 、 、 三点不共线，即D错误；
故选：C
【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在 中 ，点 为 与 的
交点， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 为 中点，
三点共线，故可设 ，即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
三点共线，
可得 ，
所以 ，解得 ，
可得 ，则 ， .
故选：B
【变式】
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在 中， 是 边上一点，且 是 上一点，
【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得出 ，
由 得
，
因为 三点共线，所以 ，解得 .
故选：D.
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在 中，M为线段 的中点，G为线段
上一点， ，过点G的直线分别交直线 ， 于P，Q两点， ，
，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】因为M为线段 的中点，所以 ，又因为 ，所以
，
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测） ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， 且 三点共线，则实数 .
【答案】
【解析】依题意得， ，于是 ，
由 三点共线可知，存在 ，使得 ，即 ，
由于 ， 是两个不共线的向量，则 ，解得 .
故答案为：
考法五 平面向量中的取值范围
【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形 中，
，则 的最小值为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】边长为2的菱形 中， ，如图所示，
则 ， ，
， ，
，
由于 ，所以当 时， 有最小值 .
故选：B
【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不失一般性，在平面直角坐标系 中，设 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立.
因此， 的最小值为 .故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或
绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ，
，点 在 上，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图， ，
若 为 中点，且 ，则 ，
则 ，
要使其最小，只需 共线，
此时，由图知此时 .
故答案为： .
2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值是
【淘宝店铺：向阳百分百】．
【答案】 /
【解析】由 两边平方得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 中， ， ，
， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，结合向量加法法则知： 到 的距离为2，
又 ，则 ，所以 ，故 为等腰直角三角形，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，则 ，所以 共线，
又 ，则 ，若 为 的两个四等分点， 为 中点，如下图示，
所以 在线段 上运动，且 ， ， ，
由图：若 ，则 ，又 ，此时 ，
故上述情况 ，易知 ，
由图知： 与 重合时， ，
综上， 的取值范围为 .
故选：D
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，
C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
【淘宝店铺：向阳百分百】当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
【淘宝店铺：向阳百分百】，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
考法六 平面向量与四心
【例6】（2023春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在 所在的
平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则O是 的外心
B．若 ，则I是 的内心
C．若 ，则P是 的垂心
D．若 ，则N是 的重心
【答案】B
【解析】对于选项A：若 ，即 到 的距离相等，
根据外心的定义可知：O是 的外心，故A正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项B：若 ，则 ，
即I是三边高线的交点，所以I是 的垂心，故B错误；
对于选项C：若 ，
则 ，即 ，
同理可得： ，由选项B可知：P是 的垂心，故C正确；
对于选项D：若 ，则 （D为AB的中点），
即 ，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；
故选：B.
【变式】
1．（2023春·河南濮阳·高一统考期末）点 为 所在平面内的点，且有
， ，
，则点 分别为 的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
即 ，
则 ，
得
所以 ，则 ，同理可得 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 是 三边上高的交点，则 为 的垂心；
由 ，得 ，
设 的中点为 ，则 ，即 ， ， 三点共线，
所以 在 的中线 上，同理可得 在 的其余两边的中线上，
即 是 三边中线的交点，故 为 的重心；
由 ，得 ，即 ，
又 是 的中点，所以 在 的垂直平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 三边垂直平分线的交点，故 是 的外心，
故选：A
2．（2023春·广东珠海）（多选）在 所在平面内，点满足 ，其中 ，
m， ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线AP一定经过 的重心
B．当 时，直线AP一定经过 的外心
C．当 ， 时，直线AP一经过 的垂心
D．当 ， 时，直线AP一定经过 的内心
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ， ，所以 ，
设点 为 的中点，所以 ，
所以 ，所以直线AP一定经过 的重心，所以A正确，
【淘宝店铺：向阳百分百】对于B，当 时， ，
因为 为与 同方向的单位向量， 为与 同方向的单位向量，
所以 平分 ，
所以直线AP一定经过 的内心，所以B错误，
对于C，当 ， 时， ，
所以
，
所以 ，所以直线AP一经过 的垂心，所以C正确，
对于D， 当 ， 时， ，
作 于 ，则 ， ，
所以 ，
所以直线AP一定经过 的重心，所以D错误，
故选：AC
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023春·湖北 ）（多选）在 所在的平面上存在一点 ， ，则下列说
法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹可能经过 的重心
D．若 ，则点 的轨迹可能经过 的内心
【答案】ABC
【解析】若 ，根据向量共线的推论知： 共线，即 在直线 上，
中，当 时，则 的中点为三角形外心，故 有可能为外心，A错；
若 ，不妨取
当 时,
此时 的轨迹经过 的垂心，B错；
若 为 的重心，必有 ，此时 ，C错；
若 ，设 为等边三角形，结合 ，
则 点在 的中线上，也在 的平分线上， 的轨迹可能经过 的内心，D正确.
