文档内容
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 导学案
学习目标
1 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．
重点难点突破
一、利用二次函数解决实际问题的步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的函数解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
二、利用二次函数解决面积最值的方法：
①找好自变量；
②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
三、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
复习巩固
[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别
是多少？
1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10
新知探究【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的
关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【问题】如何求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最小(大)值？
[小结]一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a≠0) 的顶点是最低(高) 点，
当x= ________时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值y= _______________ .
[问题]一名男生推铅球，铅球的行进高度 y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为
1 2 5
y=− x2+ x+ ，铅球行进路线如图．
12 3 3
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．
[问题]简述利用二次函数解决实际问题的步骤？
典例分析
典例1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平
距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地
面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）1
A．此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
5
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m
【针对训练】
1 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是
3
抛物线y=－ x2+3x+1的一部分，如图所示．
5
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请
说明理由．
2．（2020山西中考）竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式
表示，其中 是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度．某人将
h=−5t2+v t+h h (m) v (m/s)
0 0 0 0
一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为
（ ）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
3 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列
结论：
①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5 ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
5
4．（2020贺州市中考）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中
3
1
运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=− x2+bx+c，当铅球运行至与出手高
12
度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的
高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，
达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则
下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
新知探究
【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时，
场地的面积S最大，最大面积是多少？
【问题】李明准备进行如下操作实验，把一根长 40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正
方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【问题】简述利用二次函数解决面积最值的方法？
典例分析
典例2 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的
宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
【针对训练】
1 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形，S的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
2 用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的
长，宽应分别是多少？
3．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，
其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
直击中考
1．（2023·浙江温州真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛
物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O
为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
2．（2022·甘肃兰州真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生
投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2
5
所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
3．（2023·山东真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够
长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为 A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购
篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25
元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
课堂小结
1.如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
【参考答案】
复习巩固
[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别
是多少？
1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10
新知探究
【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的
关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？当
b 30
解：t=－ =－ =3时，
2a 2×（−5）
4ac−b2 −302
h有最大值 = =45。
4a 4×（−5）
也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m。
【问题】如何求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最小(大)值？
y= ax2+bx+c = a ( x2+ b x+ c)= a ( x2+ b x+ b2 − b2 + c)
a a a 4a2 4a2 a= a ( x2+ b x+ b2 − b2 + 4ac)= a ( x+ b ) 2 + 4ac−b2
a 4a2 4a2 4a2 2a 4a
[小结]一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a≠0) 的顶点是最低(高) 点，
b 4ac−b2
当x=－ 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值y= .
2a 4a
[问题]一名男生推铅球，铅球的行进高度 y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为
1 2 5
y=− x2+ x+ ，铅球行进路线如图．
12 3 3
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．
1 2 5 5
解：（1）把x=0代入y=− x2+ x+ 得：y= ；
12 3 3 3
5
答：出手点离地面的高度 米
3
1 2 5
（2）− x2+ x+ =0，解得x =10,x =−2(舍去)
12 3 3 1 2
∴铅球推出的水平距离为10米
1 2 5
（3）把y=4代入，得− x2+ x+ =4， 化简得x2−8x+28=0，方程无解，
12 3 3
∴铅球的行进高度不能达到4米．
[问题]简述利用二次函数解决实际问题的步骤？
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的函数解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
典例分析
典例1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m处起跳投篮，球沿一条抛物
线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框
内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列
说法正确的是（ A ）1
A．此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
5
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m
【针对训练】
1 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是
3
抛物线y=－ x2+3x+1的一部分，如图所示．
5
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请
说明理由．
解：(1)y=－ 3x2+3x+1= － 3( 5) 2 +19
x−
5 5 2 4
3 19
∵－ ＜0，∴函数的最大值是 ．
5 4
19
答：演员弹跳的最大高度是 米．
4
3
(2)当x=4时，y=－ ×42+3×4+1=3.4，
5
所以这次表演成功．
2．（2020山西中考）竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式
表示，其中 是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度．某人将
h=−5t2+v t+h h (m) v (m/s)
0 0 0 0
一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ C ）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
3 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列
结论：
①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5 ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
其中正确结论的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5
4．（2020贺州市中考）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中
3
1
运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=− x2+bx+c，当铅球运行至与出手高
12
度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为____ 10____米．
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的
高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，
达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则
下列判断正确的是（ C ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
新知探究
【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时，
场地的面积S最大，最大面积是多少？
解：根据题意列方程：S=x(30－x)
整理后得：S=−x2+30x(02.44，∴球不能射进球门；
3
1
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−m) 2+3，
12
1
把点（0，2.25）代入得2.25=− (−2−m) 2+3，
12
解得m =−5（舍去），m =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
2．（2022·甘肃兰州真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生
投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2
5
所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平
距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设 ，
y=a(x−3) 2+3
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5 4
∴ =a(0−3) 2+3解得∶a=−
3 27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，
27 9 3
4 8 5
当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3
15 3
∴4x2−24x−45=0，解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．
2
3．（2023·山东真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够
长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为 A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购
篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25
元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
120−x
【详解】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，
3120−x 1 1
∴y=x× =− x2+40x=− (x−60) 2+1200，
3 3 3
∴当x=60时，y有最大值是1200，
120−x
此时，宽为 =20（米）
3
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，
则种植芍药的面积为(1200−a)平方米，
由题意可得25×2a+15×2(1200−a)≤50000
解得：a≤700，
即牡丹最多种植700平方米，700×2=1400（株），
