文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【考点1 二次函数与x轴交点问题】
【考点2 图象法确定一元二次方程的根】
【考点3已知函数值y求X的取值范围】
【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】
【考点5二次函数综合】
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0
有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.．
【考点1 二次函数与x轴交点问题】
【典例1】函数 与x轴的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴．根
据二次函数解析式求得对称轴，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】解：由二次函数的表达式知，其对称轴是直线 ，
则抛物线与 轴的两个交点坐标关于直线 对称，
其中一个交点的坐标为 ，另一个交点的坐标为 ，
故选∶D．
【变式1-1】如图是二次函数 图象的一部分，它的对称轴是直线 ，
与x轴的一个交点为 ，则与x轴的另一个交点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．
直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线 ，与x轴的一个交点是 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点是： ．
故选：D．
【变式1-2】如图，抛物线的对称轴是直线 ，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是
，则A点的坐标是 ．
【答案】【分析】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， 根据抛物线的对称性，可得出点A、B关于直
线 对称，由点B的坐标得出点A的坐标．
【详解】解：∵B点的坐标是 ，抛物线的对称轴是 ，
∴点B到直线 的距离为2
∴点A到直线 的距离也为2，
∴A点的坐标是 ．
故答案为： ．
【变式1-3】若二次函数 的图象与 轴交于 , 两点，则点 的坐
标是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛
物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵二次函数为 ，
∴二次函数的对称轴直线为 ，
∵ ， 关于对称轴直线为 对称，
∴
故答案为：
考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.
【考点2 图象法确定一元二次方程的根】
【典例2】下表给出了二次函数 的自变量x与函数值y的部分对应值：x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各选项中可能是方程 的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定抛物线与x轴的
交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的
根一般是近似的)．
【详解】解：由表可知当 时， ，
当 时， ，
∴抛物线 与x轴的一个交点在点 与 之间，更靠近点 ，
∴方程 的一个根的近似值约为 ，
故选：B．
【变式2-1】下表给出了二次函数 的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 0.14 0.62 …
那么关于x的方程 的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
【答案】C
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的
交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的
根一般是近似的)．
【详解】解：由表可知当 时， ，
当 时， ，抛物线， 与x轴的一个交点在点 与 之间，更靠近点 ，
方程 的一个根的近似值约为 ，
故选：C．
【变式2-2】根据下列表格中二次函数 的自变量 与函数值 的对应
值，可以判断关于 的方程 的一个解 的范围是（ ）
0 1 2
7 2
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 由正变为负
时，自变量的取值即可．利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当 时， ；当 时， ，
∴方程 的一个解 的范围是 ．
故选：B．
【变式2-3】已知二次函数 ，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程 的一个近似根是 （精确到 ）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然
后由图象解答，注意数形结合的思想方法．
【详解】解∶由 可得：
，
当 时， ，当 时， ，
故 的一个近似根 ，
距离x轴更近，
的一个近似根是 ，
的另一个近似根是
故答案为： 或
考点3： 抛物线与不等式的关系
二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：
【考点3已知函数值y求X的取值范围】
【典例3】已知函数 的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得 时，
的取值范围是（ ）A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】令y=1，求解出x的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x均符合题意要求.
【详解】解：令y=1，则 ，解得x=-1或3，则由图象可知当 时，可使
得 ，故选择C.
【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.
【变式3-1】二次函数 的部分图象如图所示，当函数值 时，x的取值范
围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】先根据二次函数图象的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，
再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为
，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴由函数图象可知，当 或 时， ，故选D．
【点睛】本题主要考查了图象法求不等式的解集，二次函数的对称性，正确求出二次函数
与x轴的另一个交点坐标为 是解题的关键．
【变式3-2】如图，已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，对称轴为
直线 ，若函数值大于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合
二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式3-3】已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先求出当 时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当 时，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴图象开口向上，
∵ ，
∴ 或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求
解的方法是关键．
【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】
【典例4】如图，一次函数 和二次函数 的图象交于点 和点B，
则 的解集是（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系．先求得a和b的值，联立求得点B的坐
标，然后观察函数图象即可求解．
【详解】
解：由题意可得 和 ，
解得 和 ，∴一次函数和二次函数的解析式分别为 和 ，
联立得 ，解得 或 ，
当 时， ，
∴ ，
观察图象可得，当 时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方，
∴不等式 的解集为 ，
故选：D．
【变式4-1】如图是二次函数 的图象，使 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先找出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0），
∴ 时，x的取值范围为 ．
故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据
图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
【变式4-2】如图，二次函数 的图象与一次函数 的
图象相交于 两点，已知点 横坐标为 ， ，当 时，
的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】过点 作 轴， 轴，则 ，证明 ，
求出点 的横坐标即可．
【详解】解：过点 作 轴， 轴，则 ，
，
，
，
点 横坐标为 ，即 ，，
，即 的取值范围是： 或 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌
握各知识点是解决本题的关键．
【变式4-3】已知一次函数 和二次函数 部分自变量
和相应的函数值如表，当 时，自变量 的取值范围是( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1y ,从而得到当
1 2
y >y 时，自变量x的取值范围.
