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22.2 二次函数与一元二次方程 分层作业
基础训练
1．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a= ；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为 或0；
故选：D．
2．抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【详解】解：在 中，
令y=0，则 ，
∵△=22－4×（－3）3=15＞0，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∵x=0时，y=－3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，－3），
∴抛物线 的图象与坐标轴的交点个数为3．
故选：D．
3．若二次函数 的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．【详解】解：∵抛物线y=x2+2x－m与坐标轴有三个交点，
∴Δ=4+4m＞0， 解得m＞－1，
∵抛物线不经过原点，
∴m≠0，
故选：A．
4．根据下列表格对应值：
判断关于x的方程 的一个解 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由表可以看出，当 取 与 之间的某个数时， ，即这个数是
的一个根，
∴ 的一个解 的取值范围为 ．
故选：C．
5．如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正
确的是（ ）
A． 的解集是
B． 的解集是
C． 的解集是D． 的解是 或
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；故
A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ，故D符合题意；
故选：D．
6．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个
近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（ ）（精确到0.1）
A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（2.3，0），
则方程的另一个近似根为x＝2.3，
故选：C．
7．二次函数 的图像如图所示，则函数值 时，x的取值范围是（ ）A． B． C． D． 或
详解】解：由图可知，当 或 时， ．
故选：D．
8．如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是（ ）
A． B． C． 且 D．x＜－1或x＞5
【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出 的解
集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知： 的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
9．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，则下列判断中，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．当 时，y随x的增大而减小
C．当 时，
D．一元二次方程 的两个根是 和3【详解】解：A、对称轴为直线x= =1，正确，故本选项不符合题意；
B、对称轴是直线x=1，当x＞2时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C、应为当－1＜x＜1时，y＞0，故本选项符合题意；
D、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1和3，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
10．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【详解】 与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 与直线 的交点和与直线 的交点也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，
即在点 之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
11．若一元二次方程 （b，c为常数）的两根 满足 ，则符合条件的一
个方程为 ．【详解】设 与 交点为 ，
根据题意
则
的对称轴为
故设
则方程为：
故答案为：
12．已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为
．
【详解】解：根据图象可知，二次函数 的部分图象经过点（4，0），
对称轴为 ，
由抛物线的对称性可知：二次函数 与x轴的另一个交点坐标为：
抛物线 与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程 的根，即：
；
故答案为： ．
13．已知抛物线 与x轴的公共点坐标是 ，则 ．【详解】解：∵抛物线 与x轴的公共点坐标是 ，
令y=0，则 ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
14．若抛物线y＝（a－1）x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是 ．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点
∴ ，
解得： ，
∵a≠1
故答案为0
15．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
能力提升1．若函数 的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
【详解】解：∵函数 的图象与坐标轴有两个不同的交点，
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=－1，
此时y=－2x－ ，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠－1，分两种情况：
当抛物线经过原点时，y= =0，即m=0，
此时 =x(x－2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
当抛物线不经过原点时，△=（－2）2－4×(m+1)× m=0，
解得：m=－2或1．
综上，m=－1或0或－2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：－2或－1或0或1．
2．如图，过点D（1，3）的抛物线y=－x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，
则PC+PD的最小值为 ．
【详解】解：连接PB，
对于抛物线y=－x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=－x2+k过点D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=－x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=－x2+4，解得：x=2或x=－2，
所以点B的坐标为（－2，0），
所以BD= ，
故答案为： ．
3．已知二次函数 ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴为直
线 ．对于下列结论：① ；② ；③ ；④ （其中
）；⑤若 和 均在该函数图象上，且 ，则 ．其中正确结论的个数
共有 个．
【详解】∵抛物线的对称轴为： ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，∴代入(－2,0)、(1,0)得： ，
解得： ，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程 有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式 ，故②正确；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故④正确；
∵抛物线的对称轴为： ，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数 ，在 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，故⑤错误，
故正确的有：②③④，故答案为：3．
拔高拓展
1．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ．连接
，点 是线段 上方抛物线上的点，过点 作 轴垂线交 于点 ，交 轴于点 ．求线段 的最
大值．
【详解】解： 与 轴交于 、 两点，
令 ，即 ．
解得 ， ．
点 在点 左侧，
、 ．
与 轴交于点 ，
．
易得直线 的解析式为 ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
．
，当 时， 长取得最大值，最大值为 ．
2．已知关于 的二次函数 ．
(1)求证：不论 为何实数，该二次函数的图象与 轴总有两个公共点；
(2)若 ， 两点在该二次函数的图象上，直接写出 与 的大小关系；
(3)若将抛物线沿 轴翻折得到新抛物线，当 时，新抛物线对应的函数有最小值3，求 的值．
【详解】（1）证明：令 ，则
∴
∴不论 为何实数，方程 有两个不相等的实数根
∴无论 为何实数，该二次函数的图象与 轴总有两个公共点
（2）解：二次函数 的对称轴为：直线
∵ ，抛物线开口向上
∴抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值越大
∵
∴Ｍ点到对称轴的距离为：1
Ｎ点到对称轴的距离为：2
∴
（3）解：∵抛物线
∴沿 轴翻折后的函数解析式为
∴该抛物线的对称轴为直线
①若 ，即 ，则当 时， 有最小值
∴
解得 ，
∵
∴②若 ，即 ，则当 时， 有最小值－1
不合题意，舍去
③若 ， ，则当 时， 有最小值
∴
解得 ，
∵
∴
综上， 的值为1或－5
