专题22.1 二次函数的图像和性质
（知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： y=ax²图像和性质.....................................................2
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质................................................2
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质.............................................3
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质.........................................3
知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质....................................3
知识点梳理06：比较函数值大小的方法.................................................4
知识点梳理07：二次函数平移的方法...................................................4
知识点梳理08：求对称轴的方法.......................................................4
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法.............................................5
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题...................................................5
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法.........................................5
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围...........................................5
优选题型 考点讲练......................................................................5
考点1：列二次函数关系式............................................................5
考点2：根据二次函数的定义求参数....................................................7
考点3：y=ax²的图象和性质..........................................错误！未定义书签。
考点4：y=ax²+k的图象和性质.......................................................11
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质....................................................13
考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质..................................................14
考点7：二次函数图象的平移.........................................................16
考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式....................................................18
考点9：画y=ax²+bx+c的图象........................................................20
考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质...................................................24
考点11：二次函数图象与各项系数符号................................................27
考点12：一次函数、二次函数图象综合判断............................................29
考点13：两个二次函数图象综合判断..................................................30考点14：根据二次函数的图象判断式子符号............................................32
考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴............................................35
考点16：根据二次函数的对称性求函数值..............................................37
考点17：y=ax²+bx+c的最值.........................................................39
考点18：利用二次函数对称性求最短路径..............................................42
考点19：待定系数法求二次函数解析式................................................45
考点20：线段周长问题（二次函数综合）..............................................47
考点21：面积问题（二次函数综合）..................................................51
考点22：角度问题（二次函数综合）..................................................54
考点23：特殊三角形问题（二次函数综合）............................................62
考点24：特殊四边形问题（二次函数综合）............................................65
考点25：其他问题（二次函数综合）..................................................69
中考真题 实战演练.....................................................................72
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................78
基础夯实..........................................................................78
培优拔高..........................................................................81
知识点梳理01： y=ax²图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x
a>0 向上 (0，0) y轴
的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x
a<0 向下 (0，0) y轴
的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而
a>0 向上 (0，c) y轴
减小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而
a<0 向下 (0，c) y轴
增大；x=0时，y有最大值c．
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x的增大而
a>0 向上 (ℎ，0) X=h
减小；x=ℎ时，y有最小值0．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x的增大而
a<0 向下 (ℎ，0) X=h
增大；x=ℎ时，y有最大值0．
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x
a>0 向上 (ℎ，k) X=h
的增大而减小；x=ℎ时，y有最小值k．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x
a<0 向下 (ℎ，k) X=h
的增大而增大；x=ℎ时，y有最大值k．知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−ℎ) 2+k的形式，其中ℎ=− ，k= .
2a 4a
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）:
顶点坐标是（﹣ ， ），
对称轴直线x＝﹣ ，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向
上或向下平移| |个单位得到的．
知识点梳理06：比较函数值大小的方法
①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较；②性质法，利用函数的增减性比较；
③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较
知识点梳理07：二次函数平移的方法
平移原则上加下减，左加右减；
注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第
一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。
知识点梳理08：求对称轴的方法
①已知两对称点的坐标，求对称轴；
②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标
方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法
根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题
·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式
·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c.
①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)；
②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数)
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法
①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；
②二次函数的顶点式：
Y＝a(x-h)²＋k(a≠0);
③二次函数的双根式：
y=a(x-x1)(x－x2)
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围
表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围.
一般步骤：第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；
第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。
考点1：列二次函数关系式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−1)，
点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l ，过点M作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P，
1 2 1 2
改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是(x,y)，则y关于x的函数解析式为
．
1 1
【答案】y=− x2−
2 2
【思路引导】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接AP，过A点作AN⊥PM
交于点N，可知PA=PM=−y，PN=−1−y，AN=x，在Rt△ANP中由勾股定理即可求解．
【规范解答】解：如图，连接AP，过A点作AN⊥PM交于点N，
∵ AM l
1
线段 的垂直平分线为 ，
∴AP=PM，
∵点P的坐标是(x,y)，
∴PA=PM=−y，PN=−1−y，AN=x，
在Rt△APN中，根据勾股定理得：AP2=AN2+PN2，∴ y2=x2+(−1−y) 2，
1 1
∴ y=− x2− ，
2 2
1 1
故答案为：y=− x2− ．
2 2
【变式训练】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的
一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然线段Rt△CGD的面积y是线段长
度x的函数，这个函数的表达式是 ．
❑√3
【答案】y= (1−x) 2
2
【思路引导】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形
的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出
∠CDG=30°，根据直角三角形的性质得DC=2GC，再由勾股定理可得DG=❑√3GC，然后等边
△ABC的边长为1，BG=x得GC=1−x，DG=❑√3(1−x)，据此可得出函数的表达式．
【规范解答】解：如图，连接BD，
∵△ABC
为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG=30°，
在Rt△DCG中，∠CDG=30°，
∴DC=2GC，
由勾股定理得：DG=❑√DC2−GC2=❑√3GC，∵等边△ABC的边长为1，BG=x，
∴GC=BC−BG=1−x，
∴ DG=❑√3(1−x)，
1 1 ❑√3
∴y= CG⋅DG= ×❑√3(1−x) 2= (1−x) 2 ，
2 2 2
❑√3
故答案为：y= (1−x) 2 ．
2
考点2：根据二次函数的定义求参数
(
4m+4) m+2
【典例精讲】（2024·广东广州·一模）已知A= m+ ÷ ．
m m2
(1)化简A；
(2)若点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，求A的值．
【答案】(1)m2+2m
(2)3
【思路引导】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函
数的性质是解题的关键．
（1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；
（2）再把点(m,0)代入得到m2+2m−3=0，则m2+2m=3，整体代入化简的A中计算即可．
(
4m+4) m+2
【规范解答】（1）解：A= m+ ÷
m m2
(m2 4m+4) m+2
= + ÷
m m m2
m2+4m+4 m+2
= ÷
m m2
(m+2) 2 m2
= ⋅
m m+2
=m(m+2)
=m2+2m；
（2）解：∵点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，∴m2+2m−3=0
∴m2+2m=3
∴A=m2+2m=3．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
【答案】(1)y=−2x+5或y=−4x+5
(2)y=2x2−2x+5
【思路引导】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式．
（1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可；
（2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可．
【规范解答】（1）解：∵函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5为一次函数，
∴k2+1=1，或k+1=0，
∴ k=0，或k=−1
当k=0时函数y=(0+1)x02+1+(0−3)x+5=−2x+5，
当k=−1时函数y=(−1+1)x(−1)2+1+(−1−3)x+5=−4x+5，
∴此一次函数解析式为y=−2x+5或y=−4x+5；
（2）解：∵x的函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5为二次函数．
∴k2+1=2，且k+1≠0
解得：k=1，
当k=1时，y=(1+1)x2+(1−3)x+5=2x2−2x+5，
∴函数的解析式y=2x2−2x+5．
考点3：y=ax²的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别
1 1
交抛物线y=x2(x≥0)和抛物线y= x2(x≥0)于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y= x2 于点
4 4BD
C，过点B作BD∥x轴交抛物线y=x2于点D，则 的值为 ．
AC
1
【答案】
2
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设A(m,m2)，则B
(
m,
1 m2)
，根据题意得出
4
C(2m,m2)，D
(1
m,
1 m2)
，即可求得BD=m−
1
m=
1
m，AC=2m−m=m，从而求得
BD
=
1
．
2 4 2 2 AC 2
【规范解答】解：设A(m,m2)，则B
(
m,
1 m2)
，
4
1
∵AC∥x轴交抛物线y= x2 于点C，BD∥x轴交抛物线y=x2于点D，
4
∴C(2m,m2)，D
(1
m,
1 m2)
，
2 4
1 1
∴BD=m− m= m，AC=2m−m=m，
2 2
1
m
BD 2 1，
∴ = =
AC m 2
1
故答案为： ．
2
【变式训练】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛
物线y=x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．【答案】2
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角
形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入y=x2即可求解，构造全等三角形解题是关键．
【规范解答】解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AD⊥y轴于D，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，则AC=BC，
∵A、B两点的横坐标分别为1和b(b >1)，
∴AD=1，BE=b，
∵点A、B在抛物线y=x2上，
∴A(1,1)，B(b,b2)，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∴△BEC≌△CDA(AAS)，
∴CE=AD=1，CD=BE=b，
∴OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b，
∴b2=2+b，
整理b2−b−2=0，
解得：b=2或−1（舍去），
∴b的值为2，故答案为：2．
考点4：y=ax²+k的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线y=−x2+4．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：
(2)该抛物线y=−x2+4可由抛物线y=−x2向______平移______个单位得到；
(3)当−1≤ y≤3时，x的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)上，4
(3)−❑√5≤x≤−1或1≤x≤❑√5
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题的关键．
（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为(0,4)，经过点(−1,3)，(1,3)，(−2,0)，(2,0)，即可
画出大致图象；
（2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；
（3）先求得y=−1和y=3时，x的值，然后结合（1）中图象即可得出结论．
【规范解答】（1）解：∵y=−x2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为(0,4)，开口向下，
令y=0，则x=±2，即该抛物线经过点(−2,0)，(2,0)，
令y=3，则x=±1，即该抛物线经过点(−1,3)，(1,3)，
所以此抛物线的大致图象如下图即为所求：（2）解：由上加下减的原则可得，y=−x2向上平移4个单位可得出y=−x2+4．
故答案为：上，4．
（3）解：当y=−1时，−x2+4=−1，解得x=±❑√5，
当y=3时，−x2+4=3，解得x=±1，
结合（1）中图象可知，当−1≤ y≤3时，x的取值范围为：−❑√5≤x≤−1或1≤x≤❑√5．
故答案为：−❑√5≤x≤−1或1≤x≤❑√5．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点
y −y
M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )，将 1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知
1 1 2 2 1 2 x −x MN
1 2
二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当
1 1 2 2 1 2
x >x ≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
2 1 MN
【答案】a≥1/1≤a
【思路引导】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得a(x +x )>2，可得
1 2
2
x +x > ，再结合x >x ≥1进一步解答即可．
1 2 a 2 1
【规范解答】解：由题意可得：y =ax 2+1，y =ax 2+1，
2 2 1 1
y −y ax 2+1−ax 2−1 a(x +x )(x −x )
∴ 1 2= 1 2 = 1 2 1 2 =a(x +x )，
x −x x −x (x −x ) 1 2
1 2 1 2 1 2
∵k >2，
MN∴a(x +x )>2，
1 2
2
∴x +x > ，
1 2 a
∵x >x ≥1，
2 1
2
∴ ≤2，而a>0，
a
∴a≥1；
故答案为：a≥1
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线x=c交抛物线y =−(x−a) 2 于点
1
A(c,m)，交抛物线y =−(x−b) 2 于点B(c,n)，下列结论：①若a>b>c，则m<n，②若b>a>c，则
2
m<n，③若c>b>a，则m<n，④若a>c>b，则m<n；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较m,n的大小
关系是解题的关键．由抛物线y =−(x−a) 2 经过点A(c,m)可得m=−(c−a) 2，同理可得n=−(c−b) 2，利
1
用因式分解的知识得到m−n=(a−b)(2c−a−b)，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论．
【规范解答】解：∵抛物线y =−(x−a) 2 经过点A(c,m)，
1
∴m=−(c−a) 2，
同理可得：n=−(c−b) 2，
∴m−n=−(c−a) 2+(c−b) 2=(a−b)(2c−a−b)，
若a>b>c，则a−b>0，2c−a−b<0，
∴m−n<0，即m<n，故①正确；
若b>a>c，则a−b<0，2c−a−b<0，
∴m−n>0，即m>n，故②不正确；若c>b>a，则a−b<0，2c−a−b>0，
∴m−n<0，即m<n，故③正确；
若a>c>b，则a−b>0，而无法判断2c−a−b的正负性，故无法判断m与n的大小关系，故④不正确；
∴综上所述，其中正确的是①③，有2个．
故选：B．
【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形ABC的边长为1，动点D从点B开始沿边
BC向点C移动，过点D作AB边的垂线，交AB于G，连接AD．
(1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）；
(2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律．
【答案】(1)见解析
(2)答案不唯一，见解析
【思路引导】本题考查等边三角形的性质，常量与变量，二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）答案不唯一比如线段BD，线段BG，线段DG；
（2）根据特殊三角形两边之间的关系解答即可．
【规范解答】（1）解：变量有线段BD的长，线段CD的长，线段BG的长，线段AG的长，线段DG的长，
线段AD的长，△BDG的面积，△ADG的面积，△ADB的面积，△ACD的面积，∠ADG的度数，
∠DAG的度数，∠CDA的度数，∠CAD的度数．
（2）解：答案不唯一，例如选取线段AG的长与△BDG的面积两个变量．
1
设线段AG的长为x，△BDG的面积为y，则自变量x的取值范围为 <x<1，
2
在Rt△BDG中，BG的长度为(1−x)，斜边DB的长度为2(1−x)，
根据勾股定理可得DG=❑√BD2−BG2=❑√3(1−x)．
❑√3
所以面积函数的表达式为y= (x−1) 2 ，
2
由二次函数的性质可知变化规律为：面积y随线段x的增大而减小．考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质
【典例精讲】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线C :y=−(x+1) 2+2平移到抛物线
1
C :y=−(x−2) 2−1，点P(m,n )，Q(m,n )分别在抛物线C ，C 上．下列结论：①无论m取何值，都有
2 1 2 1 2
n <0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=3❑√2；③当−3<m<1时，线段PQ的长随着m的增大而减
2
小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，
一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
求得抛物线C 的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线C :y=−(x+1) 2+2向右平移3个单
2 1
位，向下平移3个单位得到抛物线C :y=−(x−2) 2−1，即可求得P平移后的对应点为P′的最短路程为
2
❑√32+32=3❑√2，即可判断②对；由PQ=|−(m+1) 2+2+(m−2) 2−1)=|−6m+6)可知当−3<m<1时，
PQ=−6m+6，根据一次函数的性质即可判断③对．
【规范解答】解：∵抛物线C :y=−(x−2) 2−1开口向下，顶点为(2,−1)，
2
∴无论m取何值，都有n <0，故①对；
2∵将抛物线C :y=−(x+1) 2+2的顶点为(−1，2)，抛物线C :y=−(x−2) 2−1开口向下，顶点为
1 2
(2，−1)，
∴将抛物线C :y=−(x+1) 2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C :y=−(x−2) 2−1，
1 2
∴点P平移后的对应点为P′的最短路程为❑√32+32=3❑√2，故②对；
∵ PQ=|−(m+1) 2+2+(m−2) 2−1)=|−6m+6)，当−3<m<1时，PQ=−6m+6，PQ随着m的增大而
减小，
∴当−3<m<1时，随着m的增大，线段PQ变短，故③对．
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 y=(x+1) 2+m−3．
(1)若此抛物线的顶点在直线 y=2x+6上，求m的值；
(2)若点 A(a,y )与点B(3,y )在此抛物线上，且y <y ，直接写出a的取值范围.
