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专题03 平面向量（选填题10种考法）考法一 平面向量的坐标运算
【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量 ， // ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则向量 的夹角为锐角
2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．C． D． 在 上的投影向量是
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ∥ ，则
C．若 ，则 D．若 ，则向量 ， 的夹角为钝角
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD
上靠近D，A的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【变式】
1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形 中， ､ 分别在边 ､ 上，
， 与 相交于点 ，记 ，则 （ ）A． B．
C． D．
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在 中， 是 的中点，
与 交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨
斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另
一部分与这部分之比，黄金分割比为 .如图，在矩形 中， 与 相交于点 ，
，且点 为线段 的黄金分割点，则 （ ）
A． B．
C． D．
考法三 平面向量的数量积【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形 的边长为2，D，E分别是 ， 上的点，且
， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
3．（2023·河北保定·统考二模）在 中，点 在边 上， 平分 ，若 ，
，则 ．
考法四 平面向量的共线定理
【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知 、 为不共线的向量， ， ，
，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在 中 ，点 为 与 的
交点， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【变式】1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在 中， 是 边上一点，且 是 上一点，
若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在 中，M为线段 的中点，G为线段
上一点， ，过点G的直线分别交直线 ， 于P，Q两点， ，
，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测） ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， 且 三点共线，则实数 .
考法五 平面向量中的取值范围
【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形 中，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或
绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ，
，点 在 上，则 的最小值是 ．
2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值是
．
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 中， ， ，
， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，
C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）A． B．
C． D．
考法六 平面向量与四心
【例6】（2023春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在 所在的
平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则O是 的外心
B．若 ，则I是 的内心
C．若 ，则P是 的垂心
D．若 ，则N是 的重心
【变式】
1．（2023春·河南濮阳·高一统考期末）点 为 所在平面内的点，且有
， ，
，则点 分别为 的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
2．（2023春·广东珠海）（多选）在 所在平面内，点满足 ，其中 ，
m， ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线AP一定经过 的重心
B．当 时，直线AP一定经过 的外心
C．当 ， 时，直线AP一经过 的垂心
D．当 ， 时，直线AP一定经过 的内心3．（2023春·湖北 ）（多选）在 所在的平面上存在一点 ， ，则下列说
法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹可能经过 的重心
D．若 ，则点 的轨迹可能经过 的内心
4．（2023春·江苏扬州 ）（多选）已知直角三角形 满足 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A．若点 为 的重心，则 ；
B．若点 为 的外心，则 ；
C．若点 为 的垂心，则 ；
D．若点 为 的内心，则 ．
考法七 平面向量巧建坐标
【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt ABC中， ， ， ，若动点
△
P满足 ，则 的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【变式】
1（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形 中， ，且 ，
点P在线段 上运动，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考法八 平面向量与奔驰定理
【例8-1】（2023春·江苏盐城 ）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定
理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ，则 ，
是 内的一点，∠ ，∠ ，∠ 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，且 ，则C．若 ，则 为 的垂心
D．若 为 的内心，且 ，则
【例8-2】（2023春·宁夏银川 ）已知点O是 内一点，满足 ， ，则实数
m为 ．
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知 为 的外心， ， ，
，则 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则D．若 为 的内心，则 为直角三角形
3．（2023秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是 内的
一点， ， ， 的面积分别为 、 、 ，则有 ，设O是锐角
内的一点， ， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若O为 （不为直角三角形）的垂心，则
D．若 ， ， ，则
考法九 平面向量中的新定义
【例9】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量 与 的夹角为 ，定义
.已知向量 为单位向量， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）定义： ，其中 为向量 与 的夹角．若 ，
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．2．（2023·河南·校联考模拟预测）向量 的夹角为 ，定义运算“ ”： ，若
，则 的值为 .
3（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量 ， 的夹角为 ，定义运算
.下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．设在 中， ， ，则
D． （ 为任意非零向量）
考点十 平面向量与其他知识综合
【例 10-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知 ， ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例10-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数 在复平面内对应的点是A，其共轭复数
在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式】
1（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 和数列 满足，若 分别为数列 的前
项和，则 （ ）
A． B． C． D．0
2．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O为坐标原点，点 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D． .
