文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.2 二次函数与一元二次方程，内容包括：二次函数与一元二次方程的联系．
2.内容解析
解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量的值．从图象上看，
如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为 0.由此可求出相应的一
元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当
二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与
x轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌
握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数与一元二次方程的联系．
二、目标和目标解析
1.目标
1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2）通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数
形结合思想。
2.目标解析
达成目标1）的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与 x轴交点的横坐标，确定一元二
次方程的近似解．
达成目标2）的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，理解二次函数与 x轴的公共
点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系．
三、教学问题诊断分析
探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致，但二次函数与 x
轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应
的一元二次方程的根.
基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．
四、教学过程设计
（一）探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空
气阻力，球的飞行高度 h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
[问题一]球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间？
[问题二]球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间？
[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
[问题四]球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能，需要多少时间？
[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？
[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.
师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。最后由教师总结归纳二次函数与一元二次方程的联
系： 从上面发现，二次函数与一元二次方程联系紧密。如：已知二次函数 y=-x2+4x的值为3，求自变量
x的值.可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数
y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
【设计意图】让学生理解二次函数与一元二次方程的联系。
【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？
1)y=x2+x-2 2)y=x2-6x+9 3)y=x2-x+1.
师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。通过观察图象，可以发现：这三个函数图象与 x轴
交点分别为：2个、1个和没有公共点.使学生理解当二次函数图象与 x轴有公共点时，公共点的横坐标
就是相应的一元二次方程的根.
师：相应方程的根是什么？
师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。使学生理解当二次函数图象与 x轴有公共点时，公
共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.
【设计意图】让学生理解二次函数与一元二次方程的联系。
师：尝试总结二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系？
师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。教师归纳和引导，最后得出：
【问题】由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
例：利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根（结果保留小数后一位）。
师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。使学生理解我们可以通过不断缩小根所在的范围估
计一元二次方程的根。
【设计意图】使学生理解如何通过图象与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．
（二）典例分析与针对训练
典例1．若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
y=(k−1)x2−2x+1
【针对训练】
1．已知抛物线 与x轴交于点 、 两点，则B点的横坐标 ＝
y=2mx2−4mx+c A(−1,0) B(x ,0) x
2 2
．
2．抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点坐标为 ．
3．若对称轴为直线x=−2的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程
ax2+bx+c=0的根是 ．
【设计意图】考查抛物线与x轴交点坐标．
典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y轴交点的坐标为 ．
【针对训练】
1．抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为 个．
2．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则OB= ．
【设计意图】考查抛物线与y轴交点坐标．
典例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是 ，方程x2+bx+c＝0的解是
．
【针对训练】
1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是 ______________ _【设计意图】考查图象法求一元二次方程的解．
典例4．根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【针对训练】
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（
）
A．3