A B A B
【答案】(1)m=7
(2)−5<a<3
【思路引导】（1）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为(−1,m−3)，再代入一次函数解析式解
答即可求解；
（2）根据抛物线的对称性可得点B(3,y )关于抛物线对称轴的对称点为(−5,y )，进而根据二次函数的
B B
性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【规范解答】（1）解：∵抛物线 y=(x+1) 2+m−3，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,m−3)，
∵此抛物线的顶点在直线 y=2x+6上，
∴m−3=−2+6，
解得m=7；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为(−1,m−3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∴点B(3,y )关于抛物线对称轴的对称点为(−5,y )，
B B
∵抛物线开口向上，
∴当−5<a<3时，y <y ．
A B
考点7：二次函数图象的平移
1
【典例精讲】（2025·广西南宁·三模）已知点A(−4,8)和点B(2,n)在抛物线y= x2 上，沿x轴向左平
2
移该抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，C(−2,0)是x轴上的一个定点．当
A′C+CB′最短时，此时抛物线的解析式为 ．
1( 14) 2
【答案】y= x+
2 5
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可
1
求出B(2,2)，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y= (x+m) 2 ，
2
A′(−4−m,8)，B′(2−m,2)，作点A′(−4−m,8)关于x轴的对称点E，连接CE，B′E，则
E(−4−m,−8)，可推出当B′ 、C、E三点共线时，EC+CB′有最小值，即此时A′C+CB′有最小值，
利用点B和点C坐标求出直线B′E解析式为y=kx+b，再把点E坐标代入直线B′E解析式中计算求解即可．
1 1
【规范解答】解：在y= x2 中，当x=2时，y= ×22=2，
2 2
∴B(2,2)，
1
设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y= (x+m) 2 ，
2
A′(−4−m,8)，B′(2−m,2)，
作点A′(−4−m,8)关于x轴的对称点E，连接CE，B′E，则E(−4−m,−8)，∴A′C=EC，
∴A′C+CB′=EC+CB′，
∴当B′ 、C、E三点共线时，EC+CB′有最小值，即此时A′C+CB′有最小值，
设直线B′E解析式为y=kx+b，
{(2−m)k+b=2)
∴ ，
−2k+b=0
2
{ k= )
4−m
∴ ，
4
b=
4−m
2 4
∴直线B′E解析式为y= x+ ，
4−m 4−m
2 4
∴−8= (−4−m)+ ，
4−m 4−m
14
解得m= （已检验），
5
1( 14) 2
∴平移后的抛物线解析式为y= x+ ，
2 5
1( 14) 2
故答案为：y= x+ ．
2 5
1
【变式训练】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线y=− x2+2沿y轴向下平移一段距离
21
后，得到一条新的抛物线y=− x2−2；若曲线段AD平移至曲线段BC，曲线段AD所扫过的为阴影部分，
2
则阴影部分的面积是 ．
【答案】16
【思路引导】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四
1
边形ABCD是平行四边形，根据y=− x2+2求出线段AD的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后
2
根据平行四边形的面积公式求解即可．
【规范解答】解：连接BC，由平移的性质可知四边形ABCD是平行四边形，
1
当y=0时，0=− x2+2，
2
解得x =−2,x =2，
1 2
∴AD=4．
1 1
∵y=− x2+2的顶点坐标为(0,2)，y=− x2−2的顶点坐标为(0,−2)，
2 2
∴抛物线向下平移了4个单位长度，
∴阴影部分的面积是4×4=16．
故答案为：16．考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线y=ax2−2ax+1的顶点在x轴上．
(1)求a的值；
(2)抛物线上两点A(m,y )，B(n,y )．若m<n<1，则y ______y （填“>”、“<”或“=”）；
1 2 1 2
(3)若点C(t,y )，D(t+2,y )为抛物线上的两点，且y >y ，求出t的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)a=1
(2)>
(3)t<0
【思路引导】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
（1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案；
（2）首先得到抛物线对称轴为直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到|t−1)>|t+2−1)，进而求解
即可．
【规范解答】（1）∵y=ax2−2ax+1=a(x−1) 2−a+1，
∵抛物线y=ax2−2ax+1的顶点在x轴上，
∴−a+1=0，
∴a=1；
（2）∵a=1，
∴y=x2−2x+1=(x−1) 2，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线上两点A(m,y )，B(n,y )，m<n<1，
1 2
∴y >y ；
1 2
（3）∵点C(t,y )，D(t+2,y )为抛物线上的两点，且y >y ，
1 2 1 2∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴|t−1)>|t+2−1)，
∴(t−1) 2>(t+1) 2
∴t2−2t+1>t2+2t+1
解得t<0．
【变式训练】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数
y=x2−2ax+2a2−a的顶点为P．
（1）点P的坐标为 （用含字母a的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数y′，若a≥−1，则该抛物线
顶点P纵坐标的最小值为 ．
25
【答案】 (a,a2−a) −
4
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次
函数的顶点式和增减性是解本题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为y=a2−a，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合a的取值
范围求出该抛物线顶点P纵坐标的最小值即可．
【规范解答】解：（1）∵y=x2−2ax+2a2−a=x2−2ax+a2+a2−a=(x−a) 2+a2−a，
∴顶点P的坐标为(a,a2−a)．
故答案为：(a,a2−a)；
（2）原抛物线顶点纵坐标为y=a2−a= ( a− 1) 2 − 1 ，
2 4
将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有：
y′= ( a− 1) 2 − 1 −6= ( a− 1) 2 − 25 ，
2 4 2 4
1 (1 25)
此函数图象开口向上，对称轴为a= ，顶点坐标为 ,− ，
2 2 4∵a≥−1，
1 25
∴当a= 时，y′有最小值，为− ，
2 4
25
即该抛物线顶点P纵坐标的最小值为− ，
4
25
故答案为：− ．
4
考点9：画y=ax²+bx+c的图象
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2x+3．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：当−1<x<2时，y的取值范围是______；
(3)设A(−1,0)，B(2,3)，过点(0,t)与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P(x ,y )，Q(x ,y )．其中
1 1 2 2
x <x ，与直线AB交于点N(x ,y )，若x <x <x ，直接写出t的取值范围______．
1 2 3 3 1 3 2
【答案】(1)3，4，0；函数图象见解析
(2)0<y≤4
(3)0<t<3
【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键．
（1）将x的值代入解析式，求出y值，填表，进而画出函数图象即可；
（2）图象法进行求解即可；（3）图象法进行求解即可．
【规范解答】（1）解：∵y=−x2+2x+3，
∴x=0时，y=3；x=1时，y=4，x=3时，y=0，
描点、连线、绘制函数图象如下：
故答案为：3，4，0；
（2）解：观察函数图象知，当−1<x<2时，y的取值范围是0<y≤4，
故答案为：0<y≤4；
（3）解：根据图象，当直线y=t在点A和B之间时满足x <x <x ，
1 3 2
∴t的取值范围为0<t<3，
故答案为：0<t<3．
【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和
y满足如表：
x … 0 1 2 3 4 5 …y … 3 0 −1 0 m 8 …
(1)可求得m的值为 ；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象，并根据图像写出当0<x<2时y的取值范围．
【答案】(1)3
(2)y=x2−4x+3
(3)图见解析，−1<y<3
【思路引导】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要
根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象性质．
（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当x=4和x=0所对应的函数值相等，从而得到m的值；
（2）设交点式y=a(x−1)(x−3)，然后把把(0,3)代入得求出a的值即可；
（3）描点作图，由函数图象可直接得到y的取值范围．
【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点(1,0)和(3,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x=4和x=0所对应的函数值相等，
∴m=3；
故答案为：3；
（2）解：设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)，
把(0,3)代入得3=a×(0−1)×(0−3)，
解得a=1，
∴y=(x−1)(x−3)，
即抛物线解析式为y=x2−4x+3；
（3）解：如图：由图象可得，当0<x<2时，−1<y<3．
考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=120∘，
现将一条垂直于对角线AC的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交AD或DC于点
M，交AB或BC于点N，设△AMN的面积为S（当直线l过点A或点C时，规定S=0），运动时间为t，
则S关于t的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】设MN交AC于点E，分0≤t≤2和2<t≤4，两种情况求出S关于t的函数解析式，进行判断即
可．
【规范解答】解：设MN交AC于点E，
∵菱形ABCD中，∠DAB=120°，AB=AD=BC=CD=4，∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度由点A向点C匀速平移，直线l⊥AC，
∴AM=AN；运动时间为t时，AE=t，
当0≤t≤2时，
∵直线l⊥AC，
∴∠AEM=90°，MN=2ME，
∴∠AME=90°−60°=30°，
∴AM=2AE=2t，
∴ME=❑√AM2−AE2=❑√3t，
∴MN=2ME=2❑√3t，
1
∴S = MN⋅AE，即：S=❑√3t2，
△AMN 2
∴图象是开口向上的抛物线的一段；
当2<t≤4时，AE=t，则：CE=AC−AE=4−t，
∵直线l⊥AC，
∴∠AEM=90°，
∵∠ACD=60°，∴∠CME=90°−60°=30°，
∴CM=2CE=8−2t，
∴ME=❑√CM2−CE2=❑√3(4−t)，
∴MN=2ME=−2❑√3t+8❑√3，
1
∴S = MN⋅AE，即：S=−❑√3t2+4❑√3t，
△AMN 2
图象为开口向下的抛物线的一段；
综上：符合题意的只有D选项；
故选：D．
【考点评析】本题考查动点的函数图象．菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形
的性质，熟练掌握菱形的性质，正确求出函数解析式，是解题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，函数值y与
自变量x之间满足下列数量关系：
…
x 0 1 2 3 ……
…
…
y −3 −1 −3 −9 ……
…
当−1≤x≤2时，函数值y的最大值记为m，最小值记为n，则m−n= ．
【答案】8
【思路引导】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据表格所给数据画出函数图象，运用函数图象与性
质确定m,n的值即可解答．
【规范解答】解：根据表格所给数据画出函数图象，如图，
可得函数图象开口向下，顶点坐标为(1,−1)，对称轴为直线x=1，
∴当−1≤x≤2时，函数值y的最大值m=−1；当x=−1和x=3时，函数值y相等，∴当x=−1时，函数值y的最小值n=−9；
∴m−n=−1−(−9)=8，
故答案为：8．
考点11：二次函数图象与各项系数符号
【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①
y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a,b,c,d的大小关系为（ ）
A．a>b>c>d B．a>b>d>c
C．b>a>c>d D．b>a>d>c
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数y=ax2的性质：①抛物线y=ax2的开口大小由|a)决定，|a)越大，抛物
线的开口越窄，|a)越小，抛物线的开口越宽；②抛物线y=ax2的开口方向由a决定，当a>0时，抛物线开
口向上，当a<0时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出a,b,c,d的大小关系．
【规范解答】∵抛物线y=ax2、y=bx2开口向上，
且抛物线y=ax2的开口更窄，
∴a>b>0，
∵抛物线y=cx2、y=dx2开口向下，
且抛物线y=dx2的开口更窄，
∴d<c<0，
∴a>b>c>d．
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则下列结论中错误的是（ ）A．abc>0 B．当x>4时，y>0
C．a−b+c=0 D．2a−b=0
【答案】D
【思路引导】本题考查了图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数之间的关系，二次函数系数符号由抛
物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对
称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可．
【规范解答】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线对称轴为x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故选项D错误，符合题意；
∴b<0，
∵抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故选项A正确，不符合题意；
∵抛物线与 x 轴一个交点为 (3,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 (−1,0) ，
∴x>3 时 y>0，
∴x>4时 y>0，故选项B正确，不符合题意；
当 x=−1 时，y=a(−1) 2+b×(−1)+c=a−b+c，
