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22.2二次函数与一元二次方程
一、新课导入
1.导入课题：
问题: 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛
物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（t 单位：s）之间具有关系
h＝20t－5t2.球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？要
解决这个问题，我们一起学习本节——二次函数与一元二次方程.
2.学习目标：
（1）知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，
a≠0)的根的情况之间的关系.
（2）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
3.学习重、难点：
重点：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)
的根的情况之间的关系.
难点：数形之间的互相转化.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第43页到第44页“思考”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
①球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2.课本四个问题都是已知
h 求 t (均选填t或h),因此可以将函数问题转化为 一元二次方程 问题.
②结合课本图22.2—1，分别对四个方程的解给一个合理的解释.
方程（1）：小球在某一时间高度达到15m,然后继续上升，达到最大高度后下落，经过一
段时间，高度又回落到15m，所以在两个时间球的高度为15m.方程（2）：20m是小球的最大高度，小球只能在一个时间达到最大高度.
方程（3）：小球最大高度为20m,不可能达到20.5m，所以方程无实数根.
方程（4）：小球最初被打出时高度为0，经过一段时间落地后高度再次为0，中间的时间
差即为飞行的时间.
③从课本中问题的解法中，可以发现：
求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程
a x 2 +b x +c=k 解决；
求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程
a x 2 +b x +c=0 解决.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲第③题的情况.
②差异指导：指导学生思考二次函数与一元二次方程的关系.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：二次函数与一元二次方程关系密切，如：已知二次函数y=ax2+bx+c的值为k时，
求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=k；已知二次函数y=ax2+bx+c的值为
0时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=0.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第44页“思考”到第46页例题之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合图象，认真思考.
（4）自学参考提纲：
①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有 2 个公共点，其交点坐标为 （ - 2 ， 0 ），（ 1 ， 0 ） .
方程x2＋x－2=0有几个实数根？分别是什么？
2个 -2 , 1
②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有 1 个公共点，其交点坐标为 （ 3 ， 0 ） .
方程x2－6x＋9=0有几个实数根？分别是什么？
1个 3
③抛物线y＝x2－x＋1与x轴有 0 个公共点，方程x2－x＋1=0有几个实数根？无实数根
④由上述三个问题，你可以得到什么结论呢？
归纳：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点时，若x取公共点的横坐标，则此时的函数
值是 0 ，由此可得出，方程ax2+bx+c=0的解就是公共点的 横坐标 ，当抛物线与x轴没有公
共点时，说明对应的方程无实数根.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲的完成情况.
②差异指导 ：根据学情进行针对性的指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正.
4.强化：
抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根b2-
4ac＞0；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根b2-
4ac=0；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点方程ax2+bx+c=0没有实数根b2-4ac＜0.
1.自学指导：
（1）自学内容： 教材第46页例题.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
①说说利用函数图象求x2-2x-2=0的近似根的一般步骤.
先画出函数图象，再通过函数图象找点
②观察课本图22.2-3，分别指出x2-2x-2＜0和x2-2x-2＞0的解集.
∵x2-2x-2=0的两根为x≈-0.7,x≈2.7,
1 2
∴x2-2x-2<0的解集为-0.7<x<2.7,
x2-2x-2>0的解集为x>2.7或x<-0.7.
③如果抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x,0）,(x2,0（) x＜x2），请你指
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出何时ax2+bx+c=0，何时ax2+bx+c＞0，何时ax2+bx+c＜0.x=x 和x=x 时，ax2+bx+c=0.
1 2
x>x 或x<x 时ax2+bx+c>0.
2 1
x<x<x 时，ax2+bx+c<0.
1 2
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：怎样利用函数图象，求相应方程的近似根.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x,0），(x2,0)（x＜x2），则：
1 1
（1）当x=x 和x2时，ax2+bx+c=0；
1
（2）当x＞x2或x＜x 时，ax2+bx+c＞0；
1
（3）当x＜x＜x2时，ax2+bx+c＜0.
1
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？对哪些内容的学习感到
困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时对于一元二次方程与二次函数的关系作了重点论
述，教学过程中向学生讲述数形结合思想的重要性，把解一元二次方程用图形的形式表示出
来.教师应让学生体验过程，反过来，确定二次函数与x轴的位置关系，也可由一元二次方程
的根的情况得到.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分) 已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关
于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（B）
A.x=1，x=-1 B.x=1，x=2 C.x=1，x=0 D.x=1，x=3
1 2 1 2 1 2 1 22.(10分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)，(3，0)，则这条抛物线的对称轴是
（C）
A.直线x=-1B.直线x=0C.直线x=1D.直线x=3
3.(10分）抛物线y=-2(x+4)(x-2)与x轴的两个交点坐标为 （ - 4 ， 0 ），（ 2 ， 0 ） .
4.(10分）抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是（ - 2 ， 4 ），（ 3 ， 4 ），与y轴的交点坐标是
（0，-2）.
5.(30分）在图中画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答
(1)方程x2-2x-3=0的解是什么;
(2)x取什么值时,函数值大于0;
(3)x取什么值时,函数值小于0.
解：图象如图所示.
（1）方程x2-2x-3=0的解为x=-1,x=3.
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（2）x>3或x<-1时，函数值大于0.
（3）-1<x<3时，函数值小于0.
二、综合应用（20分）
6.（20分）一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位：m)与水
平距离x(单位：m)之间的关系是 .
(1)画出函数的图象；
(2)观察图象,指出铅球推出的距离.
解：（1）如图所示.
（2）由图象可知，铅球推出的距离为10m.
三、拓展延伸（10分）
7.（10分）把下列各题中解析式的编号①②③④与 图
象的编号A、B、C、D对应起来．
① y=x2+bx+2； ②y=ax（x-3）； ③y=a（x+2）
（x-3）； ④y=-x2+bx-3．A. ① ； B． ④ ； C． ③ ； D． ② .