故选：ABC
4．（2023春·江苏扬州 ）（多选）已知直角三角形 满足 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A．若点 为 的重心，则 ；
B．若点 为 的外心，则 ；
C．若点 为 的垂心，则 ；
D．若点 为 的内心，则 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ABD
【解析】对于A ，设BC 的中点为 D ，则 ,
点 为 的重心， ，A正确，
对于B ，直角三角形 满足 ,点 为 的外心，O 为 BC 的中点，
，B正确，
对于C，直角三角形 满足 A =90°, 点 为 的垂心， 的垂心O 与 A 重合， ．C
错误;
对于D，设直角三角形 内切圆的半径为 r , ,
如下图，
OE = OF =1,
四边形 AEOF 为正方形， ,D正确．
故选： ABD .
考法七 平面向量巧建坐标
【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt ABC中， ， ， ，若动点
△
P满足 ，则 的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】如图，以B为坐标原点， ， 的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ．
设 ，则 ．
因为 ，所以P是圆A： 上的点．
又点P与点 距离的最大值为 ，即 ，
所以 ．
故 的最大值为17．
故选：B.
【变式】
1（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，
【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故
综上， 的取值范围是 .
故选：B
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形 中， ，且 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】点P在线段 上运动，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图建立平面直角坐标系，
则 ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
又 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
解得 ，
∴ ，
即 的最小值为 .故选：B.
考法八 平面向量与奔驰定理
【例8-1】（2023春·江苏盐城 ）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定
理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ，则 ，
是 内的一点，∠ ，∠ ，∠ 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ，则 为 的垂心
D．若 为 的内心，且 ，则
【答案】BCD
【解析】对选项A： ，则 ，错误；
对选项B： ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故 ， ，正确；
对选项C： ，即 ，故 ，
同理可得 ， ，故 为 的垂心，正确；
对选项D： ，故 ，设内接圆半径为 ，
， ， ，即 ，
即 ， ，正确.
故选：BCD
【例8-2】（2023春·宁夏银川 ）已知点O是 内一点，满足 ， ，则实数
m为 ．
【答案】
【解析】如图，令 ，则：
三点共线；
与 共线反向， ；
；-
解得 ．
故答案为： .
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知 为 的外心， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，则 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 的中点为D，由 为 的外心可得， ，
，
又 ，
所以 ，
又 ，可得 ，
故 ，则 的面积为 ，
故选：D.
2．（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得， ，
因为 ， ， 不共线，所以 ，故A正确；
对于B，若 是 的重心， ，
因为 ，所以 ，即 共线，故B错误．
对于C，当 为 的外心时， ，
所以 ，
即 ，故C错误．
对于D，当 为 的内心时， （ 为内切圆半径），
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：AD.