2 1
【详解】∵当x=0时,y =y =0;当x=4时,y =y =5；
1 2 1 2
∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，
而−1y ，
1 2
∴当y >y 时，自变量x的取值范围是x<−1或x>4.
2 1
故选D.
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.
【考点5二次函数综合】
【典例5】如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点．直线 与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点P的
坐标及该面积的最大值；
(3)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当 面积最大时点P的坐标为 及该面积的最大值为 ；
(3)存在， 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点P作 于H，交直线 于F，直线过点D作 于G，设直线 的解
析式为 ，解方程组得到直线 的解析式为 ，设 ，则
，求得 ，设 面积 ，根据二次函数
的性质即可得到结论；
（3）利用勾股定理得 ，①当 ， 在点C的上方时，②当 ， 在点C的下方时，③当 时，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 经过点 ， ， ，
，
解得 ，
物线的解析式为 ；
（2）解：如图1，过点P作 于H，交直线 于F，直线过点D作 于G，
设直线 的解析式为 ，
直线 经过 ， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
点P是抛物线上的点且在直线 上方，
设 ，则 ，，
设 面积为 ，
，
，
当 最大值为 时， ，此时 ，
当 面积最大时点P的坐标为 及该面积的最大值为 ；
（3）解：当 时， ，
，
，
①当 ， 在点C的上方时，
，
点 的坐标为 ；
②当 ， 在点C的下方时，
，点 的坐标为 ；
③当 时，
设 ，则 ，
，
点 的坐标为 ；
综上所述，存在点Q，使 是以 为腰的等腰三角形，点Q的坐标为 或
或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数
法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建
二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．
【变式5-1】已知二次函数
(1)如果二次函数的图象与 轴有两个交点，求 的取值范围；
(2)如果二次函数图象经过点 ，与 轴交于点 ，直线 与这个二次函数图象的对
称轴交于点 ，求点 的坐标；(3)在直线 的上方的二次函数的图象上找一点 ，使 的面积最大，求出最大的面
积 ．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 ．
(3)
【分析】本题主要考查抛物线与 轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线与 轴的交点
取决于 及待定系数法求函数解析式．
（1）根据抛物线与 轴有两个交点知△ 可得；
（2）将点 代入解析式求得 ，即可知抛物线解析式，从而得到其对称轴和 轴的
交点 ，再求出直线 解析式，联立方程组可得点 坐标；
（3）依据题意，要使 的面积最大，只要 到 最远，即为平行于 的直线与抛
物线相切时为所求，计算出此时 到 的距离即可得解．
【详解】（1）解：根据题意知， ，
解得： ；
（2）解：将点 代入 ，得： ，
解得： ，
抛物线解析式为 ，
则抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，即点 ，
令直线 解析式为 ，
将点 、 代入，得： ，解得 ，直线 的解析式为 ，
由 可得 ，
点的坐标为 ．
（3）解：由题意，将 看作底，当 到 最远时， 的面积最大，
此时过 平行于 的直线与抛物线 相切．
直线 为 ，
可设过 平行于 与抛物线 相切的直线 为 ．
对于方程 ，即 的 ．
．
直线 为 ．
又直线 为 ，
直线 是直线 向上平移 个单位．
又直线 与 轴夹角为 ，
满足题意的 到 的距离为 ．
又 ，
的面积最大值 ．
【变式5-2】如图，已知二次函数的图象经过点 、 和原点O．P为二次函数
图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为 ，并与直线 交于点C．(1)求二次函数的解析式；
(2)当点P在直线 的上方时，
①当 的长最大时，求点P的坐标；
②当 时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设二次函数的解析式为 ，根据二次函数的图象经过点
、 和原点O．利用待定系数法求解，即可解题；
（2）①设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出直线 的解析式，根据题意表
示出点P的坐标为 ，点C的坐标为 ，得到 ，利用二次函数的最值
得到 的长最大时， 的取值，即可得到点P的坐标；
②根据 ，得到 ，建立关于 的等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，
二次函数的图象经过点 、 和原点O．，解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：①设直线 的解析式为 ，
，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
过点P作x轴的垂线，垂足为 ，
点P的坐标为 ，点C的坐标为 ，
，
当 时， 的长最大，即有 ，
；
②当 时，
即 ，
，
，
解得 （舍去）或 ，
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，以及待定系数法、二次函数的性质、三角形的
