文档内容
专题 03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求二面角.................................................2
题型二：已知二面角求参数........................................10
题型三：求二面角最值（范围）....................................18
三、专项训练.......................................................24
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点 ，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线 、 ,则 称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角的大小 满足：； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没
有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱 的底面是正方形， ，E，F分别
为BC， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，交 于点G，连接FG，
因为E，F分别为BC， 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴建立坐标系，如图所示，设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
,即 ，
不妨取 ，则 ，即 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
,即 ，
不妨取 ，则 ，即 ，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则
，
所以
故二面角 的正弦值为 .
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ．(1)求 到平面 的距离；
(2)设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知： ；
设点 到平面 的距离为 ，
，解得： ，
即点 到平面 的距离为 .
（2）取 的中点 ，连接 ，
， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ；
三棱锥 为直三棱柱， 平面 ，
又 平面 ， ；
， 平面 ， 平面
则以 为坐标原点， 正方向为 轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）知： ， ， ，， ，
， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
，
而 ，所以 ，
则二面角 的大小为 .
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形 中， 为边 上的点，且
.将 沿 翻折，使得点 到 ，满足平面 平面 ，连接 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值的大小.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）在 中， ， ， ，
同理，在 中， ，
， ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ，
又 ， 与 是平面 内的两条相交直线，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
（2）
如图，作 ，垂足为 ，在 中，可得 ， ，
由（1）， ，平面 平面 ，
以点 为坐标原点， ， 分别为 ， 轴，过点 垂直平面 为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，可得 ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，可得 ， ，
，，
又 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成. 在同一平
面内，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接 ，因为该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，
，所以 ，所以 ，所以 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，
记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
解得 （负值舍去），即 .
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 即
令 ，则 .
所以 .
因此平面 与平面 所成角的余弦值为 .
5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示， 为等边三角形， 平面 ， ，
， ， 为线段 上一动点．(1)若 为线段 的中点，证明： ．
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 为线段 的中点，
且 为等边三角形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ， 四点共面，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）设 的中点为 ，连接 ，
在平面 内，过点 作 交 于点 ，
由（1）可得 两两垂直，
分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ．，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台 中，底面 是菱形，
， ， 平面 .
(1)证明：BD CC ；
1
(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，【详解】（1）证明:如图所示，连接 ,
因为 为棱台，所以 四点共面，
又因为四边形 为菱形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：取 中点 ，连接 ，
因为底面 是菱形，且 ，所以 是正三角形，所以 ，即 ，
由于 平面 ，以 为原点，分别以 为 轴、 轴和 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ，
可得
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 .
又由平面 的法向量为 ，
所以 ，解得
由于二面角 为锐角，则点 在线段 上，所以 ，即
故 上存在点 ，当 时，二面角 的余弦值为 .
2．（2023·吉林长春·一模）长方形 中， ，点 为 中点（如图1），将点 绕旋转至点 处，使平面 平面 （如图2）．
(1)求证： ；
(2)点 在线段 上，当二面角 大小为 时，求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：在长方形 中， ， 为 中点，
，
，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ，
，又 ， 平面 ， 平面 ，
，
平面 ， 平面 ，
.
（2）
如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
由题意可得 两两互相垂直，
以 为坐标原点，以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
，
又 平面 ， 是平面 的一个法向量，
，
令 ，解得 或 （舍）.
即 为 的靠近 的三等分点时，二面角 的平面角为 ，
平面 ，且 ，
到平面 的距离为 ，又四边形 的面积为3，
四棱锥 的体积
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形 中， ， ， ， ，
将 沿 折起，使平面 平面 ，得到图②所示几何体．
(1)若 为 的中点，求四棱锥 的体积 ；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，如果存
在，求出 的值，如果不存在，说明理由．【答案】(1)
(2)存在， 的值为
【详解】（1）由图①知， ，所以 ，在 中，因为 ， ，
可得 ， ，所以 ．
由图②知，平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 为 的中点，
所以 ．
（2）由（1）知 ， ， 三者两两垂直，以点 为原点，
， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．
则 ， ， ， ， ， ， ，
设 ， ，
，
即 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，则 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ， 解得 或 （舍去），
所以此时 的值为 .4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形 中， ， ， ，
，将 沿 翻折至 的位置，使得 ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2) 为线段 上一点（端点除外），若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）易知 ， ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，所以
由直角梯形 ， ， ， ，
可得 ，又 ，得 ；
又 ， 平面 ，所以 平面
又 平面 ，可得平面 平面
（2）取 的中点 ，连接 ， ，， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
为 的中点， 为 的中点，可得 ，又 ，
故以 所在的直线分别为 轴，建立如图空间直角坐标
系，则 ， ， ， ， ，
设 ，则
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
所以 ，令 ，得 ， ，
即
平面 的一个法向量为
可得 ，解得 或 (舍)
即 为 的中点，易知 ，
故线段 的长为 .