3．（2023秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是 内的
【淘宝店铺：向阳百分百】一点， ， ， 的面积分别为 、 、 ，则有 ，设O是锐角
内的一点， ， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若O为 （不为直角三角形）的垂心，则
D．若 ， ， ，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设 的中点为D，则 ，
即 三点共线，则 ，
设 为 的中点，同理可得 ，
故O为 的重心，A正确；
对于B，若 ，结合 ，
可知 ，B正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于C， ， ，
，
又O为 （不为直角三角形）的垂心，设 延长后交 与G，则 ,
同理 ，则 ，
即 ，
同理 ，
故 ，同理 ，
又 ，
，
又O为 （不为直角三角形）的垂心，
则 ，
故 ，即 ，
同理 ，
则
，
同理 ，
故
，
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，可得 ，C正确；
对于D， 中， ， ，则 ，
又 ，故 ，
则 ，
故 ，D错误，
故选：ABC
考法九 平面向量中的新定义
【例9】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量 与 的夹角为 ，定义
.已知向量 为单位向量， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【变式】
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）定义： ，其中 为向量 与 的夹角．若 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，又 ， ，
.
故选：D.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）向量 的夹角为 ，定义运算“ ”： ，若
，则 的值为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，所以 .
故答案为： .
3（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量 ， 的夹角为 ，定义运算
.下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．设在 中， ， ，则
【淘宝店铺：向阳百分百】D． （ 为任意非零向量）
【答案】AC
【解析】非零向量 ， 的夹角为 ，定义运算 ，
对于A：若 ，则 ，即 ，又 ，
所以 或 ，故A正确；
对于B：当 ，则 ，因为 ，所以 ，所以
，故B错误；
对于C：在 中， ， ，所以 ，所以 ，故C正确；
对于D： 其中 为 与 的夹角，
其中 为 与 的夹角， 其中 为 与 的夹角，
则 ，
令 ， ， ，此时 ， ， ，
则 不成立，故D错误；故选：AC
考点十 平面向量与其他知识综合
【例 10-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知 ， ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 或 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选：B.
【例10-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数 在复平面内对应的点是A，其共轭复数
在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，由 得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 .故选：B
【变式】
1（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 和数列 满足
，若 分别为数列 的前
项和，则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，则 ，
由 ，则 ，
同理 ， ，
即数列 均是周期为6的数列，而 ，
故选：D.
2．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O为坐标原点，点 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ， ， ，
所以 ， ，
故 是正三角形，则 ，故A正确；
对于B，因为 是正三角形， 是 的外心，
所以 是 的重心，故 ，即 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，因为 ，则 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC．
.
3．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的
中点，若AD=1，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】设AC=b，AB=c，
则 ，
∵D为边BC的中点，
∴ ，
∴ ，即： ，①
又∵ ，当且仅当 时取等号. ②
∴由①②得： .
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴ ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∴
，当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值为 .故答案为： .
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】 , ,即 ,解得 ,
故选：C
4．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
故选：D
5．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量 ，且 ，则
（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由向量 ，可得 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，可得 .
故选：D.
7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
故 ，化简得 .
故选：C
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
9．（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量 的夹角为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，
.故选：A.
10．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知 是相互垂直的单位向量.若向量 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 是相互垂直的单位向量，
所以 .
又 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .故选：B
11．（2023·福建龙岩·统考二模）已知向量 ， ， ， ，若 ，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】因为向量 ， ， ， ，
所以 ， ，向量 在向量 方向上的投影向量为
.
故选：C
12．（2023·海南·海南中学校考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒
洛三角形中，已知 ，P为弧AC上的一点，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，由 ，得 ，所以 ， ，所以
.
故选：C.
13．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形 的边长为2，点 ， ， 分别是边 ， ，
的中点，点 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．48
【答案】A
【解析】如图建立平面直角坐标系，则 、 、 、 ，
设 ， ，（ ），则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以
，
又 ，所以当 时 取得最小值为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A
14．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ，则下列命题不正确的是
（ ）
A． B．若 ，则
C．存在唯一的 使得 D． 的最大值为
【答案】D
【解析】由向量 ， ，
对于A中，由 ，所以A正确；
对于B中，若 ，可得 且 ，可得 ，所以B正确；
对于C中，若 ，可得 ，整理得 ，
所以 ，可得 ，因为 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ，所以D错误.
故选：D.
