文档内容
专题 03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求二面角.......................................2
题型二：已知二面角求参数...............................4
题型三：求二面角最值（范围）...........................7
三、专项训练.............................................10
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点 ，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线 、 ,则 称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角
的大小 ．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角的大小 满足：
； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面
角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（2024·河北沧州·一模）已知正四棱柱 的底面边长与侧棱长之比为
，则平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱柱ABC-ABC 的棱长均为a，D是侧棱CC 的
1 1 1 1
中点，则平面ABC与平面ABD的夹角的余弦值为 ．
1
3．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
，则二面角 的平面角的余弦值为 ．
4．（2024·湖北黄石·三模）如图，在三棱锥 中， ， ， 分别是侧棱 ，
， 的中点， ， 平面 .
(1)求证：平面 平面 ；(2)如果 ， ，求二面角 的余弦值.
5．（23-24高二下·湖北·期中）如图，在三棱柱 中，底面 侧面
， ， ， .
(1)证明： ；
(2)若三棱锥 的体积为 ， 为锐角，求平面 与平面 的夹角.
6．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱 中，侧面 底面ABC，且
， ．
(1)证明： 平面ABC；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．题型二：已知二面角求参数
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 为菱形，四
边形 为矩形，且 ， 是线段 上的一个动
点，且 .
(1)试探究当 为何值时， ∥平面 ，并给出证明；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
2．（2024·全国·模拟预测）在四棱锥 中，底面 为矩形，点 为 的中
点，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，点 为棱 上一点，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
，求 的值．3．（2024·全国·模拟预测）如图所示， 内接于圆 ， 为圆 的直径， ，
， ，且 平面 ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的夹角的余弦值为 ，
若存在，请指出点 的位置；若不存在，请说明理由．
4．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥 中，四边形 是矩
形， 是正三角形，且平面 平面 ， ， 为棱 的中点，四棱锥
的体积为 .
(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成夹角的余弦值为 ？若存
在，求出线段 的长度；若不存在，请说明理由.5．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱 中，已知 ，
， ， ，M是BC的中点．
(1)求证： ；
(2)在棱 上是否存在点P，使得二面角 的正弦值为 ？若存在，求线段AP
的长度；若不存在，请说明理由．
6．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）如图，在三棱柱 中， ，
， ， 平面 .
(1)求证：平面 垂直平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求 与平面 所成的角的正弦值.题型三：求二面角最值（范围）
1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2
的等边三角形， ， ， 分别是线段 ， 的中点， 在平面 内的射影为
.若点 为线段 上的动点（不包括端点），锐二面角 余弦值的取值范围为
.
2．（19-20高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体 中，点 是棱
上的动点（ 点可以运动到端点 和 ），设在运动过程中，平面 与平面 所
成的最小角为 ，则 ．
3．（19-20高二上·浙江绍兴·期末）如图，正三棱柱 中，各棱长均等于 ，
为线段 上的动点，则平面 与平面 所成的锐二面角余弦值的最大值为
.4．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形， ， ，平面
平面ABC，点F在AB上，且 ，M，N分别在直线CD，AB上．
(1)求证： 平面ACDE；
(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若 ，
MN为直线CD，AB的公垂线，求 的值；
(3)记直线BE与平面ABC所成角为 ，若 ，求平面BCD与平面CFD所成角余
弦值的范围．
5．（23-24高二上·湖北·期末）如图，四边形 为矩形， ≌ ，且二面角
为直二面角．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 是 的中点， ，二面角 的平面角的大小为 ，当
时，求 的取值范围．6．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，
， 垂直于平面 ．点 ， ， 分别为边 ， ， 上的动点（不
包括顶点），且满足 ．
(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)记平面 与平面 所成的锐二面角为 ，当 最小时，求 的值，并说明点
所处的位置．
7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图所示，四边形 为正方形，四边形 ，
为两个全等的等腰梯形， ， ， ， ．
(1)当点 为线段 的中点时，求证： ；
(2)当点 在线段 上时（包含端点），求平面 和平面 的夹角的余弦值的取值
范围．三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）如图， 是三棱锥 的高， ，
，E是 的中点，若 ， ， ，则二面角 的正
弦值为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．若点F满足 ，则二面角 的正
弦值为 ．
3．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知 是圆锥 的底面直径， 是底面圆周上
的一点， ，则二面角 的余弦值为 ．
4．（2024高二上·江苏·专题练习）在正方体 中，点E为 的中点，则直
线 与 所成的角的余弦值为 ；平面 与平面 所成锐二面角的余弦
值为 .
5．（23-24高二上·广东汕尾·期末）如图，二面角 的棱上有两个点 ，线段
与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ，若
，则二面角 的余弦值为 .
6．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体 中，设
，若二面角 的平面角的正弦值为 ，则实数 的值为 ．7．（22-23高二上·浙江温州·期中）如图，平行六面体 中，底面ABCD和
侧面BCC B 都是矩形，E是CD的中点，DE⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC B 与平面
1 1 1 1 1
DEB的夹角的余弦值为 ，则线段DE的长度为 ．
1 1
8．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，
， 为 上一点．若二面角 的大小为 ，则 的长为
．
9．（22-23高二下·江苏徐州·期中）三棱锥 中， ，
，记二面角 的大小为 ，当 时，直线 与 所成角
的余弦值的取值范围是 .
10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在三棱锥 中， ，
， 平面 ， ， ， 分别为棱 ， 上的动点，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角为 ，求 的值.11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图， 为圆锥顶点， 是圆锥底面圆的圆心， ，
是长度为 的底面圆的两条直径， ，且 ， 为母线 上一点．
(1)求证：当 为 中点时， 平面 ；
(2)若 ，二面角 的余弦值为 ，试确定P点的位置．
12．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）如图，在四棱柱 中，二面角
均为直二面角.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的正弦值为 ，求 的
值.13．（2024·全国·模拟预测）已知四棱柱 如图所示，底面 为平行四
边形，其中点 在平面 内的投影为点 ，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点 在线段 上（不含端点位置），且平面 与平面 的夹角的余弦值
为 ，求 的值．
14．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，
，沿AC将 折起，使点D到达点P位置，且 ，连
接PB得三棱锥 如图乙．
(1)证明； 平面ABC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使二面角 的余弦值为 ，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．15．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在图甲所示的四边形 中， ，
， ， ，沿 将 进行翻折，使得 ，
得到如图乙所示的四棱锥 .四棱锥 的体积为 ， 为边 上的动点
（不与端点 ， 重合）.
(1)若 为 的中点，求证： ；
(2)设 ，试问：是否存在实数 ，使得锐二面角 的余弦值为 ？
若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
16．（20-21高三上·山东青岛·期中）在多面体 中，平面 为正方形，
， ， ，二面角 的平面角的余弦值为 ，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的取值范围.