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，侧面
底面 ，侧面 底面 ，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且 .(1)证明： 垂直于底面 .
(2)当点E在BC边上移动，使二面角 为 时，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为侧面 底面 ，侧面 底面 ，
而底面 是矩形，故 , 底面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ;
同理侧面 底面 ，侧面 底面 ，
而底面 是矩形，故 , 底面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
又 底面 ，
故 垂直于底面
（2）由（1）知 底面 ， 底面 ，
故 ，点F是PB的中点，且 ，
故 ， ；
又 平面 ， ,故 平面 ，
平面 ，故 ，而 平面 ，
故 平面 ，故 即为二面角 的平面角，
即 ；而 ,
以A为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，
由原图可知二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 .
题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ，点 是线段
上的点，点 是线段 上的点，且 .(1)证明：直线 平面 ：
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接 并延长交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，得到 ，
又易知， 且 ，又 且 ，故 且 ，所以四边形
为平行四边形，
得到 ，又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
（2）如图建立空间直角坐标系，因为 ，
则 ， ， ， ， ，
所以， ， ， ， ，又因为 ，则 ，
，
又 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，得到 ，取 ，得到 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，得到 ，取 ，得到 ，
所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
又因为 ， ， ，
所以 ，即平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围为 .
2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， .点 、
、 、 分别在棱 、 、 、 上， ， ， .(1)证明： 四点共面
(2)当点 在棱 上运动时（包括端点），求平面 与平面 夹角余弦值的的取值范围.
【答案】(1)证明见解析．
(2) ．
【详解】（1）分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ，
， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
所以 共面，即 四点共面；
（2）设 ， ， ，又 ， ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ，，
，则 ，所以 ，
∴平面 与平面 夹角余弦值的的取值范围是 ．
3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形 中， ， 为线段 的
中点，将 沿直线AE折起，使得 ，如图（2）.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意证明如下，
取线段AE的中点O，连接DO，OC，如图.
在 中， ， ， ， .
在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，∴ .
在 中， ， .
又 ， ， 平面ABCE，
平面 .又 平面 ， 平面 平面ABCE.
（2）由题意及（1）得，建立空间直角坐标系如下图所示，
则 ， ， ， .
易知平面ADE的一个法向量为 .
设点H的坐标为 ， ，
则 ， .
设平面DHC的法向量为 ，
则
令 ，则 .
∴ .
令 ，则 ，
∴ .
又 ，所以 ，
∴ 的取值范围为 .
4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，
在菱形 中， ， ，平面 平面 ， ， 分别是线段 ､ 的中
点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由平面 平面 ，且两平面交线为 , 为 中点， ，
平面 ，所以 平面 ，由于 平面 ，故 ，
在菱形 中， ， ，所以 为等边三角形，
又 为 中点，所以 ，
则以 为坐标原点， 所在直线为 ， ， 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
， ，
，
，
又 ， ， 平面 ， 平面 ．
（2） ，
设 ，则 ，
， ， ；
由（1）知 平面 ，
平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量 ，又
则 ， ，即 ，
令 ，则 ， ， ，，
令 ，则 ，
，
， 所以 ，
， ，
即锐二面角 的余弦值的取值范围为 ．
三、专项训练
1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体 中， ， ，则平面
与平面 所成锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则
可得 ，
可知平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 与平面ABCD所成的锐二面角为 ，
则 ，可得 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的正切值 .
故选：A.
2．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示， 是棱长为6的正方体， 分别是棱
上的动点，且 ，当 四点共面时，平面 与平面 所成夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图
所示，当 时，即 为 的中点时， 四点共面，
可得 ，且 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 与平面 所成的二面角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成的二面角的余弦值 .