15．（2023·浙江·模拟预测）在 中， 是 上靠近 的四等分点， 与 交于点 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 ，设
，由 三点共线，
设
，
则 ，
，
可得 ，解得 ，所以 .
故选：A.
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知在三角形ABC中， ， ， ，点M，N分别为边
AB，AC上的动点， ， ，其中x， ， ，点P，Q分别为MN，BC的中点，
则 取得最小值时， （ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于P，Q分别为MN，BC的中点，所以 , ,
所以 ,
因此
，对称轴为 ，故
当 时， 最小，故此时 ,
故选:B
17．（2023·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，动点P满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接 、 交于点E，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
∴ ，则点P在以E为球心，1为半径的球面上，
易知点P的运动轨迹在平面ABCD内的射影为正方形ABCD的内切圆及圆内部，
设AC与该圆交于点 、 ( 靠近点A)．
设 与 的夹角为 ，则 ，
， ，
∴ ．
因此 ，
即 的取值范围为 ．
故选:C．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且
，连接 交于 点，若 ，则 的值为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 则
显然 得
显然
因为 所以有 即
根据向量的性质可知 解得 故选：C
19．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）在 中，点D在边BC上，且 ，
，记 中点分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在 中， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可整理得
即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 整理得 ，
因为 ， 中点分别为 ，
所以
，
所以在 中， ，
因为 ，且 即 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
20．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
【淘宝店铺：向阳百分百】由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
21．（2023·福建·校联考模拟预测）设向量 与单位向量 满足，对任意 都有 ，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
即 对任意 恒成立，
则满足 ，即 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】设向量 与 的夹角为 ，可得 ，所以 ，
则 ，
当 时，可得 .
故选：B.
22．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在 中，已知 ， ， ，若
，且 ， ，则 在 上的投影向量为 （ 为与 同向的单位向
量），则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得 ，
解得 ，
因为 ，由勾股定理逆定理得 ⊥ ，
，
则 ，
因为 ， ，所以 ，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】在 上的投影向量为 ，故 ，
令 ，则 ，
令 ，
因为 ，所以 ，故当 时， ，
当 时， ， ，
故 ，
故选：B
23．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1， ，G是菱形ABCD内
一点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1， ，
所以 ，
所以 ，则 为等边三角形，因为 ，
所以 ，设点M为BC的中点，则 ，所以 ，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为 的重心，故 ，
在等边 中，M为BC的中点，则 ，
所以 .
故选：A
24．（2023·河南郑州·校联考二模）在 中， ， ， ， 是 的外接圆上的
一点，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，所以 ．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A
（－1，0），C（1，0），B（－ ， ），设P的坐标为 ，所以 ， ，
，又 ，所以 ，所
以 ， ，所以
【淘宝店铺：向阳百分百】，当且仅当 时，等号成立．
故选：B．
25．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是 ABC所在平面上一定点，H，N，Q
△
在 ABC所在平面内，动点P满足 ， ，则直线AP一定经过 的
△
____心，点H满足 ，则H是 的____心，点N满足 ，则N是
的____心，点Q满足 ，则Q是 的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【解析】 ，变形得到 ，
其中 分别代表 方向上的单位向量，
故 所在直线一定为 的平分线，
故直线AP一定经过 的内心，
【淘宝店铺：向阳百分百】，即点 到 三个顶点相等，故点 是 的外心，
因为 ，所以 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 ，
故 三点共线，且 ，
所以 是 的重心，
由 可得 ，
故 ，同理可得 ，
故 为 三条高的交点， 为 的垂心.
故选：B
26．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则点
是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【答案】B
【解析】过点 分别作 ， ， 的垂线 ， ， ，其垂足依次为 ，如图所示，
由于 ，
根据奔驰定理就有：
，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
因此 ，故点 是 的内心，B选项正确.
