文档内容
22.3 二次函数的实际应用
【考点1 运动类（1）落地模型】
【考点2 运动类（2）最值模型】
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【考点5面积类】
【考点6拱桥类】
考点1 ：运动类
（1）落地模型
（2）最值模型
【考点1 运动类（1）落地模型】
【典例1】掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实
心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为 ，如图2所示．掷出时，
测得起点处高度 ，竖直高度 ，水平距离 ．根据某市初中毕业升
学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 时，即
可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【答案】该男生在此项考试中能得满分
【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键；
设y关于x的函数表达式为 ，先求出函数表达式，再令 ，且 ，解
方程求解即可．
【详解】解：该男生在此项考试中能得满分．
设y关于x的函数表达式为 ，
把 代入解析式得： ，解得： ，
∴y关于x的函数表达式为 ，
令 ，则 ，解得： ，
∵实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 时，即可得满分，
∴该男生在此项考试中能得满分．
【变式1-1】如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高 与投掷距离 之
间的函数关系满足 ，则该同学掷实心球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】当铅球落地时，高度 ，代入 ，求值即可，本题考查了二
次函数在实际问题中的应用，解题的关键是：函数取值与实际问题之间的关系．
【详解】当 时， ，
解得： （舍）， ，
该同学掷实心球的成绩是 ，
故选： ．
【变式1-2】足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地
挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．
摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门 米的点 处起脚吊射，假如
球飞行的线是一条抛物线，在离球门 米时，足球达到最大高度 米，以点为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是 米，在球门前方距离球
门线 米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？
请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)能，见解析．
【分析】（ ）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；
（ ）求出当 时的函数值，即可得出结论；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题意，灵活运用
所学知识求解是解题的关键．
【详解】（1）由题意可得，足球距离点 为 米时，足球达到最大高度 米，设抛物线解析式为： ，
把 代入解析式得： ，
解得： ，
故抛物线解析式为： ；
（2）由（ ）知抛物线的解析式为 ，
∵守门员在球门前方距离球门线1米处，
∴ （米 ，
当 时， ，
∵ ，
∴葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射．
【变式1-3】九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心
球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最
高点时，运行高度为 米，水平距离为4米．
(1)试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式；
(2)设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，
求某同学的成绩；
(3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此
时满足条件的实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式．（实心球运
行到最高点时，水平距离范围 ）
【答案】(1)(2)10米
(3) （答案不唯一）
【分析】（1）设抛物线解析式为 ，将 代入求出 即可；
（2）将 代入求解即可；
（3）在出手高度不变的情况下，设新的抛物线解析式为 ，将 分
别代入得到 ，然后根据水平距离取值作答即可．
【详解】（1）由题意知，点A坐标 ，抛物线最高点坐标
设抛物线解析式为 ，将 代入，得
，解得 ，
实心球运行高度y与水平距离x之间的函数表达式：
；
（2）将 代入，得
解得 (不符合题意，舍去)
∴ 米，
即某同学原地掷实心球的成绩为10米；
（3）在出手高度不变的情况下，设新的抛物线解析式为 ，将 分
别代入，得
，
情况1：设抛物线在最高点时，水平距离为5米，即 ，
∴ ，代入 ，得 ，
∴ ，
此时方程为 ；
情况2：设抛物线在最高点时，水平距离为 米，即 ，
∴ ，
代入 ，得 ，
∴ ，
此时方程为 ．
答案不唯一．学生的取值在 范围内的均可．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【考点2 运动类（2）最值模型】
【典例2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网
红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度 （米）与
水平距离 （米）接近于抛物线 ，烟花可以达到的最大高度是
米．
【答案】12
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性质即可获得答案．
【详解】解：∵ ，又∵ ，
∴当 （米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米．
故答案为：12．
【变式2-1】一种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ．若
这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
【答案】8
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：由题意可得： ，
∵ ，
∴此二次函数图象开口向下．
∴当 时，升到最高点．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2-2】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与
前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公
路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 与时间 的函数关系式为 ，当遇到
紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 才能停下．
【答案】16
【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，
熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路
程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：依题意，该函数关系式化简为 ，
当 时，汽车停下来，滑行了16米，
汽车最远要滑行16米才能停下，
故答案为：16．
【变式2-3】 月 日晚 时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这
边独好”—— 南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国 岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高 与飞行时间 的关系式是 ，若这种礼炮在点火升空
到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．
【答案】 /4秒
【分析】把二次函数 写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，
则顶点的横坐标即为所求．
【详解】∵ ，
∵ ，
∴当 时，函数有最大值，为 ，
∴.这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
