文档内容
专题 22.1 二次函数及 y=ax²（a≠0）的图象与性质
目 录
一.知识梳理与题型精析........................................................................................................................1
知识点（一）二次函数的定义.............................................................................................................1
【题型1】二次函数的定义..................................................................................................................1
【题型2】列二次函数的关系式..........................................................................................................2
知识点（二）二次函数 的图象画法............................................................................2
【题型3】画二次函数 的图象.....................................................................................2
知识点（三）二次函数 的图象和性质........................................................................3
【题型4】二次函数 的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值.................................4
【题型5】二次函数 的增减性.....................................................................................4
【题型6】二次函数 的对称性.....................................................................................5
【题型7】二次函数 的图象与性质综合.....................................................................5
【题型8】二次函数 的图象和性质与几何综合.........................................................6
二．同步练习.........................................................................................................................................7
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）..................................................................7
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）..................................................................9
一.知识梳理与题型精析
知识点（一）二次函数的定义
一般地，形如 的函数，叫做二次函数，其中 是
自变量， 为分是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【题型1】二次函数的定义【例题1】 （24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数 是二次函数．
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的值．
【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于 的函数 是二次函数，
则 的值为（ ）
A．0 B．2 C． 或2 D．
【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数 的二次项是 ，一次
项系数是 ，常数项是 ．
【题型2】列二次函数的关系式
【例题1】（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价 （元/件）
与日销量 （件）满足 ．
（1）求日销售利润 （元）与 （元/件）的函数关系式；（不要求写 的取值范围）
（2）在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价 的取值范围．
（3）在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？
【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学
校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平
方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米
宽的缺口作小门，若设 米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是
13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设
降价后售价为 元，每天利润为 元，则 与 之间的函数关系为 ．
知识点（二）二次函数 的图象画法一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
【题型3】画二次函数 的图象
【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中画出 的图象并简单描述其性
质．
【变式1】（22-23八年级·全国·假期作业）通过列表、描点、连线的方法画函数 的图象．
【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系中，画出函数 ，
， 与 的图象．
（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：
①由图象可知抛物线 与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对
称；同样，抛物线 与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称．
②当 相同时，抛物线开口大小___________；当 变大时，抛物线的开口___________；当 变小时，抛物线的开口___________．
应用：抛物线 与 中，开口较小的抛物线是___________．
知识点（三）二次函数 的图象和性质
通过例题2及其变式的二次函数图象我们可以得出以下结论：
（1）开口方向： 的图象是一条抛物线，当 0时，开口向上，当 0时，开口向
下， 的越大，开口越小，反之越大；
（2）增减性： 的图象是轴对称图形，对称轴是 轴，①当 0时，在对称轴左侧
（ ）， 随 增大而减小，在对称轴右侧（ ）， 随 增大而增大；②当 0时，在对
称轴左侧（ ）， 随 增大而增小，在对称轴右侧（ ）， 随 增大而减大；
（3）最大（小）值：图象与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，当 0时,有最低点，这时函数
有最小值，当 0时，有最高点，这时函数有大值；从 图象可以看出，它的顶点坐
标为（0，0）.
【题型4】二次函数 的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值
【例题4】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（2）求m的值；
【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线 ，则以下说法中，错误的是
（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当 时，y有最大值为0
【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数
的图象如图所示，则 的大小关系为 ．【题型5】二次函数 的增减性
【例题5】 （2025·广东潮州·一模）已知点 ， ， 都在二次函数 的
图象上，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当 时，函数 的最大值与最小值的和
为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知 的图象上有三点 ， ，
，且 则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】二次函数 的对称性
【例题6】 （22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数 ，当 取
时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 ．
【变式1】（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数 ，当 取
时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 ．【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线 ，正方形 的顶点
在抛物线上，顶点 在 轴上，求点 的坐标．
【题型7】二次函数 的图象与性质综合
【例题7】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线 ，给出下列说法：①抛物线开口
向下，顶点是 ；②当 时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线 ；④当
时， ；⑤若 、 是该抛物线上两个不同的点，则 ．其中正确
的说法有 ．（填序号）
【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口方向是向下 B．当 时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线 D．当 时，y有最大值，最大值是0
【变式2】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）关于抛物线 ，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是 ．
②当 时， 随 的增大而减小．
③当 时， ．
④若 是该抛物线上两个不同的点，则 ．
其中正确的说法有 ．（填序号）
【题型8】二次函数 的图象和性质与几何综合
【例题8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点 的直线交抛物线 于点F，D，过点F的直线 交抛物线于另一点E，则直线 过定点，求这个定点的坐标．
【变式1】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形 中， ，点A、B在抛
物线 上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和 ，b的值为 ．
【变式2】（2022·广东东莞·一模）观察规律 ，运用你观察
到的规律解决以下问题：如图，分别过点 作 轴的垂线，交 的图
象于点 ，交直线 于点 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．二．同步练习
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ，当 时，y随x增大而减小，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数 的性质，说法不正确的是（ ）
A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴
C．当 时，y随x的增大而减小 D．有最大值
4．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点 、 、 、 ，若抛物线
与四边形 的边没有交点，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或6．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线 的第
一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线 与 的形状相同，开口方向相反，则
．
8．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知点 在抛物线 上，则 的大小
关系是 ．
9．（22-23九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数 开口向上，且 ，则
．
10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）二次函数 ，当 时，则 的取值范围是
．
11．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 和点 ，若
抛物线 与线段 恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
12．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数 的图象如图所示，点 为坐标原点，点
在 轴的正半轴上，点 、 在函数图象上，四边形 为菱形，且 ，则点 的坐标
为 ．三、解答题
13．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知 是关于 的二次函数．
（1）求 值；
（2）若 ，直接写出 的取值范围．
14．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知 是关于x的二次函数．
（1）若函数图象有最低点，求k的值；
（2）判断点 是否在（1）中的函数图象上．
15．（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线 与直线 交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求抛物线 与直线 的两个交点 ， 的坐标（点 在点 右侧）．
16．（21-22九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，直线 与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2
交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
（1）求a，b的值；
（2）连接OC、OB，求△BOC的面积．
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是 轴
C．有最高点 D． 随 的增大而增大
3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线 与直线 围成的封闭图形内部有k个
整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点
的坐标是 ，连接 ，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形 的顶点O，A，C在抛物线 上，
其中点O为坐标原点，对角线 在y轴上，且 ．则菱形 的面积是（ ）A． B． C． D．
6．（2023·四川达州·二模）如图，已知点 在函数 位于第二象限的图像上，点
在函数 位于第一象限的图像上，点 在 轴的正半轴上，若四边形
都是正方形，则正方形 的边长为（ ）
A．1012 B． C． D．
二、填空题
7．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）二次函数 的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它
的函数解析式是 ．
8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形 是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，
点B在y轴上，则 的长为 ．9．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴的负半轴上，抛物线
过点 ．若 ，则 ．
10．（21-22九年级上·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（ ，2）在抛物线
y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线
内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为 ．
11．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，
作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣
PH是个定值，则这个定值为 ．
12．（19-20九年级下·吉林·阶段练习）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直
角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x 的“完美三角
形”斜边AB的长 ．
三、解答题
13．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知 是二次函数，且当 时， 随
的增大而增大．
（1）求实数 的值；
（2）写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
14．（21-22九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线
上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．
15．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数 的图像经过点 ．
（1）求出这个函数关系式；
（2）写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点C，使得 的面积等于 面积的2倍？如果存在，求出点C
的坐标；如果不存在，请说明理由．16．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，
与 轴于点 ，其中点 的坐标为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上．
