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第 05 讲 对数与对数函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然
发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个
现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出
本·福特定律，即在大量 进制随机数据中，以 开头的数出现的概率为 ，
如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验
某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ，
），则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ，有以下命题：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
4．（2023·河北石家庄·统考三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当
很大时， （常数 ）.利用以上公式，可以估计
的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数
m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽黄山·统考三模）“ ”是“函数 在区间
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
学科网（北京）股份有限公司 1C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数 ，若方程 有
解，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津滨海新·统考三模）已知 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．当 时，
D．若 ，则
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知 ，现有下面四个命题中正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）
的图象如下所示．函数 的图象上有两个不同的点 ， ，
则（ ）
A． ， B． 在 上是奇函数
C． 在 上是单调递增函数 D．当 时，
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为 ，函数
学科网（北京）股份有限公司 2的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 定义在 上且
，则 ______．
14．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；②当 时， （ 为 的导函
数）；③函数 的图象关于点 对称．
15．（2023·天津和平·统考二模）设 ， ， ，若 ， ，
则 的最大值为__________．
16．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 ，且
，则实数 的取值范围是__________．
17．（2023·全国·高三专题练习）求值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
(5)2log 2－log ＋log 8－ ；
3 3 3
(6)(log 125＋log 25＋log 5)·(log 2＋log 4＋log 8).
2 4 8 5 25 125
(7) lg25＋lg2＋lg ＋lg(0.01)－1；
(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(9)(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)；
3 9 4 8
(10)2log 2－log ＋log 8－3log 5；
3 3 3 5
学科网（北京）股份有限公司 318．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）已知 ，求实数x的值；
（3）若 ， ，用a，b，表示 ．
19．（2023·四川成都·统考二模）已知函数
(1)当 时，求函数 的定义域；
(2)当函数 的值域为R时，求实数 的取值范围.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 有
意义时 的取值范围为 ，其中 为实数．
(1)求 的值；
(2)写出函数 的单调区间，并求函数 的最大值．
21．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知函数 为奇函数．
(1)求常数 的值；
(2)当 时，判断 的单调性；
(3)若函数 ，且 在区间 上没有零点，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 422．（2023·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，值域为
，且函数 为 上的严格减函数，求实数a的取值范围.
1．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的
二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧
化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．
下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
2．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测
量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的
数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记
录法的数据为（ ）（ ）
学科网（北京）股份有限公司 5A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
4．（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·天津·统考高考真题）设 ，则 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领
域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的
Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初
步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
7．（2020·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
9．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____，
______．
10．（2020·山东·统考高考真题）若 ，则实数 的值是______.
11．（2020·北京·统考高考真题）函数 的定义域是____________．
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