考点2 ：经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=利润率×成本
利润=收入-成本； 总利润=单件利润×销量 ；
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【典例3】为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作
社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，
规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之
间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元．(1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；
(2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩
余利润是800元，求该农产品的售价；
(3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，
最大利润是多少元．
【答案】(1) ，
(2)该食品的售价为30元/千克
(3)售价为35元时，每天获取的利润最大，最大利润为1350元
【分析】本题考查一次函数、二次函数、一元二次方程的实际应用：
（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据 求W与x之间的函数解
析式；
（2）每天利润为 元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可；
（3）先求出售价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据函数的增
减性求最值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为： ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
y与x的函数关系式为： ；即 ；
（2）解：由题意得， ，
整理得， ，
解得 ， ，
，
，
答：该农产品的售价为30元/千克；
（3）解： ，
解得 ，
，
，
，
开口向下，
对称轴为 ，
在 时，W随x的增大而增大，
时， （元），
答：售价为35元时，每天获利最大为1350元．
【变式3-1】一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店
每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；
若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套
餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成
本-每天固定支出）
(1)当 时， ；当 时， ；
(2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？
【答案】(1)
(2)该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元【分析】本题考查的是二次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关
键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
（1）当 时，根据若每份售价不超过10元，每天可销售400份”，列关系式即可；
当 时，根据“若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份”，列
关系式即可；
（2）把 代入（1）中的函数关系式．
【详解】（1）解：由题意得：当 时， ；
当 时， ．
即 ．
故答案为： ；
（2）当 时， ，
当 时， ，解得： （舍去），
由（1）知， ，
当 时， ，
解得： ，
答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元．
【变式3-2】某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经
市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元
时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克．
(1)求y月x之间的函数表达式；
(2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并
求当售价为多少时，利润为1600元．
【答案】(1) ；
(2) ，售价为50元或70元．【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数与一元二次方程的应用：
（1）设 ，把 ， ； ， 代入求解即可；
（2）利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，再令函数值为1600并求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， ； ， 代入，得 ，
解得
∴y与x之间的函数表达式为： ；
（2）解：由题意得：
，
∴当 时， ，
解得∴ ， ，
经检验， ， 均符合题意．
答：W与x之间的函数表达式为 ；当售价为50元或70元时，利润为
1600元
【变式3-3】牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔
付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送
3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
(2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克
的生产成本 元（不含运费），销售价 元与生产量x千克之间的函数关系式为：， ．
①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量
为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
【答案】(1)甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元；
(2)①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元．
【分析】考查了二元一次方程组的实验应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，
解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
（1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据题意列方程组即可得到结
论；
（2）设生产量x千克时，获得的利润为w元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利
润能180元，列出方程求解即可，②当 时，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，
则 ，
解得 ，
即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元．
（2）解：①由题意得： ，
解得 ，
，
，即当日生产5千克时，盈利为180元．
②当 时，利润 ，
即当 时，利润最大，最大利润为196元，
当 时，利润 ，随 的增大而减小，
即 时， （元），
∵ ，
每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
【变式3-4】张经理到老王的果园里一次性采购一种水果 吨 ，他俩商定，张
经理的采购价 元 吨与采购量 吨之间的关系如下表：
老王发现，他俩商定的 与 之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是 元 吨，
老王在这次买卖中获得的利润为 元．
(1)分别求出 与 ， 与 的函数解析式；
(2)若老王在这次买卖中获得的利润为 元，求张经理采购的水果的数量；
(3)张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；
(2)张经理采购的水果的数量为 或 吨
(3)张经理的采购量为 吨时，老王获得的利润最大，最大利润是 元
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用；
（1）根据题意待定系数法求一次函数解析式即可求解，根据销量乘以价格减去成本，列出