故选：B
27．（2023·河南开封·统考三模）已知 、 为单位向量， ，非零向量 满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，即 ，
则 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
设 ， ， ， ，如图，
则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故点C在以点D为圆心，半径为1的圆上运动，
∴ ，当A、D、C三点共线时取等号，
在 中， ，则 ，
所以 的最小值为 ，故选：B．
28．（2023·陕西渭南·统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．
如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径 ，小圆半径
，点 在大圆上，过点 作小圆的切线，切点分别是 ， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意可知： ， ，
因为 为切线，所以 ，如图，
由勾股定理可得： ，所以 ,
【淘宝店铺：向阳百分百】由 ， ，
过 ，
所以 ，
故选： .
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 和数列 满足
，若 分别为数列 的前
项和，则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
则 ，
∵ ，则 ，
由 ，则 ，
同理 ， ，
即数列 均是周期为6的数列，而 ，
故选：D.
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知定点 在边长为1的正方形 外，且 ，对正方形
【淘宝店铺：向阳百分百】上任意点 ，都有 的面积 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
因为 ，所以 在线段 的垂直平分线上，又 ，
即 ，所以 ，
则 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，解得 或 ，
又定点 在边长为1的正方形 外，所以 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
若 在线段 上，则 ， ，
此时 ，
因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
若 在线段 上，则 ， ，
此时 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
若 在线段 上，则 ， ，
此时 ，
因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
若 在线段 上，则 ， ，
此时 ，
因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
综上可得 ，
即 ，当且仅当 ，即 点位于 点时取得最大值.
故选：C
【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
31．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】若 ，根据平面向量共线性质可得 ，即 ，所以A正确；
若 ，可得 ，即 ，解得 ，所以B正确；
若 ， ，由投影向量定义可知向量 在 上的投影向量为 ，即C错误；
若 ，则 ，所以 ；
但当 时， ，即此时向量 与 的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB
32．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方
向旋转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点
P．已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点 ，逆时针
旋转 ， 后分别得到点 ， 则（ ）
A． B．
C． D．点 的坐标为
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ABD
【解析】点 ，点 ， ,把点B绕点A沿顺时针方向旋转 (即按逆时
针方向旋转 ) 后得到点 ， ,可得 ，故
D正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转 后得到点 ,
,可得
，故A正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转 后得到点 ,
,
即 ，故
B正确；
C. ,
，即 ，故C错误；
故选：ABD
33．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）（多选）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针
方向旋转 角得到向量 ，叫做把点 绕点A沿逆时针方向旋转 角得到
点 .已知平面内点 ，点 ， ， ，点 绕点A沿逆时针方向旋转 角
【淘宝店铺：向阳百分百】得到点 ，则（ ）
A． B．
C． 的坐标为 D． 的坐标为
【答案】ACD
【解析】由题意可知点 ，点 ，故 ，
因为 ，故 ，
又 ，即 ，故 ，
所以 ， ，故B错误，C正确；
因为点 绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点 ，
所以 ，
则由 ,可得点 坐标为 ，故D正确；
故 ，则 ，A正确，
故选：ACD
34．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于
A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
【淘宝店铺：向阳百分百】，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
【淘宝店铺：向阳百分百】35．（2023·广东潮州·统考二模）设向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 在 上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】由题意可知 ， ，故 ，A正确；
因为 ，故 不平行，B错误；
因为 ，故 ，C正确；
由于 ， ，
故 在 上的投影向量为 ，D正确，
故选：ACD
36．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知向量 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 为锐角，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则
D． 的最小值为1，最大值为3
【答案】AC
【解析】若 ，则 ，解得 ，所以 ，故A正确；
若 为锐角，则 ，且 与 不能同向共线，所以 ，故B错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】若 在 上的投影向量为 ，则 ，
即 ，解得 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故D错误.