3．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的
中点，若AD=1，则 的最大值为______．
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．64．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量 ，且 ，则
（ ）
A．1 B．5 C． D．
7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量 的夹角为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知 是相互垂直的单位向量.若向量 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．11．（2023·福建龙岩·统考二模）已知向量 ， ， ， ，若 ，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·海南·海南中学校考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒
洛三角形中，已知 ，P为弧AC上的一点，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形 的边长为2，点 ， ， 分别是边 ， ，
的中点，点 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．48
14．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ，则下列命题不正确的是
（ ）A． B．若 ，则
C．存在唯一的 使得 D． 的最大值为
15．（2023·浙江·模拟预测）在 中， 是 上靠近 的四等分点， 与 交于点 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知在三角形ABC中， ， ， ，点M，N分别为边
AB，AC上的动点， ， ，其中x， ， ，点P，Q分别为MN，BC的中点，
则 取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，动点P满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且
，连接 交于 点，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
19．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）在 中，点D在边BC上，且 ，
，记 中点分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·福建·校联考模拟预测）设向量 与单位向量 满足，对任意 都有 ，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
22．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在 中，已知 ， ， ，若
，且 ， ，则 在 上的投影向量为 （ 为与 同向的单位向
量），则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1， ，G是菱形ABCD内一点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
24．（2023·河南郑州·校联考二模）在 中， ， ， ， 是 的外接圆上的
一点，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是 ABC所在平面上一定点，H，N，Q
△
在 ABC所在平面内，动点P满足 ， ，则直线AP一定经过 的
△
____心，点H满足 ，则H是 的____心，点N满足 ，则N是
的____心，点Q满足 ，则Q是 的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
26．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则点
是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
27．（2023·河南开封·统考三模）已知 、 为单位向量， ，非零向量 满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·陕西渭南·统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．
如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径 ，小圆半径，点 在大圆上，过点 作小圆的切线，切点分别是 ， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 和数列 满足
，若 分别为数列 的前
项和，则 （ ）
A． B． C． D．0
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知定点 在边长为1的正方形 外，且 ，对正方形
上任意点 ，都有 的面积 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
31．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
32．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点
P．已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点 ，逆时针
旋转 ， 后分别得到点 ， 则（ ）
A． B．
C． D．点 的坐标为
33．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）（多选）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针
方向旋转 角得到向量 ，叫做把点 绕点A沿逆时针方向旋转 角得到
点 .已知平面内点 ，点 ， ， ，点 绕点A沿逆时针方向旋转 角
得到点 ，则（ ）
A． B．
C． 的坐标为 D． 的坐标为
34．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于
A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
35．（2023·广东潮州·统考二模）设向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）A． B． C． D． 在 上的投影向量为
36．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知向量 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 为锐角，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则
D． 的最小值为1，最大值为3
37．（2023·海南·统考模拟预测）已知向量 ， ，则下列说法正确的是
（ ）．
A．若 ，则 B． 的取值范围为
C．满足 的 的值有2个 D．存在 ，使得
38．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点 ， 分别是 的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ， ，则 的取值范围为
D．若 ，则
39．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，
是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形 中， 为 中点，
分别为线段 的两个三等分点，点 为线段 上任意一点，若 ，则 的值可
能是（ ）
A．1 B． C． D．3
三、填空题
41．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
42．（2022·全国·统考高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则．
43．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）在平行四边形 中， 为 的重心，
，则 ．
44．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图,在平行四边形 中,点E是CD的中
点,点F为线段BD上的一个三等分点,且 ,若 ,则 .
45．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何
问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角
形的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
:当三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为
费马点.已知 分别是 三个内角 的对边，且 ，若点 为 的费马点，
则 .
46．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在 中，点 是 的中点，点 在 上，
且 ， ，则 .
47．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在 中，点 是边 上一点且 ， 是边
的中点，直线 和直线 交于点 ，若 是 的平分线，则 .48．（2023·上海·统考模拟预测）设向量 ， ，记 ，若圆
上的任意三点 ， ， ，且 ，则 的最大值是
.
49．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义
，若平面向量 、 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合
中，则
50．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则
的最小值是 ．