二次函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式，领 ，解一元二次方程，即可求解；
（3）根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设 ，将 ， 代入，得，
解得：∴
依题意，
即
（2）解：依题意，
解得：
答：张经理采购的水果的数量为 或 吨；
（3）解：
∵ ， ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为
答：张经理的采购量为 吨时，老王获得的利润最大，最大利润是 元．
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【典例4】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可
售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，经过销售一段时间发现，
销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．
(1)销售单价是36元时，可获利多少元？
(2)销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)销售单价是36元时，可获利4480元
(2)销售单价定为35元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润是4500元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是关键：
（1）根据利润 单件利润 销售量进行求解即可；
（2）根据题意可以得到利润与定价之间的关系式，利用二次函数的性质可以解答本题．
【详解】（1）由题意可得，销售单价是 元时，可获利：
元 ，
答：销售单价是 元时，可获利 元；
（2）解：设销售单价为 元，利润为 元，，
当 时， 取得最大值，此时 ，
答：销售单价定为 元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润是 元．
【变式4-1】世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月 日至5月5日在成
都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉” 日下午首次公开亮相．某商场销售
该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为 元，如果以单价 元销售，那么每天可以销售
套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应
减少 套．
(1)若商家每天想要获取 元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？
(2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1) 元
(2)销售单价为 元时每天获利最大，最大利润 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟
练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键．
（1）设每套吉祥物的售价为x元，依题意得， ，计算求解，
然后作答即可；
（2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，依题意得， 且 ，可
得 ， ，由 ，根据二次
函数的性质，求解作答即可．
【详解】（1）解：设每套吉祥物的售价为x元，
依题意得， ，
整理得： ，
解得 ， ，
∴为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为 元．
（2）解：设每天销售吉祥物获得的利润为y元，依题意得，∵ 且 ，
解得 ，
，
∵ ，
∴当 ， 最大，最大值为 ，
答：销售单价为 元时每天获利最大，最大利润 元．
【变式4-2】近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为
代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿
有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每
增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间
每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加 元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
(3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)1600元或1800元
(3)当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式即可求
解；
（2）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出方程，即可求解；
（3）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出二次函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为
；
（2）解：根据题意得，
解得： ，
当 时，每个房间的定价为 （元），
当 时，每个房间的定价为 （元），答：定价为1600元或1800元．
（3）解：设利润为 ，则根据题意得，
∵ ，
∴ 有最大值，即当 时， 的最大值为22500元，
即当定价为 元时，利润最大，最大利润为22500元．
【变式4-3】电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销
售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15
元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销
售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（ ）给希望工程，当每天
销售最大利润为6000元时，求m的值．
【答案】(1)
(2)该商品的销售单价为25元
(3)m的值为5
【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价 元，则销量减少 件，由
此可得y与x之间的关系式为 ，整理即可．
（2）根据总利润=每件利润 销售量，可得方程 ，求出方程的
解，再根据题意选择合适的x的值即可．
（3）根据总利润=（售价 进价 m） 销售量，得 ，求出其对
称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当 时， ，由此得，求出m的值即可．
【详解】（1）由题意得： ，
整理得： ．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴ ．
（2）由题意，得： ，
解之得： ， ，
∵ ，
∴ ．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
，
其对称轴为直线为： ．
∵ 在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
当 时， ．
∴ ，
解得 ．
答：m的值为5．
【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利
润问题，根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
考点4 ：面积类【考点5面积类】
【典例5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 的住房墙，另外三边
用 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 宽的门．
(1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 ？
(2)猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？
【答案】(1)所围矩形猪舍的长为 、宽为 时，猪舍面积为
(2)长为 ，宽为 ，面积最大，
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用、矩形的面积公式等知识，找准等量
关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，由矩形
面积公式列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 ，则平行于墙的一边的长为 ，由
矩形面积公式列出二次函数，再由二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为 ，则平行于墙的边长为