∵抛物线与 x 轴的交点为 (−1,0) ，
∴a−b+c=0，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．考点12：一次函数、二次函数图象综合判断
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系xOy中，点A(m,n)为抛物线
y=ax2−(a+1)x−3(a>0)上一点．当0<m≤4时，点A关于x轴的对称点始终在直线y=−x+3的上方，
则a的取值范围是 ．
2
【答案】0<a<
3
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点
的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
求得直线y=−x+3，当x=4时的函数值为−1，根据题意当x=4时，抛物线的函数值小于1，得到关于a
的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．
【规范解答】解∶直线y=−x+3中，当x=4时，y=−x+3=−1，
∵A(m,n)关于x轴的对称点始终在直线y=−x+3的上方，
∴当x=4时，n<1，
∴16a−4(a+1)−3<1，
2
解得a< ，
3
2
∴a的取值范围是0<a< ，
3
2
故答案为∶ 0<a< ．
3
【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期末）二次函数y=ax2−2ax−3(a≠0)的图象经过点A．
(1)求二次函数的对称轴；(2)当点A坐标为(−1,0)时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图像与直线y=x+1的交点坐标．
【答案】(1)直线x=1
(2)①y=x2−2x−3②(−1,0)和(4,5)
【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，解
题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）①用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可．
②联立一次函数与二次函数解析式求解即可．
【规范解答】（1）解：由题意得：二次函数y=ax2−2ax−3(a≠0)的对称轴为：
−2a
直线x=− =1．
2a
（2）解：将点A(−1,0)代入二次函数得：0=a+2a−3，
解得：a=1，
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x−3．
{y=x2−2x−3)
②联立方程组 ，
y=x+1
{x =−1) {x =4)
解得： 1 或 1 ，
y =0 y =5
1 1
则二次函数图像与直线y=x+1的交点坐标为(−1,0)和(4,5)，
考点13：两个二次函数图象综合判断
【典例精讲】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数y =ax2+bx+c，y =cx2+bx+a（a，b，
1 2
c是实数，ac<0）．
(1)若a=−1，函数y 的对称轴为直线x=1，且函数y 的图象经过点(1,0)，求b，c的值．
1 1
(2)设函数y 的最大值为m，函数y 的最小值为n，若a+c=0，求证：m+n=0．
1 2
(3)若函数y 的图象与函数y 的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：b<0．
1 2
【答案】(1)b为2，c为−1
(2)证明见解析(3)证明见解析
【思路引导】（1）根据a=−1，对称轴x=1，求出b的值，再把点(1,0)代入函数y =ax2+bx+c即可求出
1
c的值；
（2）根据顶点坐标公式得出m和n，再利用a+c=0得出m+n=0；
（3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可．
【规范解答】（1）解：∵函数y 的对称轴为直线x=1，a=−1
1
b
∴− =1，
2×(−1)
∴b=2，
∵函数y 的图象经过点(1,0)，
1
∴(−1)×12+2+c=0，
∴c=−1；
（2）∵函数y 的最大值为m，
1
4ac−b2
∴a<0，m= ，
4a
∵函数y 的最小值为n，
2
4ac−b2
∴c>0，n= ，
4c
4ac−b2 4ac−b2 (4ac−b2)(a+c)
∴m+n= + = ，
4a 4c 4ac
∵a+c=0，
∴m+n=0；
（3）∵函数y 的图象与函数y 的图象的两个交点分别在二、四象限，且ac<0，
1 2
①若a<0，c>0，
b b
则− <− ，
2a 2c
b(a−c)
即 <0，
2ac
∵ac<0，(a−c)<0，
∴b<0，
②若a>0，c<0，b b
则− >− ，
2a 2c
b(a−c)
即 >0，
2ac
∵ac<0，(a−c)>0，
∴b<0，
综上可知，b<0．
【考点评析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是
解题的关键．
1
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝
4
1
x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于
4
BD
点D，则 的值为（ ）
AC
1 ❑√2 1 ❑√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】C
1 1 1
【思路引导】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可求得BD
4 2 4
1 1 BD 1
＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
2 2 AC 2
1
【规范解答】设A（m，m2），则B（m， m2），
4
1
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
4
1 1
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
2 41 1
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
2 2
1
m
BD 2 1.
∴ = =
AC m 2
故选C．
【考点评析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关
键．
考点14：根据二次函数的图象判断式子符号
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中两个变量
x与y的三组对应值：
x … −2 2 8 …
y … n 1 n …
点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上．若当2<x <x 时，y <y <1，下列四个结论：①a<0；②
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x >6；③25a+5b+c−1>0；④若记二次函数y=ax2+bx+c(x <x<8,a≠0)的图象为图形G，存
1 2 1
在直线y=k与图形G有两个交点，则2<x <3．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
1
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线x=3，再结
合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关
键．
8+(−2) b
【规范解答】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线x= =3=− ，
2 2a
∴点(2,1)关于对称轴的对称点为(4,1)，
若a>0时，开口向上，离对称轴越近值越小，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2<x <x 时，y <y <1，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴|x −3)<|x −3)<|2−3)，
1 2当2<x <x <3时，3−x <3−x <1，解得x >x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
当2<x <3<x 时，3−x <x −3<1，解得2<x <3<x <4，x +x >6，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
当3<x <x 时，x −3<x −3<1，解得3<x <x <4，x +x >6，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
若a<0时，开口向下，离对称轴越近值越大，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2<x <x 时，y <y <1，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴|x −3)>|x −3)>|2−3)，
1 2
当2<x <x <3时，3−x >3−x >1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 2
当2<x <3<x 时，3−x >x −3>1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 1
当3<x <x 时，x −3>x −3>1，解得x >x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
∴a>0，当2<x <3<x <4时，x +x >6，当3<x <x <4时，x +x >6，故①错误，②正确；
1 2 1 2 1 2 1 2
∵a>0，开口向上，当x>3时，函数值随着x增大而增大，把x=5代入y=ax2+bx+c得y=25a+5b+c，
当x=4时，y=1，
∴25a+5b+c>1，即25a+5b+c−1>0，故③正确；
当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c的图象有最低点，当x>3时，函数值随着x增大而增大，
∵二次函数y=ax2+bx+c(x <x<8,a≠0)的图象记为图形G，且存在直线y=k与图形G有两个交点，
1
∴2<x <x ，
1 2
∵由题意可得图形G不是单调的，其中x <x<8必须包含x=3，
1
∴x <3<8，
1
∴2<x <3，故④正确；
1
综上所述，正确的有②③④，
故选：B．
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，
给出以下结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③2a+b=0；④4a+2b+c<0；⑤当x>0时，y随x的增大
而增大，其中正确的是 ．【答案】①③④
【思路引导】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象及抛物线与x轴的交点．熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键；
根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【规范解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴判别式Δ=b2−4ac>0，故结论①正确；
∵抛物线与x轴的交点分别为(−1,0)、(3,0)，
−1+3
∴抛物线的对称轴是x= =1，
2
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
即2a+b=0，故结论③正确；
∵二次函数开口向上，
∴a>0，
∴b=−2a<0，
∵抛物线与y轴的交点在原点下方，
∴c<0，
∴abc>0；故结论②不正确；
∵由函数图象可知，当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故结论④正确；
∵抛物线的对称轴是x=1，且开口向上，
∴x>1时，y随x的增大而增大，0<x<1时，y随x的增大而减少，故结论⑤不正确．
综上，结论①③④正确，
故答案为：①③④．
考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴
【典例精讲】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−2的图象过点
A(1,t),B(2,t)．
b
(1)求 的值；
a
3
(2)已知二次函数y=ax2+bx−2的最大值为1− a2 ．
4①求该二次函数的表达式；
(x −1) 2 x −2
②若M(x ,m),N(x ,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： 1 = 2 ．
1 2
m x −2
1
【答案】(1)−3
(2)①y=−x2+3x−2；②见解析
【思路引导】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
3
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为1− a2 列方程求解即可；
4
(x −1) 2 x −2
②先根据二次函数的对称性求出x +x =3，然后把 1 − 2 通分后代入即可求解．
1 2
m x −2
1
b
【规范解答】（1）解：二次函数y=ax2+bx−2的图象的对称轴为x=− ．
2a
因为点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上，
( b ) b
所以2− − =− −1，
2a 2a
b 3
所以− = ，
2a 2
b
所以 =−3．
a
（2）①由（1）可得，b=−3a，
所以该函数的表达式为y=ax2−3ax−2，
(3 9 )
函数图象的顶点坐标为 ,− a−2 ．
2 4
3
因为函数的最大值为1− a2 ，
4
9 3
所以a<0，且− a−2=1− a2 ，
4 4
解得a=−1，或a=4（舍去）．
所以该二次函数的表达式为y=−x2+3x−2．
②因为点M(x ,m)在函数y=−x2+3x−2的图象上，
1所以m=−x 2+3x −2．
1 1
3
由①知，点M(x ,m),N(x ,m)关于直线x= 对称，不妨设x <x ，
1 2 2 1 2
3 3
则x − = −x ，即x +x =3．
2 2 2 1 1 2
(x −1) 2 x −2 (x −1) 2 (x −2)−m(x −2)
所以 1 − 2 = 1 1 2
m x −2 m(x −2)
1 1
(x −1)(x −2)(x −1)−m(x −2)
= 1 1 1 2
m(x −2)
1
(x2−3x +2)(x −1)−m(x −2)
= 1 1 1 2
m(x −2)
1
−m(x −1)−m(x −2)
= 1 2
m(x −2)
1
−m(x +x −3)
= 1 2
m(x −2)
1
=0，
(x −1) 2 x −2
所以 1 = 2 ．
m x −2
1
【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(−1,−3),(5,−3)，
有下列说法：①当x<0时，y随x的增大而减小；②若点(0,m),(5,n)在该函数的图象上，则m>n；③该
函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x=3．其中说法正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【思路引导】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是
把点(−1,−3)，(5,−3)的坐标代入二次函数y=x2+bx+c，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然
后再根据二次函数的图象与性质进行判断．
【规范解答】解：把点(−1,−3)，(5,−3)的坐标代入二次函数y=x2+bx+c，
{ 1−b+c=−3 )
可得： ，
25+5b+c=−3{b=−4)
解方程组可得： ，
c=−8
∴二次函数的解析式为y=x2−4x−8，
① ∵二次函数y=x2−4x−8中a=1>0，
∴抛物线开口向上，
b −4
∵二次函数y=x2−4x−8的对称轴为x=− =− =2，
2a 2
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，故①正确；
② ∵点(0,m)，(5,n)在该函数的图象上，
