文档内容
冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题一 数列（学生版）
第一部——高考真题练
1．（2021·全国·统考高考真题）设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
第二部——基础模拟题
2．（2023·河北张家口·统考三模）已知 是数列 的前 项和， ，则下列递推关系中能使 存在
最大值的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Leonardo Fibonacci）在研究
兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数
都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数
列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 ，因此又称
“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论正确的有（ ）A． B．
C． D．
4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造
新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出
新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列 ；第2次得到数列 ；第 次得
到数列 记 ，数列 的前 项为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则数列 是等比数列
D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列
6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，
8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆
心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个
数列.斐波那契数列 的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）A． B．
C． D．
7．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中，已知其前 项和为
，且 等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列 的前 项和为 ，则
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中
提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐
项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列
2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 ､其前7项分别为
5，9，17，27，37，45，49，设通项公式 .则下列结论中正确的是（ ）（参考公式： ）
A．数列 为二阶等差数列
B．数列 的前11项和最大
C．
D．
9．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且满足
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的前n项和为
B．数列 的通项公式为
C．数列 不是递增数列
D．数列 为递增数列
10．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
（ ， 为常数），则下列结论正确的有（ ）
A． 一定是等比数列 B．当 时，
C．当 时， D．
11．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，B为坐标原点，点P在圆 上，若对于 ，存在数列 ， ，使得 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 为公差为2的等差数列 B． 为公比为 的等比数列
C． D． 前n项和
12．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 为 的前 项和．则下列说
法正确的是（ ）
A． 取最大值时， B．当 取最小值时，
C．当 取最大值时， D． 的最大值为
13．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）定义：若数列 满足，存在实数M，对任意 ，都
有 ，则称M是数列 的一个上界．现已知 为正项递增数列， ，下列说法正确
的是（ ）
A．若 有上界，则 一定存在最小的上界
B．若 有上界，则 可能不存在最小的上界
C．若 无上界，则对于任意的 ，均存在 ，使得
D．若 无上界，则存在 ，当 时，恒有
14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如 如
何表示成两个整数的比值呢？ 代表了等比数列 的无限项求和，可通过计算该数列的前 项的和，再令 获得答案.此时 ，当 时， ，即可得 .
则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 为无限循环小数
C． 为有限小数
D．数列 的无限项求和是有限小数
15．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图
案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，
G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法
一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为 ，后续各正方形边长依次为 ， ，…，
，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， ，…，
，…．则（ ）
A．数列 是以4为首项， 为公比的等比数列
B．从正方形 开始，连续 个正方形的面积之和为32
C．使得不等式 成立的 的最大值为3D．数列 的前 项和
16．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）在数列 中， （ ， 为非零常数），
则称 为“等方差数列”， 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等差数列，又是等方差数列
17．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若数列 和 均为等差数列，
且 ，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，
则（ ）
A． B．当 时， 最小
C．当 时， 最小 D．存在 ，使得
19．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，
，且 ，则（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D．若 ，则
20．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知集合 ，
，集合 ，将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列 ， 为数
列 的前n项和，则（ ）
A．
B． 或2
C．
D．若存在 使 ，则n的最小值为26
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 的定义域均为
.若 时 ，且 时 ，
则（ ）
A． B．函数 的图像关于点 对称
C． D．
23．（2023·全国·模拟预测）已知数列1，1，2，3，5，8，…被称为“斐波那契数列”该数列是以兔子繁
殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”，斐波那契数列 满足 ， ，
则下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
24．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，记数列
的前 项和为 ，若存在正整数 ， ，使得 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为
C． 取最小值时
D．设 ，则
26．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知首项为 ，公比为 的等比数列 ，其前 项
和为 ， ，且 ， ， 成等差数列，记 ， ，则（ ）
A．公比
B．若 是递减数列，则C．若 不单调，则 的最大项为
D．若 不单调，则 的最小项为
27．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有
封不同的信，投入 个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 例如两
封信都投错有 种方法，三封信都投错有 种方法，通过推理可得： .高等
数学给出了泰勒公式： ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 为等比数列
C．
D．信封均被投错的概率大于
28．（2023·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和．下面几个条件中，能推出 是等差数列的为
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
29．（2023·山东威海·统考二模）已知数列 的首项 ，前n项和为 ．设 与k是常数，若对任意
，均有 成立，则称此数列为“ ”数列．若数列 是“ ”数列，且
，则（ ）
A． B． 为等比数列C． 的前n项和为 D． 为等差数列
30．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列 为正项等差数列且其前n项和为 ，若 ，则
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·湖南岳阳·统考三模）设数列 的前n项和为 ，且
，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列 单调递减
C．当 时， 取得最小值 D． 时，n的最小值为7