故选：AC
37．（2023·海南·统考模拟预测）已知向量 ， ，则下列说法正确的是
（ ）．
A．若 ，则 B． 的取值范围为
C．满足 的 的值有2个 D．存在 ，使得
【答案】BC
【解析】对于A，由 得 ，即 ，故A错误；
对于B， ，
因为 ，所以 ， ，
，故B正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，
因为 ，所以 ，所以 或 ，
得 或 ，故C正确；
对于D， 等价于 ， 的方向相反，而 ，结合C的分析可知，不存在满足
的条件，故D错误．
故选：BC
38．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点 ， 分别是 的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ， ，则 的取值范围为
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】A.由 ， 可知，点 共线，
又 可知，点 在 的角平分线上，
所以 为 的角平分线， 与 不一定相等，故A错误；
B.若 ，则点 是 的中点，点 又是 的外心，
所以 ， ，故B正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】C. 因为 ，所以 ，如图，建立平面直角坐标系，
设 ， ， ，
因为 ，所以 ，
得 ， ，
， ，
， ，则 ，故C正确；
D.因为 ，所以 ，
即 ，则 ，
同理， ，所以 ，
设 ，
因为 ，所以 ，
即 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
则 ，
， ，故D正确.
故选：BCD
39．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，
是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以 为 的重心，故A正确；
对于B，由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C，由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ， ，
则有 ， ， ，
所以 ，
，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD．
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形 中， 为 中点，
分别为线段 的两个三等分点，点 为线段 上任意一点，若 ，则 的值可
能是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B． C． D．3
【答案】AB
【解析】
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
则
设 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ 整理得 ，
因为 ，所以
故选：AB.
三、填空题
41．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 , ，设
,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
42．（2022·全国·统考高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
【答案】
【解析】 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
43．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）在平行四边形 中， 为 的重心，
，则 ．
【答案】 /
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】如图，设 与 相交于点 ，又 为 的重心，
所以 为 的中点， ，
则 ，
则 ，故 ．
故答案为：
44．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图,在平行四边形 中,点E是CD的中
点,点F为线段BD上的一个三等分点,且 ,若 ,则 .
【答案】
【解析】由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以 ,
所以
,
因为 不共线,所以 ,故 .
故答案为:
45．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何
问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角
【淘宝店铺：向阳百分百】形的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
:当三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为
费马点.已知 分别是 三个内角 的对边，且 ，若点 为 的费马点，
则 .
【答案】
【解析】由于 ，所以三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知： ，
设 ，由 得：
，整理得 ，
则
.
故答案为：
46．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在 中，点 是 的中点，点 在 上，
且 ， ，则 .
【答案】
【解析】依题意 ，又点 在 上，且 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，解得 ，
即 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
47．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在 中，点 是边 上一点且 ， 是边
的中点，直线 和直线 交于点 ，若 是 的平分线，则 .
【答案】
【解析】记 ， ，以 、 为邻边作平行四边形 ，
因为 ，则平行四边形 为菱形，所以， 平分 ，
且 ，
因为 平分 ，则 、 共线，
则存在 ，使得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 、 、 三点共线，则 、 共线，则存在 ，
使得 ，即 ，可得 ，
因为 为 的中点，所以， ，
因为 、 、 三点共线，则 、 共线，
所以，存在 ，使得 ，即 ，
所以， ，
因为 、 不共线，则 ，解得 ，
故 ，
又因为 ，所以， ，故 .
故答案为： .
48．（2023·上海·统考模拟预测）设向量 ， ，记 ，若圆
上的任意三点 ， ， ，且 ，则 的最大值是
.
【答案】64
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设出 ， ， 三点坐标，由 得出 为直径，故得到关系式 ，
代入 中得到其值为 ，利用圆的参数方程设出点 坐标代入 中，利
用辅助角公式求最值即可.
【详解】整理圆的方程可得
故圆心为 ，半径为
设 ，由 可得 为圆的直径
由此可得
则
又 在圆上
设
故 的最大值为
故答案为：64
49．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义
，若平面向量 、 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合
中，则
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，故 ．
又由 ，则 ， ，可设 ， ，令 ， ，且 ，
又夹角 ，所以 ，
对 ， 进行赋值即可得出 ，所以 ．
故答案为： ．
50．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且 ，
， ，
，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和的2倍，
点 在单位圆内，点 在单位圆外，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
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