面积、解一元二次方程等知识．注意待定系数法的应用和用m表示出 的长是解题的关
键．1．若二次函数y=(k-1)x2+4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k≥5 D．k≥5且k≠1
【答案】B
【分析】根据题意得出一元二次方程(k-2)x2+4x+1=0有解，根据根的判别式结合二次
项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数y=(k-1)x2+4x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有解，
∴ ¿，
解得：k≤5且k≠1．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程定义，根的判别式以及解一元一
次不等式，根据根的判别式Δ≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式是解题
的关键．
2．二次函数y=x2-2x-a的图象经过平面内的四个象限，则a的取值范围为（ ）
A．a>0 B．a>-1 C．-10，且a>-1，
∴a>0；故选：A．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-bx+b-1（b为常数）的图象顶点在x轴上，当
图象经过点(3,y )，(m,y )时，y >y ，则m的取值范围为（ ）
1 2 1 2
A．m>-1 B．m<3 C．-13
【答案】C
(b b2 )
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先求出顶点坐标为 ，- +b-1 ，再
2 4
b2
根据顶点在x轴上，得到- +b-1=0，解方程得到b=2，则二次函数解析式为
4
y=x2-2x+1=(x-1) 2，则二次函数开口向上，对称轴为直线x=1，离对称轴越远函数值
越大，据此可得3-1>|m-1|，解之即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=x2-bx+b-1，
(b b2 )
∴二次函数顶点坐标为 ，- +b-1 ，
2 4
∵顶点在x轴上，
b2
∴- +b-1=0，
4
∴b=2，
∴二次函数解析式为y=x2-2x+1=(x-1) 2，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=1，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数图象经过点(3,y )，(m,y )时，y >y ，
1 2 1 2
∴3-1>|m-1|，
∴-1kx+b的解集为（ ）
A．x<-2或x>2 B．x>2
C．x<2 D．-22时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式ax2+bx+c>kx+b的解集为x<-2或x>2，
故选：A．
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
① 2a+b=0；
② a+b+c>0；
③方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④不等式ax2+bx+c<0的解集是03/x>3或x<1
【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据
图象写出答案即可．
【详解】解：由图象可知，当时，ax2+bx+c<0．
故答案为：x<1或x>3．
9．已知抛物线y=x2+3x-5与x轴的两个交点为(x ,0)，(x ,0)则x2-3x +15= ．
1 2 1 2
【答案】29
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点．熟练掌握函数与方程的关系，一元二次方
程根与系数和关系，根的概念，是解决问题的关键．根据抛物线y=x2+3x-5与x轴的两个交点为(x ,0)，(x ,0)，得到方程x2+3x-5=0的
1 2
二根为x ，x ，根据根与系数的关系和根适合方程得到x +x =-3，x2=-3x +5， 分别
1 2 1 2 1 1
代入x2-3x +15化简即得．
1 2
【详解】∵抛物线y=x2+3x-5与x轴的两个交点为(x ,0)，(x ,0)，
1 2
∴方程x2+3x-5=0的二根为x ，x ，
1 2
∴x +x =-3，x2+3x -5=0，
1 2 1 1
∴ x2=-3x +5，
1 1
∴x2-3x +15=-3x +5-3x +15=-3(x +x )+20=29．
1 2 1 2 1 2
故答案为：29．
10．如图，将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图
象C ,当直线y=x+b与图象C 恰有两个公共点时，b的取值范围是 ．
1 1
13
【答案】b> 或-3 时，直线y=x+b与图象C 恰有两个公共点，
4 1
当直线y=x+b过A(-1,0)时，-1+b=0，解得b=1，
当直线y=x+b过B(3,0)时，3+b=0，解得b=-3，
所以，当-3 或-3 或-38或10，再由b2≥0即可得出Δ>0，从而得
解；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=m+3，再分情况：当m+3<0，即m<-3时，当
m+3>0，即m>-3时；分别画出草图，结合图形求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：由题意得：Δ=b2-12a．
∵a<0，
∴-12a>0．∵b2≥0，
∴b2-12a>0即Δ>0．
∴在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点．
（2）解：∵点A(m,y )，C(m+6,y )都在抛物线上，
1 1
m+m+6
∴抛物线的对称轴为x= =m+3．
2
当m+3<0，即m<-3时，
∵30，即m>-3时，
∵38．
作抛物线草图如图4：由图可得，¿，
解得，18或1
