文档内容
22.3 二次函数的实际应用
【考点1 运动类（1）落地模型】
【考点2 运动类（2）最值模型】
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【考点5面积类】
【考点6拱桥类】
考点1 ：运动类
（1）落地模型
（2）最值模型
【考点1 运动类（1）落地模型】
【典例1】掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实
心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为 ，如图2所示．掷出时，
测得起点处高度 ，竖直高度 ，水平距离 ．根据某市初中毕业升
学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 时，即
可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式1-1】如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高 与投掷距离 之
间的函数关系满足 ，则该同学掷实心球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地
挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．
摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门 米的点 处起脚吊射，假如
球飞行的线是一条抛物线，在离球门 米时，足球达到最大高度 米，以点为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是 米，在球门前方距离球
门线 米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？
请说明理由．【变式1-3】九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心
球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最
高点时，运行高度为 米，水平距离为4米．
(1)试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式；
(2)设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，
求某同学的成绩；
(3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此
时满足条件的实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式．（实心球运
行到最高点时，水平距离范围 ）
【考点2 运动类（2）最值模型】
【典例2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网
红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度 （米）与
水平距离 （米）接近于抛物线 ，烟花可以达到的最大高度是
米．
【变式2-1】一种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ．若
这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．【变式2-2】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与
前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公
路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 与时间 的函数关系式为 ，当遇到
紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 才能停下．
【变式2-3】 月 日晚 时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这
边独好”—— 南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国 岁生日．其中，一种新型
礼炮的升空高 与飞行时间 的关系式是 ，若这种礼炮在点火升空
到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．
考点2 ：经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 总利润=单件利润×销量 ；
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【典例3】为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作
社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，
规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之
间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；
(2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩
余利润是800元，求该农产品的售价；(3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，
最大利润是多少元．
【变式3-1】一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店
每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；
若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套
餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成
本-每天固定支出）
(1)当 时， ；当 时， ；
(2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？
【变式3-2】某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经
市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元
时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克．
(1)求y月x之间的函数表达式；
(2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并
求当售价为多少时，利润为1600元．
【变式3-3】牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔
付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送
3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
(2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克
的生产成本 元（不含运费），销售价 元与生产量x千克之间的函数关系式为：， ．
①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量
为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
【变式3-4】张经理到老王的果园里一次性采购一种水果 吨 ，他俩商定，张
经理的采购价 元 吨与采购量 吨之间的关系如下表：
老王发现，他俩商定的 与 之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是 元 吨，
老王在这次买卖中获得的利润为 元．
(1)分别求出 与 ， 与 的函数解析式；
(2)若老王在这次买卖中获得的利润为 元，求张经理采购的水果的数量；
(3)张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【典例4】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可
售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，经过销售一段时间发
现，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．
(1)销售单价是36元时，可获利多少元？
(2)销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？最大利润是多少？
【变式4-1】世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月 日至5月5日在成
都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉” 日下午首次公开亮相．某商场销售
该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为 元，如果以单价 元销售，那么每天可以销售
套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应
减少 套．(1)若商家每天想要获取 元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？
(2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？
【变式4-2】近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为
代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿
有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每
增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间
每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加 元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
(3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【变式4-3】电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销
售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15
元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销