32．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
33．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且有 ，则下列
结论正确的是（ ）．
A． B．数列 为等差数列
C． D．
34．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）设a， ，数列 满足 ， ，，则下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
35．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等比数列
36．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知 为等差数列，前n项和为 ， ，公差 ，
则（ ）．
A．
B．
C．当 或6时， 取得最大值为30
D．数列 与数列 共有671项互为相反数
37．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题
时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第
三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，
现将 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 ，数列 的前n项和为 ，数列
的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．C．若 ，则 D．
38．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 ，如果 是奇
数㩆乘以3再加1，如果 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参
照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 ，各项均为正整数的数列 满足 ，
则（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 为奇数时，
D．当 为偶数时， 是递增数列
39．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，等差数列 的前n
项和为 ，且 ， ，若 恒成立，则实数λ的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
40．（2023·安徽淮北·统考二模）已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手
抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99
站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为 ，
（ ）
A． B．
C． D．第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，
这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列 、 进行“美好成长”，第一次得到数列 、 、 ；
第二次得到数列 、 、 、 、 ； ；设第 次“美好成长”后得到的数列为 、 、 、 、 、 ，
并记 ，则（ ）
A． B．
C． D．数列 的前 项和为
42．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在 上的函数 ，其导函数分别为
，若 ， ，则（ ）
A． 是奇函数
B． 关于 对称
C． 周期为4
D．
43．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）已知数列 ，如果存在常数 ，对于任意给定的正数
（无论多小），总存在正整数 ，使得 时，恒有 成立，就称数列 收敛于 （极限为
），即数列 为收敛数列.下列结论正确的是（ ）A．数列 是一个收敛数列
B．若数列 为收敛数列，则 ，使得 ，都有
C．若数列 和 为收敛数列，而数列 一定为收敛数列
D．若数列 和 为收敛数列，则数列 不一定为收敛数列
44．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，则（ ）
A．
B．当 时，
C．当 时， 为等差数列
D．当数列 单调递增时， 的取值范围是
45．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）定义在 的函数 满足 ，且
， 都有 ，若方程 的解构成单调递增
数列 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若数列 为等差数列，则公差为6
C．若 ，则
D．若 ，则46．（2023·山东日照·三模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，则（ ）
A．
B．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是
C．若方程 恰有三个实数根，则 的取值范围是
D．函数 在区间 上的最大值为 ，若存在 ，使得 成立，则
47．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）若 为函数 的导函数，数列 满足
，则称 为“牛顿数列”.已知函数 ，数列 为“牛顿数列”，其中
，则（ ）
A．
B．数列 是单调递减数列
C．
D．关于 的不等式 的解有无限个
48．（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则（ ）A．存在公差为1的等差数列 ，使得
B．存在公比为2的等比数列 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则
49．（2023·江苏苏州·校联考三模）若数列 满足：对任意的 ，总存在 ，使
，则称 是“ 数列”.则下列数列是“ 数列”的有（ ）
A． B．
C． D．
50．（2023·全国·模拟预测）数列 满足 ， ， 表示 落在区间
的项数，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
51．（2023·广东广州·统考三模）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ．若
， ，且 为奇函数，则（ ）．
A． ， B．C． D．
52．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）数列 ， ， ，该
数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物
的生长规律，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 为等比数列 D．数列 为等比数列
53．（2023·广东茂名·统考二模）已知数列 和 满足： ， ， ，
， ，则下列结论错误的是（ ）
A．数列 是公比为 的等比数列 B．仅有有限项使得
C．数列 是递增数列 D．数列 是递减数列
54．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数 定义域为 ，满足 ，当
时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为
，（其中 表示不超过 的最大整数），则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
55．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知等比数列 首项 ，公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的n的最大值为6
56．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“ ”表示不大于x的最大整数，例如： ，
， ．下列关于 的性质的叙述中，正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若数列 中， ， ，则
D． 被3除余数为0
57．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知正项数列 满足 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．数列 中的最小项为
B．当 时，
C．当 时，D．对任意 且
58．（2022·海南·校联考模拟预测）对于无穷数列 ，给出如下三个性质：① ；② ，
；③ ， ， ，定义：同时满足性质①和②的数列 为“s数列”，同时
满足性质①和③的数列 为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为“s数列”
B．若 ，则 为“t数列”
C．若 为“s数列”，则 为“t数列”
D．若等比数列 为“t数列”，则 为“s数列”
59．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知数列 为公差为 的等差数列， 为公比为 的
正项等比数列.记 ， ， ， ，则（ ）
参考公式：
A．当 时， B．当 时，
C． D．
60．（2023·全国·校联考模拟预测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测
并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能
性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这
种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相
格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间
是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性
的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦
妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 （ ，2，…n） ，定义X的信
息熵 ，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若 ，则 与 正相关
C．若 ， ，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 （j=1,2,…,m）则
