文档文本内容
22.2 二次函数与一元二次方程 导学案
学习目标
1 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2 通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合
思想。
重点难点突破
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
核心知识
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：思维导图
新知探究
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空
气阻力，球的飞行高度 h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
[问题一]球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间？
[问题二]球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间？
[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
[问题四]球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能，需要多少时间？
[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.
【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？当 x取公共点的横坐标时，
函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？
1)y=x2+x-2 2)y=x2-6x+9 3)y=x2-x+1.
【问题】利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根（结果保留小数后一位）。
典例分析
典例1．若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
y=(k−1)x2−2x+1
【针对训练】
1．已知抛物线 与x轴交于点 、 两点，则B点的横坐标 ＝ ．
y=2mx2−4mx+c A(−1,0) B(x ,0) x
2 2
2．抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点坐标为 ．
3．若对称轴为直线 x=−2的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程
ax2+bx+c=0的根是 ．
典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y轴交点的坐标为 ．
【针对训练】
1．抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为 个．2．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则OB= ．
例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是 ，方程x2+bx+c＝0的解是 ．
【针对训练】
1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是 ______________ _
典例4．根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【针对训练】
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解 x 的范围是
（ ）
A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24
C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26
2．根据抛物线y=x2+3x−1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A．x2+3x−1=0B．x2+3x+1=0
C．3x2+x−1=0D．x2−3x+1=0典例5．已知抛物线 （ 为常数），
y=x2+(m−1)x+m−3 m
求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．
【针对训练】
1．若二次函数 的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
y=x2+(b−1)x+4
典例6．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点
为C．
(1)求该图象的解析式；
(2)求AC长．
【针对训练】
1．已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围．
(2)若方程两实数根为x ，x ，且满足5x +2x =2，求二次函数y=x2−4x+m的图象与x轴的两个交点间
1 2 1 2
的距离．
直击中考1．（2023·湖南郴州真题）抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则c= ．
2．（2022·黑龙江大庆中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实
数m的值为 ．
课堂小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.简述二次函数与一元二次方程的联系？
【参考答案】
新知探究
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空
气阻力，球的飞行高度 h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
[问题一]球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间？
解：当h=15时，20t-5t2=15，
解得，t=1，t=3.
1 2
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
[问题二]球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间？
当h=20时，20t-5t2=20，
解得，t=t=2.
1 2
当球飞行2s时，它的高度为20m.
[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
飞行高度达到20m时，小球正好运动到抛物线的顶点。
[问题四]球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能，需要多少时间？
当h=20.5时，20t-5t2=20.5，
化简得，t2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.故球的飞行高度达不到20.5m.
[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？
当h=0时，20t-5t2=0，
解得，t=0，t=4.
1 2
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.
从上面发现，二次函数与一元二次方程联系紧密。如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x
的值.可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-
4x+3的值为0，求自变量x的值.
【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？当 x取公共点的横坐标时，
函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？
1)y=x2+x-2 2)y=x2-6x+9 3)y=x2-x+1.
【问题】利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根（结果保留小数后一位）。
解：如右图它与x轴的公共点的横坐标大致为-0.7，2.7。
所以方程x2−2x−2=0的实数根为：
x ≈−0.7, x ≈2.7
1 2
典例分析
典例1．若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 且 ．
y=(k−1)x2−2x+1 k≤2 k≠1
【针对训练】1．已知抛物线 与x轴交于点 、 两点，则B点的横坐标 ＝3 ．
y=2mx2−4mx+c A(−1,0) B(x ,0) x
2 2
2．抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点坐标为(−1，0)或(4，0)．
3．若对称轴为直线 x=−2的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程
的根是 ， ．
ax2+bx+c=0 x =−5 x =1
1 2
典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y轴交点的坐标为(0,3)．
【针对训练】
1．抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为2 个．
2．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则OB=8．
例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是x=-1，方程x2+bx+c＝0的解是x ＝﹣ 3 ，
1
x ＝ 1
2
【针对训练】
1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是x =−1或x =3
1 2
典例4．根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( C )
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【针对训练】
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（ B）
A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24
C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26
2．根据抛物线y=x2+3x−1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ A ）
A．x2+3x−1=0B．x2+3x+1=0
C．3x2+x−1=0D．x2−3x+1=0
典例5．已知抛物线 （ 为常数），
y=x2+(m−1)x+m−3 m
求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．
【详解】证明：
∵ ，
Δ=(m−1) 2−4(m−3)=m2−6m+13=(m−3) 2+4>0
∴无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．
【针对训练】
1．若二次函数 的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
y=x2+(b−1)x+4
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴只有一个交点，
y=x2+(b−1)x+4
∴ ．
Δ=(b−1) 2−4×4=0
解得：b=5或-3．
典例6．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点
为C．
(1)求该图象的解析式；
(2)求AC长．
（1）把点A(−1,0),B(1,−2)代入y=x2+bx+c中，
{1−b+c=0 {b=−1
得 ，解得 ,
1+b+c=−2 c=−2
∴二次函数的解析式为：y=x2−x−2.
（2）对于二次函数y=x2−x−2,令 得
y=0， x2−x−2=0,∴x =−1,x =2
1 2
∴A(−1,0),C(2,0),∴OA=1,OC=2,
∴AC=OA+OC=1+2=3.
【针对训练】
1．已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围．
(2)若方程两实数根为x ，x ，且满足5x +2x =2，求二次函数y=x2−4x+m的图象与x轴的两个交点间
1 2 1 2
的距离．
【详解】（1）∵方程x2−4x+m=0有实数根，
∴ ，∴ ．
Δ=b2−4ac=(−4) 2−4m≥0 m≤4
（2）∵方程x2−4x+m=0有两个实数根x ，x ，∴x +x =4．
1 2 1 2
∵{5x
1
+2x
2
=2
， ∴ x =−2，x =6 ，
x +x =4 1 2
1 2
∴二次函数 的图象与x轴的两个交点间的距离为 ．
y=x2−4x+m |x −x |=|−2−6|=8
1 2
直击中考
1．（2023·湖南郴州真题）抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则c=9．