故选：D.
3．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱 中， ， ，
，E，F分别是侧棱 ， 上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为 ，则线段
BE的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ， ， 两两互相垂直，
以A为原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 ， （ ， ，且m，n不同时为0），
则 ， ， ，所以 ， .
设平面AEF的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，则 ，
显然 为平面ABC的一个法向量.
因为平面 与平面 所成角的大小为 ，
所以 ，
即 ，
得 ，
所以 ，所以当 时，m取得最大值，最大值为 .
故选：B
4．（21·22高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，
， ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为 ，则 面积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由二面角 的平面角大小为 ，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段.
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为 ，由题意可知 ， ， ，所以
， ， ．
易知平面APD的一个法向量为 ，
设平面PDG的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，所以 是平面PDG的一个法向量，则二面角 的平面角的余弦值为
，
解得 或 （舍去），
所以Q在DG上运动，所以 面积的取值范围为 ．
故选：B．
5．（20·21高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱 中， ，点D为棱 的中点，
点E为 上的点，且满足 ，当二面角 的正切值为 时，实数m的值为
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】如图，
以D原点，DA，DB，DD 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1
则 ， ， ， ， ，由 得， ，即 ，
所以 ， ，
设面 的法向量为： ，则
取 ，
取面 的法向量为： ，
设二面角 为 ，
由 得， ，则 ，
所以 ，
故选：C.
二、填空题
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点 ，线段 分别在这个二面角的两
个面内，并且都垂直于棱 ，则这个二面角的大小为 .
【答案】
【详解】如图，设 ，（ ），则二面角的大小为 ，
， ， ， ，
故 .
故 ，故 ， .
因此所求二面角的度数为 .
故答案为： .
7．（23·24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形 所在的平面与 所在的平面互相垂直，且 ．则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】取 中点 ，连接 ，在菱形 中 ，所以 是正三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，
设面 的法向量是 ， ， ，
则由 ，即 ，则令 ，得 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值是 .
故答案为: ．8．（22·23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱 中， ， ， 两两互相垂
直， ， ， 分别是侧棱 ， 上的点，平面 与平面 所成的（锐）二面角
为 ，则当 最小时 ．
【答案】 /60o
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，
当 最小时， ， ，
所以 ，所以 ，
故答案为： ．9．（23·24高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
且 ，点 是线段 上一点，当二面角 的平面角的大小为 时，
．
【答案】
【详解】设 ，以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴建立空
间直角坐标系，如图所示，
则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
又由平面 的一个法向量为 ，
则 ，
解得 或 （舍去），所以 .
故答案为： .
三、解答题
10．（23·24高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面
底面 ， ， ， ， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
因为 ， ， ，所以 ，故 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以，平面 平面 ．
（2）作 的高 ，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中 轴 ．
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 即
令 得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ．
，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体 中， ， ，劣弧 的长为 ，AB为圆O的直
径．
(1)在弧 上是否存在点C（C， 在平面 同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存
在，说明理由；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)存在， 为圆柱 的母线
(2)
【详解】（1）存在，当 为圆柱 的母线时， ．证明如下：
连接BC，AC， ，因为 为圆柱 的母线，所以 平面ABC，
又因为 平面ABC，所以 ．因为AB为圆O的直径，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）以 为原点，OA， 分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
则 ， ， ，
因为劣弧 的长为 ，所以 ， ，
则 ， ．
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，解得 ， ，所以 ．
因为x轴垂直平面 ，所以平面 的一个法向量 ．
所以 ，
又二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥 中， ， ， ，平面
平面 .(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)求二面角 的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以三棱锥 的体积为
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故三棱锥 的体积的最大值为 .
（2）解法一：由（1）可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
过 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，在 中， ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为2.
此时 取得最小值 ，
故二面角 的正弦值的最小值为 .
解法二：由（1）可知 平面 ，
以 为坐标原点，向量 ， 为 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又取平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，整理可得 ，
所以 ，解得 ，
所以当 ，即 ， 时， 取得最大值 ，此时 取得最小值 ，故二面角 的正弦值的最小值为 .