当x=0时，可得：m=−8，
当x=5时，可得：n=52−4×5−8=−3，
∴m<n，故②错误；
③二次函数y=x2−4x−8=(x−2) 2−12，则顶点坐标为(2,−12)，且图象开口向上，
∴该函数的图象有最低点，故③正确；
b −4
④ ∵二次函数y=x2−4x−8的对称轴为x=− =− =2，故④错误．
2a 2
∴正确的有①③．
故选：D．
考点16：根据二次函数的对称性求函数值
【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）抛物线y=2x2−4x+c经过三点(−2.5,y )，
1
(0.5,y )，(1.75,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A． y >y >y B． y >y >y C． y >y >y D． y >y >y
1 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 3
【答案】A
【思路引导】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
把二次函数化简成顶点式y=2(x−1) 2+c−2，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据在对称轴两侧时，
三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断y ，y ，y 的大小．
1 2 3
【规范解答】解：∵y=2x2−4x+c=2(x−1) 2+c−2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大，∵|1−0.5)<|1−1.75)<|1−(−2.5))，
∴y >y >y ，
1 3 2
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y=ax2−2a2x(a≠0)．
(1)当a=2时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求
新的二次函数的最大值与最小值；
(3)已知P(x ,y )和Q(x ,y )是抛物线上两点，若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y <y ，求a的取值范围．
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】(1)(2,−8)
(2)0，−8
5
(3)0<a<1或a<−
2
【思路引导】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想
是解题的关键．
（1）将a=2代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值；
（3）先求出对称轴为：直线x=a，再分a>0和a<0两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可．
【规范解答】（1）解：当a=2时，抛物线的解析式为y=2x2−8x，
∵ y=2x2−8x=2(x−2) 2−8，
∴该抛物线的顶点为(2,−8)；
（2）解：由题意知，抛物线的解析式y=2(x−2) 2−8，
当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为y=2(x−2+1) 2−8，
即y=2(x−1) 2−8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
当0≤x≤3时，x=3时，二次函数有最大值，最大值为：y=2×(3−1) 2−8=0，
x=1时二次函数有最小值，最大值为：−8；
−2a2
（3）解：抛物线y=ax2−2a2x(a≠0)的对称轴为：直线x=− =a，
2a
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大，
若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y <y ，
1 2 1 2
则4a<4，
∴a<1，
∴0<a<1；
当a<0时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵对称轴为：直线x=a，
∴(4a,y )在抛物线上的对称点为(−2a,y )，
1 1
若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y <y ，
1 2 1 2
则−2a>5，
5
∴a<−
2
5
∴ a的取值范围为：0<a<1或a<− ．
2
考点17：y=ax²+bx+c的最值
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于x的一元二次方程为
x2−2(m−1)x+m2−2m=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个根为x ，x （x <x ），在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标记为(x ,x )，连接
1 2 1 2 1 2
OM，则OM的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)❑√2
【思路引导】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式以及两点间距离公式，灵活运用各
知识点是解答本题的关键．
（1）求出Δ=b2−4ac=1>0，可得结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得x +x =2(m−1),x x =m2−2m，由两点间距离公式得
1 2 1 2
OM=❑√x2+x2，变形后结合二次函数的性质求出OM的最小值即可．
1 2
【规范解答】（1）证明：∵Δ=b2−4ac
=[−2(m−1)) 2 −4(m2−2m)
=4m2−8m+4−4m2+8m
=4>0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x ，x 是方程x2−2(m−1)x+m2−2m=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2(m−1),x x =m2−2m，
1 2 1 2
∴x2+x2=[2(m−1)) 2 −2(m2−2m)
1 2
=4(m2−2m+1)−2m2+4m
=4m2−8m+4−2m2+4m
=2m2−4m+4
=2(m2−2m+2)
=2[(m−1) 2+1)
∵在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标记为(x ,x )，
1 2
∴OM=❑√(x −0) 2+(x −0) 2=❑√x2+x2=❑√2[(m−1) 2+1)，
1 2 1 2
∵(m−1) 2≥0，
∴当(m−1) 2=0时，即m=1时，(m−1) 2+1取得最小值1，
∴OM =❑√2×(0+1)=❑√2，
最小值
故答案为：❑√2．【变式训练】24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y−x”称为点A的“纵横值”．函数图象
上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3−1=2，函数y=2x+1图象上所有点的
“纵横值”可表示为y−x=2x+1−x=x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数
y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)点B(−6,2)的“纵横值”为________；
3
(2)若二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，且最优纵横值为5，求c的值；
2
1
(3)若二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，当−1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范
2
围．
【答案】(1)8
(2)c=4
5
(3)−5≤函数纵横值≤
4
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关
性质是解题的关键．
（1）点B(−6,2)的“纵横值”为2−(−6)=8，即可求解；
b 3
（2）由题意得− = ，解得b=3，y=−x2+3x+c，进而得
2×(−1) 2
y−x=−x2+2x+c=−(x−1) 2+c+1，即可求解；
1
（3）由题意得3= ℎ+2，解得ℎ=2，y=−(x−2) 2+3=−x2+4x−1，进而得
2
y−x=−x2+3x−1=− ( x− 3) 2 + 5 ，即可求解．
2 4
【规范解答】（1）解：点B(−6,2)的“纵横值”为2−(−6)=8，
故答案为：8；
3
（2）∵二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，
2b 3
∴ − = ，
2×(−1) 2
解得b=3，
∴ y=−x2+3x+c，
∴ y−x=−x2+2x+c=−(x−1) 2+c+1，
∵最优纵横值为5，
∴c+1=5，
解得c=4；
1
（3）∵二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，
2
1
∴ 3= ℎ+2，
2
解得ℎ=2，
∴ y=−(x−2) 2+3=−x2+4x−1，
∴ y−x=−x2+3x−1=− ( x− 3) 2 + 5 ，
2 4
当−1≤x≤3时可知，
3 5
当x= 时，(y−x) = ，
2 max 4
( 3) 2 5
当x=−1时，(y−x) =− −1− + =−5，
min 2 4
5
∴ −5≤函数纵横值≤ ．
4
考点18：利用二次函数对称性求最短路径
【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0),B(0,3)．
(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,2)
【思路引导】（1）把A点和B点坐标代入y=−x2+bx+c后解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为C,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线x=1，进而求出点C的坐标，
连接BC交直线x=1于P点，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，接着求出直线BC的解析式，
进而求解．
【规范解答】（1）解：把A(−1,0),B(0,3)分别代入y=−x2+bx+c得
{−1−b+c=0)
，
c=3
{b=2)
解得
c=3
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为C，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得x =−1，x =3
1 2
∴C(3,0)．
连接BC交直线x=1于P点，如下图
∵PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC=BC，
∴此时PA+PB最小，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C(3,0),B(0,3)分别代入得
{3m+n=0)
，
n=3{m=−1)
解得 ，
n=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
当x=1时，y=−x+3=2，
∴P点坐标为(1,2)．
【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最
短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，
从而代入数值求解．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c
与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA=OC=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)点D的坐标为(−1,2)
( 3 15)
(3)存在，点P − ，
2 4
【思路引导】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小，进而
求解；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由题意可设点P(x,−x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，由铅垂法可得S =
1
×3×PH=
3
(−x2−3x)=−
3(
x2+
3) 2
+
27
，然后问题可求解．
△APC 2 2 2 2 8
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
【规范解答】（1）解：∵OA=OC=3，
则点A、C的坐标分别为：(−3,0)、(0,3)，
{−9−3b+c=0) {b=−2)
将A，C的坐标代入抛物线y=−x2+bx+c得： ，解得： ，
c=3 c=3
∴抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3；
（2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小；
如图1，BD+CD=AD+CD=AC为最小；
{−3k+b=0)
设直线AC的表达式为：y=kx+b，将点A、C的坐标代入得： ，
b=3
{k=1)
解得： ，
b=3
−2
∴直线AC的表达式为y=x+3，抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2×(−1)
当x=−1时，y=2，即点D的坐标为(−1,2)；
（3）解：△APC的面积存在最大值；理由如下：
过点P作PH∥y轴交AC于点H，如图2，
由（2）可得直线AC的表达式为y=x+3，设点P(x,−x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，
∴PH=−x2−2x+3−x−3=−x2−3x，△APC的水平宽为3，
∴S =
1
×3×PH=
3
(−x2−3x)=−
3(
x2+
3) 2
+
27
，
△APC 2 2 2 2 8
3 27
∴当x=− 时，△APC的面积最大，最大值为 ，
2 8
( 3 15)
此时点P − , ．
2 4
考点19：待定系数法求二次函数解析式
【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如
表：
x … −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 −3 −4 −3 0 m …
(1)二次函数图象的开口方向 ，m的值为 ．
(2)求出这个二次函数的解析式；
【答案】(1)向上，5
(2)y=x2−2x−3
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）根据抛物线的对称性求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点(−1,0)，(3,0)，
−1+3
∴抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)，
∴抛物线开口向上，当x=4和x=−2时函数值相等，即m=5；
（2）解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把(0,−3)代入得−3=a×1×(−3)，
解得a=1，∴抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，
即y=x2−2x−3．
【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+mx+3与x轴交于点
3
A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，抛物线与直线y=− x+3交于C、D两点．连接BD、
2
AD．
(1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标．
(2)抛物线上有一点P，满足S =4S ，求点P的坐标．
△ABP △ABD
(7 9)
【答案】(1)y=−x2+2x+3；D ,−