售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（ ）给希望工程，当每天
销售最大利润为6000元时，求m的值．考点4 ：面积类
【考点5面积类】
【典例5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 的住房墙，另外三边
用 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 宽的门．
(1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 ？
(2)猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？
【变式5-1】某学校为了美化校园环境，打造绿色校园，计划用长为120米的篱笆来围成一
个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篙笆把花园分为A和B两块区域（如图所
示）．
(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为_____米；
(2)请设计一个方案，使得花园的面积最大，并求出最大面积．(3)在花园面积最大的条件下，A和B两块区域分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，
已知牡丹每株的售价为25元，芍药每株的售价为15元，学校计划购买这些植物的费用不
超过5万元，求学校最多能购买多少株牡丹．
【变式5-2】问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形 花坛内种植红、
蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形 内
种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉． 的长为 ， ．红、蓝、
黄三种花卉的单价分别为 元 ， 元 ， 元 ．
建立模型：
设 的长为 ，购买花卉的总费用为 元．
（ ）用含 的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
（ ）求 与 之间的函数表达式；
方案决策：
（ ）当购买花卉的总费用最少时，求 的长．
【变式5-3】校艺术节上，甲同学用腰长为 的等腰直角三角形卡纸 裁剪出如图
所示的矩形纸片 ，且矩形的四个顶点都在 的边上．
(1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是 纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 是
___________cm；(2)设 的长度为 ，矩形 的面积为 ，
①求 关于 的函数解析式；
②求矩形 的面积 的最大值．
考点4：拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设
出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
【考点6拱桥类】
【典例6】在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某
城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．
隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为 ，双向行驶车道
宽度为 （路面两侧各预留 给非机动车），隧道顶部最高处距路面 ，矩形的高为
．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的
高度差至少要有 ．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？
【变式6-1】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，以O为坐标原点，以
所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求： ，该抛物线的顶点P到
的距离为 ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装
照明灯．已知点A、B到 的距离均为 ，求A、B两点间的距离．
【变式6-2】“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如
图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离
均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上．
(1)求拱桥所在抛物线的解析式；
(2)求支柱 的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否
并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽
车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由．
【变式6-3】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分
构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即 ）．现以点O为原点， 所在直
线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架” ，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面
上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
1．已知长方形ABCD的周长为120cm，其中一条边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间
的关系式为（ ）
A．y=60x B．y=60x+120 C．y=x2−60x D．y=−x2+60x
2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是
s=60t−1.5t2．飞机滑行多长时间才能停下来?（ ）
A．18s B．10s C．20s D．15s
3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，
当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降
价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y=(15−x)(200−5x) B．y=(15−x)(200+5x)
C．y=(x−5)(200+5x) D．y=(10−x)(200+5x)
4．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向
点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若
P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm25．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水
面宽度增加（ ）m．
A．3❑√2+4 B．2❑√5−4 C．2❑√5+4 D．3❑√2−4
6．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为 和 ，其中
y =−x2+23x y =4x
1 2
x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为
．
7．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距
离”．某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间的函数关系式是s=0.01x+0.002x2，若该
车以100km/h的速度行驶，则该车的刹车距离为 ．
8．小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，
如图为杯子的设计稿，杯口宽AB=4❑√2cm，杯柄高DE=7cm，当葡萄酒液面宽FG=2cm
时，液面与杯口的距离CH=14cm，则杯子的高CE为 cm．
9．材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其
中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看
作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、
运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）
与生产量x（个）的关系式为：C=100x+15660
(1)求该工艺品的固定成本和可变成本．
(2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量y（个）与销量单价x（元/个）之间
的对应关系如下图所示：①销量y与销量单价x之间的函数关系式．
②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少?
10．为准备2024年中考体育加试，小明和小亮周日下午去训练场进行实心球的练习，实心
球的飞行路线可近似看作二次函数图象的一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的
路线，如图建立平面直角坐标系，小明的出手点为(0,2)，A点为实心球飞行轨迹的最高点.
(1)求小明投掷实心球的飞行路线的解析式；
(2)请计算小明的投掷距离；
(3)小亮的出手点为(0,2.25)，且飞行路线的最高点仍为A点，问小明和小亮谁的投掷距离
远，远多少？（精确到0.01m.参考数据：❑√2≈1.414，❑√7≈2.646）
11．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中
间用平行AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．(1)设矩形苗圃 的一边 的长为 ，矩形苗圃 面积为 ，求 关于 的
ABCD AB x(m) ABCD y(m2) y x
函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2．
12．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽
度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并
行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点
B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆
AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