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中 ， ， ，
．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形 沿 翻折，形成几何体 ．若无论二面角
多大，都能够使得几何体 为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过
程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角 为直二面角，求棱台 的体积，并求出此时二面角
的余弦值．
【答案】(1) 或 为靠近点 的三等分点；
(2) ； .
【详解】（1）在直角梯形 中，延长 交于点 ，连接 并延长交 于 ，如图，
， ， ，于是 ，则 ， 为靠近点 的三等分点，
将四边形 沿 翻折，即将 沿 翻折，无论二面角 多大，
所成几何体均为三棱锥 ，显然 平面 平面 ，
于是 平面 ，同理 平面 ，而 平面 ，
因此平面 平面 ，从而几何体 是棱锥 被平行于底面 的平面所截，
截面和底面间的部分，即几何体 是棱台，
所以无论二面角 多大，都能够使得几何体 为棱台， ， 为靠近点 的三等
分点.
（2）翻折前 ，将 , , 延长一倍，三线交予点 ，
在等腰直角三角形 中， ，在棱台 中， ，
又二面角 为直二面角， 平面 ，
即三棱锥 的体积为 ，又三棱锥 的体积 ，
则有棱台 的体积为 ，
在线段 上取 ，有 ，四边形 为平行四边形, ，
又 面 ，则 ，以 为原点， 为 , , 的单位向量建立空间直角
坐标系，
则 ， ，
，取平面 的法向量为 ，
，令 ，取 ，
取面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
显然二面角 的平面角为锐角，设为 ，
，
所以二面角 的余弦值为 .
14．（22·23高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 的中
点，将 沿 翻折到 ，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ．
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，因为 ，则 ，
当平面 平面 时， 点到平面 的距离最大，四棱锥 的体积取得最大值，此时
平面 ，且 ，
底面 为梯形， ，
则四棱锥 的体积最大值为 .
（2）连接 ，因为 ，所以 ，所以 为 的平面角，即 ，
过点 作 平面 ，以 为坐标原点，
分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
过 作 于点 ，由题意得 平面 ，
设 ，因为 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ， ，设平面PAM的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
则 ，令 ，
可得 ，
设两平面夹角为 ，
则
令 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 的对称轴为 ，
所以当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为 ．15．（22·23下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形 中， ，四边形
为矩形，且 平面 ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，且满足 .
若不存在，请说明理由；若存在，求出 的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）∵ 为等腰梯形， ，∴
∵ ，则 ，∴ .
又∵ ，则 ，
∴ ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
∵ 平面 ，∴ 平面 ，
∵四边形 为矩形，则 ，
∴ 平面 .
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，由（1）知， ，则 ，
，设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，∴ ，令 ，
则 ，取平面 的法向量 ，
，
由题意 ， .
解得 .
因此在线段 上存在点 ，
使得平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，
且满足 .
16．（23·24上·山东·开学考试）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
，点E在平面 上运动．(1)试确定一点E，使得 平面 ，并说明点E的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱 上是否存在一点F，使得二面角 的余弦值为 ．若存
在，求 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当点E在 的 边的中线 上运动时， 平面 ；
(2)存在， .
【详解】（1）点E在 的 边的中线上，
取 的中点G，连接 ，如图，
由 ， ，得 ， ，即四边形 为平行四边形，
于是 ，而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
所以当点E在 的 边的中线 上运动时， 平面 ．
（2）由于 底面 ， ，则四棱锥 的体积 ，解得
，
由（1）知， ，则有 ， ，有 ， ，
以点A为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
假定棱 上存在一点F满足条件，令 ， ，则 ，， ，设面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，又面 的法向量
，
于是二面角 的余弦值 ，
解得 ，即F为 中点，此时 ， ．
即当 时，二面角 的余弦值为 .
17．（23·24上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形，
；侧面 为矩形， ，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)设 是线段 上的动点，试确定点 的位置，使二面角 的余弦值为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)点 为 的中点
【详解】（1）如下图所示：连接 ，在矩形 中，明显有： .
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，又在菱形ABCD中 且 ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 .
（2）建立空间直角坐标系如下图所示：
设 ，且 ， ，则 ， ，
设 是平面MBC的一个法向量，由 及 ，
故可取 ，明显平面BCD的一个法向量为 ，
由已知有 ，解得 或 （舍去），
所以当点M为AF的中点时，二面角 的余弦值为 .