2 4
(2)P(1+❑√13,−9)或P(1−❑√13,−9)．
【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形的面积等知识，解题
的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
{y=−x2+2x+3)
（1）利用待定系数法即可解决问题，联立方程组 3 ，求解即可；
y=− x+3
2
（2）由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=−x2+mx+3过点(3,0)，
∴−9+3m+3=0，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；{y=−x2+2x+3)
由 3 ，
y=− x+3
2
7
{ x= )
{x=0) 2
得 或 ，
y=3 9
y=−
4
(7 9)
∴C(0,3)，D ,− ；
2 4
（2）解：∵S =4S ，
△ABP △ABD
1 1 9
∴ AB×|P |=4× AB× ，
2 y 2 4
∴|P |=9，P =±9，
y y
当y=9时，−x2+2x+3=9，
∴x2−2x+6=0，
∵Δ=4−4×6<0，
∴此方程无实数解，
当y=−9时，−x2+2x+3=−9，
解得：x =1+❑√13，x =1−❑√13，
1 2
∴P(1+❑√13,−9)或P(1−❑√13,−9)．
考点20：线段周长问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)．A点在原点的左侧，B点的坐标为
(3,0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,2)
3 15 75
(3)P( , )，四边形面积的最大值为
2 4 8
【思路引导】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出P点
的纵坐标是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意求出l :y=−x+3以及二次函数的对称轴，由题意可知，点A和点B关于x=1对称，当点
BC
Q(1,y)在l :y=−x+3上时，△QAC的周长最小，即可得到答案；
BC
（3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点P的坐
标．
【规范解答】（1）解：将B、C两点坐标代入y=−x2+bx+c，
{−9+3b+c=0)
得 ，
c=3
{b=2)
解得 ，
c=3
∴y=−x2+2x+3；
（2）解：设l :y=kx+b，
BC
将C(0,3)，(3,0)代入，
{ b=3 )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得
b=3故l :y=−x+3，
BC
∵ y=−x2+2x+3，
b 2
对称轴x=− =− =1，
2a 2×(−1)
设点Q(1,y)，
由题意可知，点A和点B关于x=1对称，
当点Q(1,y)在l :y=−x+3上时，△OAC的周长最小，
BC
此时点Q(1,2)，
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设点P的横坐标为x，则0<x<3，
P(x,−x2+2x+3)，
由（2）得l :y=−x+3，
BC
则Q点的坐标为(x,−x+3)，
PQ=−x2+3x，
1 1 1
S =S +S +S = AB⋅OC+ QP⋅BF+ QP⋅OF
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ 2 2 2
1 1
= ×4×3+ (−x2+3x)×3
2 2
3 3 2 75
=− (x− ) + ，
2 2 8
3
当x= 时，四边形ABPC的面积最大，
2
3 15 75
此时P点的坐标为( , )，四边形ABPC的面积最大为 ．
2 4 8
【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x
轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(−3,0)，与y轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小，若存在，求出P点的坐标及△PAD周长的最
小值．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)❑√10+3❑√2，P(−1,−2)
【思路引导】（1）根据A,D的坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）先求得点B的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，D,P,B三点共线，进
而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线BD的解析式即可得到P的坐标．
【规范解答】（1）解：∵A(−3,0),D(−2,−3)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
{ 9−3b+c=0 )
∴
4−2b+c=−3
{ b=2 )
解得
c=−3
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：∵ y=x2+2x−3 =(x+1) 2−4
∴对称轴为x=−1
如图，连接DB，
∵A,B x=−1
关于 轴对称
∴PA=PB
△APD的周长等于AD+PA+PD=AD+PB+PD≥AD+DP，当D,P,B三点共线时，△APD的周长取得最小值，最小值为AD+DP
由抛物线解析式y=x2+2x−3，
令y=0，即x2+2x−3=0，
解得x =−3,x =1，
1 2
∴B(1,0)，
∵A(−3,0),D(−2,−3),B(1,0)，
∴AD=❑√(−3+2) 2+(−3) 2=❑√10，DB=❑√(1+2) 2+(−3) 2=3❑√2，
∴ △APD的周长的最小值为❑√10+3❑√2，
∵D(−2,−3),B(1,0)，
设直线BD为y=ex+n，
{ e+n=0 )
∴ ，
−2e+n=−3
{ e=1 )
解得： ，
n=−1
∴直线BD为y=x−1，
当x=−1时，y=−2，
∴P(−1,−2)．
【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对
称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
考点21：面积问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴左右交点分别是
A、B，顶点是C(1,−4)，与y轴交于点D(0,−3)．(1)求抛物线的解析式，并画出它的大致图像（不需要列表）；
(2)求四边形ABCD面积；
(3)当0<x≤4时，函数y的取值范围是 ；
(4)点M(a−2,y )、N(a,y )在此抛物线上，比较y 、y 的大小关系．
1 2 1 2
【答案】(1)y=(x−1) 2−4，图像见解析
(2)9
(3)−4≤ y≤5
(4)当a=2时y = y ；当a>2时，y >y ．当a<2时，y <y
1 2 2 1 2 1
【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，当y=0时，0=(x−1) 2−4，求出A(−1,0)，B(3,0)，然后求
出OA=1，OB=3，CE=4，OE=1，OD=3，然后利用四边形ABCD面积=S +S +S
△AOD 梯形ODCE △BEC
代数求解即可；
（3）首先求出当x=4时，y=(4−1) 2−4=5，然后根据图像求解即可；
（4）首先将M(a−2,y )、N(a,y )代入解析式得到y =(a−3)22−4=a2−6a+5 ，
1 2 1
y =(a−1) 2−4=a2−2a−3，然后作差求解即可．
2
【规范解答】（1）∵抛物线顶点是C(1,−4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−1) 2−4，将D(0,−3)代入得，−3=a(0−1) 2−4，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−1) 2−4；
画图如下：
（2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵抛物线解析式为y=(x−1) 2−4，
∴当y=0时，0=(x−1) 2−4，
解得x=−1或3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，
∵C(1,−4)，D(0,−3)，∴CE=4，OE=1，OD=3，
∴四边形ABCD面积=S +S +S
△AOD 梯形ODCE △BEC
1 1 1
= AO⋅OD+ OE⋅(OD+CE)+ BE⋅CE
2 2 2
1 1 1
= ×1×3+ ×1×(3+4)+ ×2×4
2 2 2
=9；
（3）当x=4时，y=(4−1) 2−4=5，
∴由图像可得，当0<x≤4时，函数y的取值范围是−4≤ y≤5；
（4）∵点M(a−2,y )、N(a,y )在此抛物线上，
1 2
∴y =(a−3) 2−4=a2−6a+5，y =(a−1) 2−4=a2−2a−3，
1 2
∴y −y =4a−8，
2 1
∴当a=2时y = y ；当a>2时，y >y ．当a<2时，y <y ．
1 2 2 1 2 1
【考点评析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质等知识，读懂题意和准确
计算是解题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0)，
B(−3,0)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶
点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，
若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)平移后的解析式为y=(x+2) 2−1，y=x2+2x−3(2)平移后的解析式为y=(x+2) 2−1，顶点为(−2,−1)；
(3)存在，P(−2+❑√5,4)或(−2−❑√5,4)
【思路引导】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数
解析式是解题的关键：
（1）将点A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c，求解即可得出答案；
（2）先将解析式变形为y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，再根据二次函数的平移即可得出答案；
1
（3）当y=0时，(x+2) 2−1=0，求出C(−3,0)，D(−1,0)，根据S = CD⋅|y )=4，得出|y )=4，
△CDP 2 p p
再得出(x+2) 2−1=4，求解即可得出答案．
【规范解答】（1）将点A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c
{ 1+b+c=0 )
得， ，
9−3b+c=0
{ b=2 )
解得， ，
c=−3
∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3；
（2）y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
由平移规律得平移后的解析式为y=(x+2) 2−1，
∴顶点为(−2,−1)；
（3）当y=0时，(x+2) 2−1=0，
解得：x =−3，x =−1，
1 2
∴C(−3,0)，D(−1,0)，
∴CD=2．
1
∵S = CD⋅|y )=4，
△CDP 2 p
∴|y )=4，
p
∵顶点为(−2,−1)，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，∴(x+2) 2−1=4，
解得，x =−2+❑√5或x =−2−❑√5，
1 2
∴P(−2+❑√5,4)或(−2−❑√5,4)．
考点22：角度问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点
A(−4,0)、B(1,0)，交y轴于点C(0,4)，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(−2,6)时，求四边形AOCP的面积；
(3)若∠PBA=45°，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−x2−3x+4
(2)16
(3)(−3,4)或(−5,−6)
【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PT⊥AB于T，根据S =S +S 列式求解即可；
四边形AOCP △APT 梯形OCPT
（3）取H (−4,5)，连接AH ，BH ，证明∠ABH =45°，则线段BH 与抛物线的交点P 即为所求；
1 1 1 1 1 1
{ y=−x+1 ) {x=−3) {x=1)
求出直线BH 的解析式为y=−x+1，联立 ，解得 或 （舍去），则
1 y=−x2−3x+4 y=4 y=0
P (−3,4)；如图所示，取H (−4,−5)，连接AH ，BH ，同理可得∠ABH =45°，则直线BH 与抛
1 2 2 2 2 2物线的交点P 即为所求；同理可得P (−5,−6)；则符合题意的点P的坐标为(−3,3)或(−5,−6)．
2 2
【规范解答】（1）解：将点B(1,0)代入y=−x2+bx+4，
得−1+b+4=0
解得b=−3
∴抛物线解析式为y=−x2−3x+4；
（2）解∶如图所示，过点P作PT⊥AB于T，
∵P(−2,6)，A(−4,0)，C(0,4)，
∴OA=4，OT=2，OC=4 PT=6，
∴AT=2，
∴S =S +S
四边形AOCP △APT 梯形OCPT
1 6+4
= ×2×6+ ×2
2 2
=16；
（3）解：如图所示，取H (−4,5)，连接AH ，BH ，
1 1 1
∵A(−4,0)、B(1,0)，H (−4,5)，
1
∴AH =5，AB=5，AH ⊥AB，
1 1
∴∠ABH =45°，
1
∴线段BH 与抛物线的交点P 即为所求；
1 1
设直线BH 的解析式为y=kx+b ，
1 1
{ k+b =0 )
∴ 1 ，
−4k+b =5
1{k=−1)
∴ ，
b =1
1
∴直线BH 的解析式为y=−x+1，
1
{ y=−x+1 ) {x=−3) {x=1)
联立 ，解得 或 （舍去），
y=−x2−3x+4 y=4 y=0
∴P (−3,4)；
1
如图所示，取H (−4,−5)，连接AH ，BH ，
2 2 2
同理可得∠ABH =45°，
2
∴直线BH 与抛物线的交点P 即为所求；
2 2
同理可知直线BH 的解析式为y=x−1，
2
{ y=x−1 ) {x=−5) {x=1)
联立 ，解得 或 （舍去），
y=−x2−3x+4 y=−6 y=0
∴P (−5,−6)；
2
综上所述，符合题意的点P的坐标为(−3,4)或(−5,−6)．
【考点评析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正
确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与直线3 11
y=− x+3交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为 ，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，
4 4
点P的横坐标为m．
(1)求c的值．
(2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分∠PAB，求m
的值．
(3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点N，
设四边形PMAN的周长为l．
①求l关于m的函数解析式；
②若点(m,l ),(m+1,l )都在l关于m的函数图象上，当l <l 时，直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)c=3
5
(2)m=
4
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4 1
(3)① ；②0<m<
l=−2m2−3m ( m> 11) 2
4
【思路引导】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数
形结合思想成为解题的关键．
（1）根据题意求得点A(0,3)，再代入y=−x2+2x+c即可求得c的值；