，
由题意得： ，整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
所围矩形猪舍的长为 、宽为 ，
答：所围矩形猪舍的长为 、宽为 时，猪舍面积为 ；
（2）解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 ，则平行于墙的一边的长为 ，
面积为
由题意得：
，
∵
∴开口向下，越靠近对称轴的数所对应的函数值越大，
当 ，此时
∴ 不符合题意，则
解得
∴把 代入
得出
即长为 ，宽为 ，面积最大，且为
【变式5-1】某学校为了美化校园环境，打造绿色校园，计划用长为120米的篱笆来围成一
个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篙笆把花园分为A和B两块区域（如图所
示）．(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为_____米；
(2)请设计一个方案，使得花园的面积最大，并求出最大面积．
(3)在花园面积最大的条件下，A和B两块区域分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，
已知牡丹每株的售价为25元，芍药每株的售价为15元，学校计划购买这些植物的费用不
超过5万元，求学校最多能购买多少株牡丹．
【答案】(1) ；
(2)当垂直于墙的一边长为20米时，花园面积最大为1200平方米；
(3)最多可以购买1400株牡丹．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，明确题意、
找出所求问题需要的条件是解题的关键．
（1）直接根据图形列出代数式即可；
（2）设围成的矩形面积为S平方米，再结合（1）可得到S与x的函数关系式，再配成顶
点式求出函数的最大值即可；
（3）设购买牡丹m株，则购买芍药 株，再根据题意列出不等式即
可求得种植牡丹面积的最大值．
【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为 ．
故答案为： ．
（2）解：设围成的矩形面积为S平方米，根据（1）得：
,
∵ ，
∴当 时，S取最大值1200，
∴当垂直于墙的一边长为20米时，花园面积最大为1200平方米．
（3）解：设购买牡丹m株，则购买芍药 株，
∵学校计划购买费用不超过5万元， ，解得 ，
∴最多可以购买1400株牡丹．
【变式5-2】问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形 花坛内种植红、
蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形 内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉． 的长为 ， ．红、蓝、
黄三种花卉的单价分别为 元 ， 元 ， 元 ．
建立模型：
设 的长为 ，购买花卉的总费用为 元．
（ ）用含 的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
（ ）求 与 之间的函数表达式；
方案决策：
（ ）当购买花卉的总费用最少时，求 的长．
【答案】（ ）红色花卉的种植面积为 ，蓝色花卉的种植面积为 ，
黄 色 花 卉 的 种 植 面 积 为 ； （ ） ； （ ）
．
【分析】（ ）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面
积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积 小正方形的面积 红色花卉的种植
面积 黄色花卉的种植面积；
（ ）根据总费用 各种花卉的费用之和列出函数解析式即可；
（ ）根据( )的解析式，由函数的性质求出 取最小值时 的值，然后设 ，由全
等三角形的性质和勾股定理得出 ，解方程求出 的值即可；
本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键．
【详解】解：（ ）∵ ， ，
∴ ，
∵四个阴影部分的三角形全等，∴ ，
∴红色花卉的种植面积为 ，
∵ ，
∴ ，
∴蓝色花卉的种植面积为 ，
∴黄色花卉的种植面积为 ；
（ ）由题意可得，
，
即 ；
（ ）∵ ，
∴当 时， 取最小值，
∴ ， ，
∴ ，
∵四个白色部分的三角形全等，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （不合，舍去），
∴ 的长为 ．
【变式5-3】校艺术节上，甲同学用腰长为 的等腰直角三角形卡纸 裁剪出如图
所示的矩形纸片 ，且矩形的四个顶点都在 的边上．(1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是 纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 是
___________cm；
(2)设 的长度为 ，矩形 的面积为 ，
①求 关于 的函数解析式；
②求矩形 的面积 的最大值．
【答案】(1)
(2)① ②矩形 的面积最大值为
【分析】（1）根据勾股定理求出 长，然后利用等腰直角三角形的性质得到
然后根据矩形纸片周长是 纸片周长的一半列方程求解即可；
（2）①根据 计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵矩形纸片周长是 纸片周长的一半，∴ ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）① ；
② ，
∵
∴当 时， 最大，最大为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图象和性质，
利用配方法计算是解题的关键．
考点4：拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设
出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
【考点6拱桥类】
【典例6】在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某
城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．
隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为 ，双向行驶车道
宽度为 （路面两侧各预留 给非机动车），隧道顶部最高处距路面 ，矩形的高为
．(1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的
高度差至少要有 ．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？
【答案】(1)
(2)通过隧道的车辆应限制高度为
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将 代入解析式，求得 的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）
与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有 ，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m．
∴顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得，
，
解得： ，∴抛物线解析式为 ；
（2）解：依题意，当 时， ，
∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有
．
∴通过隧道的车辆应限制高度为 ，
答：通过隧道的车辆应限制高度为
【变式6-1】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，以O为坐标原点，以
所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求： ，该抛物线的顶点P到
的距离为 ．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装
照明灯．已知点A、B到 的距离均为 ，求A、B两点间的距离．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数
解析式是解题的关键．
（1）设抛物线的函数表达式为 ，将 代入，即可求解．
（2）令 ，解一元二次方程，求得点 ， ，的坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，将 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为： ；
（2）解：令 ，得 ，
解得 ，
， ，
， 两点的距离为 ．
【变式6-2】“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如
