文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【考点1 二次函数与x轴交点问题】
【考点2 图象法确定一元二次方程的根】
【考点3已知函数值y求X的取值范围】
【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】
【考点5二次函数综合】
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0
有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.．
【考点1 二次函数与x轴交点问题】
【典例1】函数 与x轴的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为（）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图是二次函数 图象的一部分，它的对称轴是直线 ，
与x轴的一个交点为 ，则与x轴的另一个交点为（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】如图，抛物线的对称轴是直线 ，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是
，则A点的坐标是 ．
【变式1-3】若二次函数 的图象与 轴交于 , 两点，则点 的坐
标是 .
考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.
【考点2 图象法确定一元二次方程的根】
【典例2】下表给出了二次函数 的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各选项中可能是方程 的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【变式2-1】下表给出了二次函数 的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 0.14 0.62 …
那么关于x的方程 的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
【变式2-2】根据下列表格中二次函数 的自变量 与函数值 的对应
值，可以判断关于 的方程 的一个解 的范围是（ ）
0 1 2
7 2
A． B． C． D．
【变式2-3】已知二次函数 ，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程 的一个近似根是 （精确到 ）
考点3： 抛物线与不等式的关系
二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：【考点3已知函数值y求X的取值范围】
【典例3】已知函数 的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得 时，
的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【变式3-1】二次函数 的部分图象如图所示，当函数值 时，x的取值范
围是（ ）
A． B． C． D． 或
【变式3-2】如图，已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ，若函数值大于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【变式3-3】已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】
【典例4】如图，一次函数 和二次函数 的图象交于点 和点
B，则 的解集是（ ）
A． B． 或
C． D．
【变式4-1】如图是二次函数 的图象，使 成立的 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【变式4-2】如图，二次函数 的图象与一次函数 的
图象相交于 两点，已知点 横坐标为 ， ，当 时，
的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【变式4-3】已知一次函数 和二次函数 部分自变量
和相应的函数值如表，当 时，自变量 的取值范围是( )
A． B．C． 或 D． 或
【考点5二次函数综合】
【典例5】如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
．直线 与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点P的
坐标及该面积的最大值；
(3)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q
的坐标；若不存在，说明理由．
【变式5-1】已知二次函数
(1)如果二次函数的图象与 轴有两个交点，求 的取值范围；
(2)如果二次函数图象经过点 ，与 轴交于点 ，直线 与这个二次函数图象的对
称轴交于点 ，求点 的坐标；(3)在直线 的上方的二次函数的图象上找一点 ，使 的面积最大，求出最大的面
积 ．
【变式5-2】如图，已知二次函数的图象经过点 、 和原点O．P为二次函数
图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为 ，并与直线 交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当点P在直线 的上方时，
①当 的长最大时，求点P的坐标；
②当 时，求点P的坐标．
1．若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
y=(k-1)x2+4x+1 x k
A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k≥5 D．k≥5且k≠1
2．二次函数y=x2-2x-a的图象经过平面内的四个象限，则a的取值范围为（ ）
A．a>0 B．a>-1 C．-1y m
1 2 1 2
A．m>-1 B．m<3 C．-13
4．若函数 的图象与直线 有交点，则实数 的取值范围是（ ）
y=(m-1)x2+2x-1 y=1 m
1 1 1
A．m≤ B．m≥ C．m≤ 且m≠1 D．m≠1
2 2 2
5.观察表格，估算一元二次方程x²-x-1=0的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2-x-1 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程.x²-x-1=0的一个近似解x的范围是（ ）
A．1.4kx+b的解集为（ ）
A．x<-2或x>2 B．x>2
C．x<2 D．-20；
③方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④不等式ax2+bx+c<0的解集是0