(11 15) 3
（2）先求出B , ，再运用待定系数法求得直线AB的解析式为y=− x+3，由点A与点C关于抛
4 16 4
物线的对称轴对称，可得AC∥x轴，AC的解析式为y=3；如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，( 3 )
根据等腰三角形的性质可得PE=DE，点P的横坐标为m，则P(m,−m2+2m+3)、D m,− m+3 ，进
4
3
而得到PE=−m2+2m,ED= m，然后根据PE=DE列关于m的方程求解即可；
4
（3）①分两种情况，当P点位于A、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形PMAN是平行
( 3 )
四边形，即AM=PN、MP=AN；由题意可得P(m,−m2+2m+3)、N m,− m+3 ，进而得到
4
PE，ED，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函
数的性质列关于m的方程解答即可．
3
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=− x+3=3，即A(0,3)，
4
将A(0,3)代入y=−x2+2x+c，可得：c=3．
∴y=−x2+2x+3．
11
（2）解：∵点B的横坐标为 ，
4
3 3 11 15 (11 15)
∴y=− x+3=− × +3= ，即点B , ，
4 4 4 16 4 16
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{
3=b
) {
b=3
)
则 15 11 ，解得： 3 ，
= k+b k=−
16 4 4
3
∴直线AB的解析式为y=− x+3，
4
∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴AC∥x轴，AC的解析式为y=3，
如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，∵AC平分∠PAB，
∴PE=DE，
∵点P的横坐标为m，
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，D m,− m+3 ，
4
∴PE=−m2+2m+3−3=−m2+2m,ED=3− ( − 3 m+3 ) = 3 m，
4 4
3 5
∴−m2+2m= m，解得：m=0（舍弃）或m= ．
4 4
（3）解：①如图：当P点位于A、B之间时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点
N，
∴四边形PMAN是平行四边形，
∴AM=PN，MP=AN，
∵点P的横坐标为m，m>0
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4∴AM=PN=−m2+2m+3− ( − 3 m+3 ) =−m2+ 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( −m2+ 11 m+ 5 m ) =−2m2+8m，即l=−2m2+8m ( 0<m< 11) ．
4 4 4
如图：当P点位于B点右侧时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点N，
∴四边形PMAN是平行四边形，
∴AM=PN，MP=AN，
∵点P的横坐标为m，m>0
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4
∴AM=PN=−(−m2+2m+3)+ ( − 3 m+3 ) =m2− 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( m2− 11 m+ 5 m ) =2m2−3m，即l=−2m2−3m ( m> 11) ，
4 4 4
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4
∴l关于m的函数解析式为 ．
l=−2m2−3m ( m> 11)
4{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4
②∵ ，
l=−2m2−3m ( m> 11)
4
∵l=−2m2+8m=−2(m−2) 2+8
． ，函数图形开口向上，对称
轴为m=2
两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴左侧时，0<m<m+1≤2，
∴0<m≤1
{
0<m<2
)
两点分别在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴左右两侧时， 11 ，
2<m+1<
4
即1<m<2，比较到对称轴的距离，
2−m>m+1−2
3
∴1<m< ；
2
{
m>2
)
两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴右侧时， 11 ，
m+1<
4
不等式无解，不符合题意；
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4
当两点分别在函数 上时，
l=−2m2−3m ( m> 11)
411
{ m< )
4 11
，即2<m< 时，
11 4
m+1>
4
7+❑√65 7−❑√65
−2m2+8m<2(m+1) 2−3(m+1)，m> 或m< ，
8 8
7+❑√65 11
则 <m< ，
8 4
7+❑√65 11
当两点都在函数l=−2m2−3m上时， <m< ，
8 4
3 7+❑√65 11 7+❑√65 11
综上所述，m的取值范围0<m< 或 <m< 或 <m< ．
2 8 4 8 4
考点23：特殊三角形问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(−5，0)和
点B，交y轴于点C(0,−5)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线对称
轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+4x−5
( 15)
(2) −2,−
2
(3)存在，P点坐标为(−5−3❑√2,3❑√2)或(−5+3❑√2,−3❑√2)或(1,−6)或(−2,−3)【思路引导】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股
定理等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=−x−5，设P(m，−m−5)，则Q(m，m2+4m−5)，
( 5) 2 25 5 25 ( 5 35)
可得PQ=− m+ + ，得到当m=− 时PQ最大为 ，此时Q − ,− ；再求得点B的坐标为
2 4 2 4 2 2
5 5
B(1，0)，再利用待定系数法求出直线BQ的表达式为y= x− ，最后把x=−2代入计算即可求解；
2 2
（ ）设P(t，−t−5)，由勾股定理可得AB2=36，AP2=2t2+20t+50，BP2=2t2+8t+26，根据等
腰三角形的定义分三种情况解答求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c交y轴于点C(0,−5)，则c=−5，
再把A(−5，0)代入抛物线，得：0=25−5b−5，
解得：b=4，
所以抛物线的函数表达式为y=x2+4x−5．
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
{0=−5k+b)
则 ，
−5=b
{k=−1)
解得： ，
b=−5
∴直线AC的解析式为y=−x−5，
设P(m，−m−5)，则Q(m，m2+4m−5)，
∴PQ=−m−5−(m2+4m−5)=−m2−5m=− ( m+ 5) 2 + 25 ，
2 4
5 25 ( 5 35)
∴当m=− 时，PQ最大为 ，此时Q − ,− ，
2 4 2 2
当y=0时，0=x2+4x−5，
解得：x=−5或1，即B(1，0)
设直线BQ的表达式为y=mx+n，代入B、Q两点坐标，{ − 5 k+b=− 35 )
得 2 4 ，
k+b=0
5
{ k= )
2
解得 ，
5
b=−
2
5 5
∴直线BQ的表达式为y= x− ，
2 2
5 5 15
∵抛物线的对称轴为直线x=−2，把x=−2代入y= x− ，得y=− ，
2 2 2
( 5)
∴M点坐标为 −2, ．
2
（3）解：存在，理由如下：
由抛物线的对称轴为直线x=−2、A(−5，0)、 B(1，0)，
设P(t，−t−5)，
∴AB2=36，AP2=2(t+5) 2=2t2+20t+50，BP2=(t−1) 2+(t+5) 2=2t2+8t+26，
①当AB=AP时，即36=2t2+20t+50，
得t2+10t+7=0，
解得：t=−5±3❑√2，
∴P点坐标为(−5−3❑√2,3❑√2)或(−5+3❑√2,−3❑√2)；
②当BA=BP时，即36=2t2+8t+26，
得t2+4t−5=0，
解得t=−5或1（−5舍去），
∴P点坐标为(1,−6)；
③当PA=PB时，易知P点的横坐标为−2，
代入y=−x−5中得y=−3，
∴P点坐标为(−2,−3)．
综上，P点坐标为(−5−3❑√2,3❑√2)或(−5+3❑√2,−3❑√2)或(1,−6)或(−2,−3)．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线y=−x+n与x轴交于点A(3,0)，与y轴交
于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A，B两点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
(1)求抛物线解析式；
(2)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
(3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(3 15)
(2)P ,
2 4
(3)点E的坐标为(3−❑√2,0)
【思路引导】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PD=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，即可求解；
（3）PD2=(−m2+3m) 2 ，BD2=m2+(−m+3−3) 2=2m2，由PD=BD时，则❑√2m=−m2+3m，即可
求解．
【规范解答】（1）解：∵直线y=−x+n与x轴交于点A(3,0)，
∴0=−3+n，
∴n=3，
∴直线解析式为：y=−x+3，
当x=0时，y=3，
∴点B(0,3)，
∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，
{ c=3 )
则 ，
0=−9+3b+c
{b=2)
解得： ，
c=3
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；（2）解：∵ED⊥x轴，
∴∠PEA=90°，
∴∠BDP=∠ADE<90°，
∵点E(m,0)，
∴点P(m,−m2+2m+3)，则点D(m,−m+3)，
则PD=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
当m=
3
时，PD最大．−m2+2m+3=−
(3) 2
+2×
3
+3=
15
，
2 2 2 4
(3 15)
∴P , ；
2 4
（3）解：根据题意得，0<m<3，
由（2）得PD=−m2+3m，BD=❑√m2+(−m+3−3) 2=❑√2m，
∵PD=BD，
∴ ❑√2m=−m2+3m，
解得：m=0（舍去）或3−❑√2，
∴点E的坐标为(3−❑√2,0)．
【考点评析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定
和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
考点24：特殊四边形问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，
且与y轴的交点坐标为(0,−1) ，直线l与x轴相交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A、B．设
点P的横坐标为m．
①当四边形APBC为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．PB<PA时，m的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−1；
(2)①m的值为1或0；②PB<PA时，m的取值范围为−1<m<0或m>1．
【思路引导】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想
及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到m的取值范围．
（1）根据抛物线对称轴求出b的值，再根据抛物线与y轴的交点求出c的值，从而求出二次函数解析式；
（2）①点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，PA⊥x轴，PB⊥l，点P的横坐标为m，可得m>−1，
AC=|m−(−1)|=m+1，PA=|m2+2m−1|．根据正方形的性质列出方程求解即可；
②根据①可知得当m=1或m=0时，PB=PA，然后结合抛物线即可解决问题．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，
b
∴− =−1，
2
∴b=2，
∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的交点坐标为(0,−1)，
∴c=−1，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−1；
（2）解：①∵点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，PA⊥x轴，PB⊥l，点P的横坐标为m，
∴m>−1，
∴AC=|m−(−1)|=m+1，PA=|m2+2m−1|，
当四边形APBC为正方形时，PA=AC，
∴|m2+2m−1|=m+1，
∴m2+m−2=0，
解得m =1，m =−2（不符合题意，舍去），
1 2
或者m2+3m=0，
解得m =0，m =−3（不符合题意，舍去），
3 4
∴m的值为1或0；
②根据①可知：当m=1或m=0时，PB=PA，
∴当0<m<1时，PB>PA，∵m>−1，
∴当−1<m<0或m>1时，PB<PA，
∴当PB<PA时，m的取值范围为−1<m<0或m>1．
【变式训练】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4
经过点A(−2,0)，B(4,0)，D为抛物线的顶点．
(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接BC，在线段OB上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作PE⊥x轴，交直线BC于
点E，
①当直线PE经过点D时，求DE的长；
②以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
{ a=− 1 )
【答案】(1) 2
b=1
3 (3 )
(2)① ；② ,0
2 2
【思路引导】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；
（2）①根据抛物线得到C、D的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+4，利用待定系数法求出直线BC的
解析式，进而推出点E的坐标，即可解题；
②设点P的坐标为(m,0)，进而得到点E的坐标为(m,−m+4)，结合正方形性质得到点F的坐标为
(2m−4,−m+4)，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−2,0)，B(4,0)，
{4a−2b+4=0)
∴ ，
16a+4b+4=0
{ a=− 1 )
解得 2 ；
b=1
1
（2）解：①由（1）知，抛物线解析式为y=− x2+x+4，
2( 9)
∴ C(0,4)，D 1, ，
2
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∴4k+4=0，
解得k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
∵ PE⊥x轴，
当直线PE经过点D时，
有x =1，则y =−1+4=3，
E E
9 3
∴DE= −3= ；
2 2
②设点P的坐标为(m,0)，
∵ PE⊥x轴，