图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离
均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上．
(1)求拱桥所在抛物线的解析式；
(2)求支柱 的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否
并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽
车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由．
【答案】(1) ；
(2)支柱 的长度是 米；
(3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二
次函数关系式是关键．
（1）根据题目可知 ． ， 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；
（2）设 点的坐标为 可求出支柱 的长度；
（3）设 是隔离带的宽， 是三辆车的宽度和，作 垂直 交抛物线于 ，求出
则可求解．
【详解】（1）解：根据题目条件， 、 、 的坐标分别是 、 、 ．
将 、 的坐标代入 ，得
解得 ， ．
所以抛物线的表达式是 ；
（2）解：可设 ，于是 ．
从而支柱 的长度是 米；
（3）解：设 是隔离带的宽， 是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则 点坐标是
，
过 点作 垂直 交抛物线于 ，则 ，
根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车．
【变式6-3】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分
构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即 ）．现以点O为原点， 所在直
线为x轴建立平面直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架” ，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面
上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)18米
【分析】本题考查的是二次函数的综合题等知识点，
（1）看图由题意可得出M，P的坐标；
（2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式；
（3）设 ，则 可得支
撑架总长；
解题的关键是在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质
来解．
【详解】（1）由题意得：
；
（2）由顶点 设此函数解析式为： ，
将点 代入得 ，
∴ ；（3）（3）设设 ，则
∴“支撑架”总长
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当 时， 有最大值为18．
1．已知长方形ABCD的周长为120cm，其中一条边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间
的关系式为（ ）
A．y=60x B．y=60x+120 C．y=x2-60x D．y=-x2+60x
【答案】D
【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．此题
主要考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为120cm，其中一边为xcm，
∴120÷2-x=60-x，
∴长方形的另一边长为(60-x)cm，
∴y=(60-x)⋅x=-x2+60x
故选：D．
2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是
s=60t-1.5t2．飞机滑行多长时间才能停下来?（ ）
A．18s B．10s C．20s D．15s
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据
二次函数的性质可得答案．
【详解】解：s=60t-1.5t2=-1.5(t2-40t+400)+1.5×400
=-1.5(t-20) 2+600，
∵-1.5<0，
∴当t=20时，s取最大值，且最大值是600．
即飞机滑行20s才能停下来．
故选：C．
3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，
当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降
价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y=(15-x)(200-5x) B．y=(15-x)(200+5x)
C．y=(x-5)(200+5x) D．y=(10-x)(200+5x)
【答案】D
【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润=销售额-成本”则可列出
y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数
关系式．
【详解】解：由题意得：y=(15-5-x)(200+5x)=(10-x)(200+5x)，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向
点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若
P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，设P、Q同时出发后经过ts，△PBQ的面积为
Scm2，则BQ=2tcm，AP=tcm，BP=AB-AP=(6-t)cm，进而得出S的表达式，将其化为顶
点式，再结合t的取值范围即可得出答案，根据题意列出二次函数是解此题的关键．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过ts，△PBQ的面积为Scm2，
则BQ=2tcm，AP=tcm，BP=AB-AP=(6-t)cm，
1 1
则S= BP⋅BQ= (6-t)⋅2t=-t2+6t=-(t-3) 2+9，
2 2
∵AB=6cm，BC=8cm，点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，
∴04+4❑√2，
7
16 16
∴小亮的投掷距离远，两者相差4+ ❑√7-(4+4❑√2)= ❑√7-4❑√2≈0.39 米 ，
7 7
∴小亮掷的实心球位置会比小明的远，远0.39米.
11．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中
间用平行AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．
(1)设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x(m)，矩形苗圃ABCD面积为y(m2)，求y关于x的
函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2．
【答案】(1)S=-2x2+18x(05，即可得出结论；
2 32 32
（3）设OB=x，则BC=16-2x，根据矩形的性质得出AD=BC=16-2x，
1
AB=DC=- x2+2x，设l=AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，
8
即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，
∴点M(16,0)，顶点P(8,8)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
把点M(16,0)，点P(8,8)代入得：
¿
解得¿
1
∴抛物线的解析式为y=- x2+2x
8
∵OM=16，M(16,0)，
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
9 1 (9) 2 9 207
（2）解：当x=8-2.5-1= 时，y=- × +2× = >5，
2 8 2 2 32
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）解：设OB=x，则BC=16-2x，
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AD=BC=16-2x，AB=DC=- x2+2x
8
1
设l=AB+AD+DC，则l=- x2+4x+16-2x
4
1
∴l=- x2+2x+16
4
1
∵- <0，
4
b 4ac-b2
∴当x=- =4时，l有最大值为 =20．
2a 4a
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．