∴点E的坐标为(m,−m+4)，
∴PE=−m+4，
∵在PE的左侧作正方形PEFG，且点F在抛物线上，
∴EF=−m+4，
∴点F的坐标为(2m−4,−m+4)，
1
且− (2m−4) 2+(2m−4)+4=−m+4，
2
整理得2m2−11m+12=0，
3
解得m= 或m=4，
2
∵动点P不与点O，B重合，
3
∴ m= ，
2
(3 )
∴点P的坐标为 ,0 ．
2
【考点评析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方
形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．考点25：其他问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+5与x轴交
于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx交于点C，D．已知点C的坐标为(1,7)，点D的横坐标为5．
(1)求直线与抛物线的解析式；
(2)当x>4时，若抛物线y=ax2+bx+m与直线AB有交点，结合图象，求m的取值范围．
【答案】(1)直线解析式为y=2x+5，抛物线解析式为y=−x2+8x
(2)m>−3
【思路引导】（1）利用点C坐标可求出直线的解析式，进而可得点D坐标，再利用待定系数法可求出抛物
线的解析式；
（2）可得抛物线y=−x2+8x+m的顶点坐标为(4,m+16)，对称轴为直线x=4，进而由点(4,13)可得
m=−3，结合图象即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【规范解答】（1）解：把C(1,7)代入y=kx+5得，7=k+5，
∴k=2，
∴直线的解析式为y=2x+5，
∵点D的横坐标为5，
∴点D的纵坐标y=2×5+5=15，
∴D(5,15)，
把C(1,7)、D(5,15)代入y=ax2+bx得，
{ a+b=7 )
，
25a+5b=15
{a=−1)
解得 ，
b=8
∴抛物线的解析式为y=−x2+8x；
（2）解：抛物线y=−x2+8x+m的顶点坐标为(4,m+16)，对称轴为直线x=4，把x=4代入y=2x+5得，y=2×4+5=13，
把点(4,13)代入y=−x2+8x+m得，13=−16+32+m，
解得m=−3，
∴m>−3时，抛物线y=−x2+8x+m与直线AB在x>4时有交点．
【变式训练】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线y=x2−mx−(m+1)．
(1)试说明：无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过某个定点．
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点A(a,0)，与x轴的正半轴交于点B(b,0)，与y轴交于点C，且满足
a2+b2−ab=13．
①求m的值．
②抛物线上是否存在点P，使得S =2S ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
△ACP △AOC
【答案】(1)见解析；
(2)①m=2；②存在，点P的坐标是(2,−3)或(−3,12)．
【思路引导】本题考查待定系数法，二次函数图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像和
性质是解题的关键；
（1）法一：把x=−1代入y=x2−mx−(m+1)，即可求解；法二：将y=x2−mx−(m+1)整理成
m(x+1)=x2−y−1，计算求解即可；
（2）①由题意，可知a<0，b>0，求得a=−1，进而求解点B的坐标，进而求解m的值；②连接AC，在x
轴上取点D，使得OD=OA，过点D作PD∥AC，交抛物线于点P，把x=0代入y=x2−2x−3，求得点
C的坐标，进而求得直线PD的表达式，即可求解；
【规范解答】（1）解：法一：当x=−1时，y=(−1) 2−m×(−1)−(m+1)=1+m−m−1=0，∴无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过定点(−1,0)．
法二：由y=x2−mx−(m+1)，可得m(x+1)=x2−y−1，
{ x+1=0 )
∴ ，
x2−y−1=0
{x=−1)
解得： ，
y=0
∴无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过定点(−1,0)；
（2）①由题意，可知a<0，b>0，
∴a=−1，
∴1+b2+b=13，解得b =−4（舍去），b =3，
1 2
∴点B的坐标是(3,0)．
把点B(3,0)代入y=x2−mx−(m+1)，得9−3m−(m+1)=0，解得m=2．
②∵m=2，抛物线的表达式是y=x2−2x−3．
如图，连接AC，在x轴上取点D，使得OD=OA，过点D作PD∥AC，交抛物线于点P，
则S =S =2S ，
ΔACP ΔDAC ΔAOC
∵a=−1，
点A的坐标是(−1,0)，
点D的坐标是(1,0)．
把x=0代入y=x2−2x−3，得y=−3，
点C的坐标是(0,−3)．
{−k+t=0)
设直线AC的表达式是y=kx+t，则 ，
t=−3{k=−3)
解得 ，
t=−3
∴直线AC的表达式是y=−3x−3．
设直线PD的表达式是y=−3x+n，
把点D(1,0)代入y=−3x+n，
得n=3，
∴直线PD的表达式是y=−3x+3．
{ y=−3x+3 )
联立方程组，得 ，
y=x2−2x−3
{ x =2 ) {x =−3)
解得 1 ， 2 ，
y =−3 y =12
1 2
∴抛物线上存在点P，使得S =2S ，点P的坐标是(2,−3)或(−3,12)；
ΔACP ΔAOC
1．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线y=x2−6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的
值为 ．
1
【答案】1或−
3
【思路引导】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为(3m,−3m2+5m+3)，再把(3m,−3m2+5m+3)代
入y=x+2，得出3m2−2m−1=0，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【规范解答】解：∵y=x2−6mx+6m2+5m+3，
−6m
∴对称轴为直线x=− =3m，
2×1
把x=3m代入y=x2−6mx+6m2+5m+3，
得y=−3m2+5m+3，
即顶点坐标为(3m,−3m2+5m+3)，
∵抛物线的顶点在直线y=x+2上，
∴−3m2+5m+3=3m+2，整理得3m2−2m−1=0，
则Δ=(−2) 2−4×3×(−1)=16，
2±❑√16 2±4 1±2
∴m= = = ，
2×3 6 3
1
∴m =1,m =− ,
1 2 3
1
故答案为：1或− ．
3
2．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线
1 1 2 2
y=ax2−2ax(a>0)，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x <0且y ⋅y <0时，则0<x <2 B．当x <x <1时，则y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
C．当x <0且y ⋅y >0时，则0<x <2 D．当x >x >1时，则y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线y=ax2−2ax(a>0)开口向上，顶点为(1,−a)，
与x轴交于(0,0)和(2,0)，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即
可．
【规范解答】解：∵y=ax2−2ax(a>0)
∴抛物线的开口向上，
−2a
则对称轴为直线x=− =1，
2a
把x=1代入y=ax2−2ax，得y=a−2a=−a，
∴顶点为(1,−a)，
∵两点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=ax2−2ax(a>0)，
1 1 2 2
∴当x <0且y ⋅y <0时，y >0（因x<0时抛物线在x轴上方），
1 1 2 1
故y <0，
2
此时0<x <2
2
故A选项的结论正确；
当x <x <1时，抛物线在x<1时递减，
1 2
故x 越大，y 越小，
2 2即y >y ，
1 2
故B选项的结论错误；
当x <0且y ⋅y >0时，y >0，
1 1 2 2
此时x 应满足x <0或x >2，
2 2 2
故C选项的结论错误；
当x >x >1时，抛物线在x>1时递增，
1 2
故x 越大，y 越大，
1 1
即y >y ，
1 2
故D选项的结论错误；
故选：A
3．（2025·天津·中考真题）四边形ABCD中，AD∥BC，
∠B=90°,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向
终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点
时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t=2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t=6s时，CN=DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【思路引导】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当t=6s时，点M在AD上，求出
DM,CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次
函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2，
列出方程，可判断③．
8 10
【规范解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为 =4s，点M在AD上的运动时间为 =5s，
2 2
点N在CB上的运动时间为16s，
①当t=6s时，点M在AD上，
此时AM=2×6−8=4cm，CN=6cm，∴DM=AD−AM=6cm，
∴CN=DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，
此时BM=2tcm，CN=tcm，
∴BN=(16−t)cm，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t(16−t)=−t2+16t=−(t−8) 2+64，
△BMN 2 2
∵−1<0，
∴当t<8时，S 随t的增大而增大，
△BMN
∴当t=2时，S 取得最大值，最大值为−(2−8) 2+64=28，
△BMN
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t(16−t)=−t2+16t=39，
△BMN 2 2
解得：t =3,t =13（舍去），
1 2
∴当t=3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=180°−∠B=90°，即AB⊥AD，
1 1
此时S = AB×BN= ×8(16−t)=64−4t=39，
△BMN 2 2
25
解得：t= ，
4
25
∴当t= 时，△BMN的面积为39cm2；
4
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
故选：C
4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与y轴相交于点A，与x轴
相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A
关于直线CD的对称点为E，连接DE．(1)求证：∠OAB=45°；
(2)设点C的坐标为(0,m)，当0<m<2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值.
【答案】(1)见解析
8
(2)四边形COFD面积的最大值为 ．
3
【思路引导】（1）先求得A(0,4)，B(4,0)，得到OA=4，OB=4，利用等腰直角三角形的性质即可证明
结论成立；
（2）由题意得OC=m，AC=4−m，根据折叠的性质得CE=AC=4−m，OE=CE−OC=4−2m，利
用等腰直角三角形的判定和性质求得OF=OE=4−2m，CD=AC=4−m，再利用梯形的面积公式求得
四边形COFD面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【规范解答】（1）证明：对于直线y=−x+4，
令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，
∴A(0,4)，B(4,0)，
∴OA=4，OB=4，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；
（2）解：∵点C的坐标为(0,m)，
∴OC=m，AC=4−m，
∵点A(0,4)关于直线CD的对称点为E，
∴CE=AC=4−m，∠OAB=∠CED=45°，
∴OE=CE−OC=4−2m，
∵∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OF=OE=4−2m，
∵CD⊥OA，∴∠OAB=∠CDA=45°，
∴CD=AC=4−m，
1
∴四边形COFD面积= (OF+CD)×OC
2
1
= (4−2m+4−m)⋅m
2
3
=− m2+4m
2
3( 4) 2 8
=− m− +
2 3 3
3
∵− <0，
2
4 8
∴当m= ，四边形COFD面积有最大值，最大值为 ．
3 3
【考点评析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得
四边形COFD面积关于m的二次函数的解析式是解题的关键．
5．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的表达式为
y=ax2+bx+3(a>0)．
(1)若a=1，且点(2,3)在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点(−1,−1)，当自变量x的值满足x≥−1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为x=2，点A(m,y ),B(m+1,y )在函数的图象上，且总有y >y ，求m的取
1 2 1 2
值范围．
【答案】(1)2
(2)0<a≤43
(3)m<
2
【思路引导】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用
数形结合的思想进行解答．
（1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解；
（2）把(−1,−1)，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出a的取值
范围即可；
（3）由a>0，得到离对称轴越远，函数值越大，则点A(m,y )到对称轴x=2的距离大于点B(m+1,y )到
1 2
对称轴的距离，得出关于m的不等式|m−2)>|m+1−2)，然后解不等式即可．
【规范解答】（1）解：当a=1，且点(2,3)在函数y=ax2+bx+3(a>0)的图象上，
∴3=22+2b+3，
解得b=−2，
∴y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∵a=1>0，
∴函数图象开口向上，
∴当x=1时，y有最小值为2；
（2）解：∵y=ax2+bx+3(a>0)过(−1,−1)，
∴a−b+3=−1，
∴b=a+4，
b a+4
∴对称轴为直线x=− =− ，
2a 2a
∵当x≥−1时，y随x的增大而增大，
a+4
∴ − ≤−1，
2a
解得a≤4，
又a>0
∴0<a≤4；
（3）解：∵点A(m,y )，B(m+1,y )在抛物线y=ax2+bx+3上，
1 2
∵a>0，∴离对称轴越远，函数值越大，
∵A(m,y )，B(m+1,y )在抛物线y=ax2+bx+3， y >y
1 2 1 2
∴点A(m,y )到对称轴x=2的距离大于点B(m+1,y )到对称轴的距离，
1 2
∴|m−2)>|m+1−2)，
3
解得m< ．
2
基础夯实
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）抛物线y=(3−x) 2+4的顶点坐标是（ ）
A．(−3,4) B．(3,4) C．(3,−4) D．(−3,−4)
【答案】B
【思路引导】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，进行作答即可．
【规范解答】解：∵y=(3−x) 2+4=(x−3) 2+4，
∴顶点坐标为：(3,4)；
故选B．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
平移后的函数是 ．
【答案】y=(x+2) 2−3
【思路引导】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规
律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得．
【规范解答】解：将二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后的函数是
y=(x+2) 2−3，
故答案为：y=(x+2) 2−3．3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当x=1时，y有最值
为4，且函数图象经过点(0,−1)．求该二次函数的表达式．
【答案】y=−5(x−1) 2+4
【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶
点式．
利用待定系数法求出二次函数解析式．
【规范解答】解：二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当x=1时，y有最值为4，
∴ℎ=1，k=4
∵此函数的图象经过点(0,−1)，
∴a(0−1) 2+4=−1，
解得：a=−5，
∴二次函数的解析式为y=−5(x−1) 2+4．
4．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数y=x2+6x+10
(1)将函数化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式，写出其顶点坐标、对称轴及最值；
(2)当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)顶点坐标为(−3,1)，对称轴为直线x=−3，最小值为1；
(2)>−3;<−3
【思路引导】本题考查了二次函数的配方、顶点式的性质（顶点坐标、对称轴、最值）以及二次函数的增
减性，解题的关键是通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，再利用顶点式的特点分析函数性质．
（1）通过配方法将一般式y=x2+6x+10转化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k，根据顶点式直接得出顶点坐标
(ℎ,k)、对称轴x=ℎ，结合二次项系数符号判断最值；
（2）根据抛物线开口方向（由二次项系数符号确定）和对称轴，确定函数增减性对应的x 的取值范围．
【规范解答】（1）解：对函数y=x2+6x+10进行配方：
∴顶点式为y=(x+3) 2+1，顶点坐标为(−3,1)，对称轴为直线x=−3．
∵二次项系数1>0，
∴函数有最小值，最小值为1，无最大值．（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−3，
∴当x>−3时，y随x的增大而增大；当x<−3时，y随x的增大而减小．
故答案为：>−3；<−3
5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2bx+c．
(1)当x<5时，y随x的增大而增大，求b的取值范围；
(2)若二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，顶点坐标(m，n)．
①求n关于m的函数解析式；
②求该二次函数的图象顶点最低时b，c的值．
【答案】(1)b≥5
(2)①n=m2−2m+1；②b=1，c=−1
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是
解题的关键．
（1）根据对称轴为直线x=b，求解即可；
（2）①根据二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，得出c=1−2b，根据顶点坐标(m，n)得出
−4c−(2b) 2
m=b，n= =c+b2=1−2b+b2 ，解答即可；
4×(−1)
②由①知，n=m2−2m+1=(m−1) 2，得出顶点有最低点(1,0)，求出二次函数的解析式即可解答．
2b
【规范解答】（1）解：二次函数y=−x2+2bx+c图象开口向下，对称轴为直线x=− =b，
−1×2
∵当x<5时，y随x的增大而增大，
∴b≥5．
（2）解：①∵二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，
∴−1+2b+c=0，
∴c=1−2b，
∵二次函数y=−x2+2bx+c的顶点坐标为(m，n)，
2b −4c−(2b) 2
∴m=− =b，n= =c+b2=1−2b+b2 ，
−1×2 4×(−1)
∴n=m2−2m+1；
②由①知，n=m2−2m+1=(m−1) 2，∴当m=1时，顶点纵坐标n取得最小值为0，此时顶点最低点为(1,0)，
∵二次函数y=−x2+2bx+c中a=−1，
∴二次函数的解析式为y=−(x−1) 2=−x2+2x−1，
∴b=1，c=−1．
培优拔高
1．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c的图像如图，下列说法中错误的是（ ）
①abc>0②2a−b=0③3a+b>0④2c−3b<0
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．
b
由抛物线对称轴为x=1，即− =1，2a+b=0可判断②；由抛物线开口向下，a<0，b=−2a>0，再根
2a
b
据与y轴交于正半轴，即c>0，则abc<0，故可判定①；由− =1，则b=−2a，将b=−2a代入可得
2a
3a+b<0，即可判定③；当x=−1时，a−b+c<0，则2a−2b+2c<0，将2a=−b代入−3b+2c<0，
即可判断④．
b
【规范解答】解：由图像可知：抛物线对称轴为x=1，即− =1，则2a+b=0，故②错误；
2a
抛物线开口向下，即a<0，所以b=−2a>0，与y轴交于正半轴，即c>0，则abc<0，故①错误；
b
由− =1，则b=−2a，将b=−2a代入3a+b=3a+(−2a)=a，因为a<0，即3a+b<0，故③错误，
2a
当x=−1时，a−b+c<0，则2a−2b+2c<0，将2a=−b代入−3b+2c<0，即2c−3b<0，故④正确．
综上，错误的有①②③．故答案为：A．
2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三点A(2,0)，B(1,−2)，C(2,−2)中恰有两点在拋物
线y=ax2+bx−2（a>0且a，b均为常数）上、下列四个结论：
1
①抛物线的对称轴是直线x= ；
2
②当0<x<2时，y的取值范围是：−2<y<0；
9
③当t>− 时，关于x的一元二次方程ax2+bx−2=t有两个不相等的实数根；
4
④若P(m,n)和Q(m+4,ℎ)都是抛物线上的点，且n<0，则ℎ>0．
其中正确的结论（序号）有 ．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，先求出二次函数的解析式，再结
合二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【规范解答】解：∵三点A(2,0)，B(1,−2)，C(2,−2)中恰有两点在拋物线y=ax2+bx−2（a>0且
a，b均为常数）上，
∴点A(2,0)和C(2,−2)不可能同时在抛物线上，点B(1,−2)和C(2,−2)不可能同时在抛物线上；
{4a+2b−2=0)
∴将A(2,0)，B(1,−2)代入抛物线解析式可得 ，
a+b−2=−2
{ a=1 )
解得 ，
b=−1
∴抛物线的解析式为y=x2−x−2= ( x− 1) 2 − 9 ，
2 4
1
∴抛物线的对称轴是直线x= ，故①正确；
2
1 9
∴当x= 时，y有最小值为− ，
2 4
∵当x=0时，y=−2；当x=2时，y=0，
9
∴当0<x<2时，y的取值范围是：− <y<0，故②错误；
4
当y=t时，x2−x−2=t，
∵关于x的一元二次方程x2−x−2=t有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1) 2−4×1×(−2−t)>0，9
解得t>− ，
4
9
故当t>− 时，关于x的一元二次方程ax2+bx−2=t有两个不相等的实数根，故③正确；
4
( 1) 2 9
令y=0，则 x− − =0，
2 4
解得x=2或x=−1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(2,0)，
∵P(m,n)和Q(m+4,ℎ)都是抛物线上的点，且n<0，
∴点P位于顶点附近，且−1<n<2，
∴Q(m+4,ℎ)的横坐标比P大4个单位长度，此时ℎ必然大于0，故④正确；
综上所述，正确的有①③④；
故答案为：①③④．
3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对
称轴为直线x=1．下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；④
t(at+b)+a≤0（t是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二
次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得
到结果．
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，故结论①正确，符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的图像开口向下，
∴a<0，
∵b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点(−1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点位于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故结论②错误，不符合题意；∵对称轴为x=1，
∴当x=1时，y有最大值a+b+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
又∵b=−2a，
∴a+b+c=−4a，即函数的最大值为−4a，故结论③正确，符合题意；
∵当x=1时y有最大值a+b+c，
当x=t时，y为at2+bt+c，
∴at2+bt+c≤a+b+c，
∴at2+bt≤a+b，
又∵b=−2a，
∴at2+bt≤a−2a，
∴t（at+b）≤−a，即t（at+b）+a≤0，故结论④正确，符合题意，
综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
3（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，AB=8，C是线段AB上一动点（不与点A，B重合），以
AC为边作正方形ACMN，以BC为边作菱形BCDE（正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同侧），连接
MD，当∠E=60°时，△CDM面积的最大值为 ．
【答案】4
【思路引导】本题主要考查了二次函数的最值问题，正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形
1
的性质，由菱形的性质得到CD=CB，∠BCD=∠E=60°，则可求出∠CDF=30°，则CF= CD；
2
1
设CB=CD=x，则AC=AB−BC=8−x，CF= x，由正方形的性质得到
2
1 1
CM⊥AB，CM=AC=8−x，则S = CM⋅CF=− (x−4) 2+4，据此求解即可．
△CDM 2 4
【规范解答】解：如图所示，过点D作DF⊥BC于F，∵四边形BCDE是菱形，
∴CD=CB，∠BCD=∠E=60°，
∴∠CDF=90°−∠DCF=30°，
1
∴CF= CD，
2
1
设CB=CD=x，则AC=AB−BC=8−x，CF= x，
2
∵四边形ACMN是正方形，
∴CM⊥AB，CM=AC=8−x，
∴CM∥DF，
1 1 1 1
∴S = CM⋅CF= ⋅ x⋅(8−x)=− (x−4) 2+4，
△CDM 2 2 2 4
∴当x−4=0，即x=4时，S 有最大值，最大值为4，
△CDM
故答案为：4．
4．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图像过点
A(−2,0),B(−1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)这个二次函数的图像开口向_______，顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而减小；
(3)方程−x2+bx+c=0的解是_______；
(4)当0<x<3时，y的取值范围是_______．
【答案】(1)y=−x2+x+6
(1 25) 1
(2)下， , ，>
2 4 2
(3)x =−2,x =3
1 2
25
(4)0<y≤
4
【思路引导】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，最值
的计算方法是关键．（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数解析式，结合二次函数图象的性质求解即可；
（3）根据二次函数与x轴的交点求解即可；
（4）根据自变量取值范围求函数值的大小即可．
【规范解答】（1）解：抛物线y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图像过点A(−2,0),B(−1,4)，
{−4−2b+c=0)
∴ ，
−1−b+c=4
{b=1)
解得， ，
c=6
∴y=−x2+x+6；
（2）解：二次函数解析式为：y=−x2+x+6=− ( x− 1) 2 + 25 ，
2 4
(1 25)
∴顶点坐标为 , ，
2 4
∵ −1<0，
1 1
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为x= ，当x> 时，y随x的增大而减小，
2 2
(1 25) 1
故答案为：下， , ，> ；
2 4 2
（3）解：二次函数y=−x2+x+6，
当y=0时，−x2+x+6=0，
∴(x+2)(x−3)=0，
解得，x =−2,x =3；
1 2
故答案为：x =−2,x =3；
1 2
1 (1 25)
（4）解：由（2）可知，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x= ，顶点坐标为 , ，
2 2 4
1
∴在0<x≤ 时，当x=0，则y=6，
2
25
∴此时函数值的范围为6<y≤ ，
4
1
在 ≤x<3时，当x=3，则y=−32+3+6=0，
225
此时函数值的范围为0<y≤ ，
4
25
综上所述，当0<x<3时，y的取值范围是0<y≤ ，
4
25
故答案为：0<y≤ ．
4
5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．当a=2时，
(1)若该函数图像的对称轴为直线x=1，且过点(0,3)，求该函数的表达式；
(2)若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥−1．
【答案】(1)y=2x2−4x+3
(2)证明见解析
【思路引导】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数表达式、一元二次方程根的判别式，熟
练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据对称轴求得b=−4，再把(0,3)代入y=2x2−4x+c得，c=3，即可求解；
（2）根据一元二次方程的根与判别式的关系可得b2=8c，再利用配方法可得2b+8c=(b+1) 2−1，根据
平方的非负性可得(b+1) 2−1≥−1，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵a=2，对称轴为直线x=1，
b b
∴− =− =1，
2a 4
∴b=−4，
把点(0,3)代入y=2x2−4x+c得，c=3，
∴该函数的表达式为y=2x2−4x+3；
（2）解：∵方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=b2−8c=0，
∴b2=8c，
∴2b+8c=2b+b2=b2+2b+1−1=(b+1) 2−1，
∵(b+1) 2≥0，
∴(b+1) 2−1≥−1，∴2b+8c≥−1．
