文档内容
专题22.1 二次函数的图像和性质
（知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： y=ax²图像和性质.....................................................2
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质................................................2
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质.............................................3
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质.........................................3
知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质....................................3
知识点梳理06：比较函数值大小的方法.................................................4
知识点梳理07：二次函数平移的方法...................................................4
知识点梳理08：求对称轴的方法.......................................................4
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法.............................................5
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题...................................................5
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法.........................................5
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围...........................................5
优选题型 考点讲练......................................................................5
考点1：列二次函数关系式............................................................5
考点2：根据二次函数的定义求参数....................................................7
考点3：y=ax²的图象和性质..........................................错误！未定义书签。
考点4：y=ax²+k的图象和性质.......................................................11
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质....................................................13
考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质..................................................14
考点7：二次函数图象的平移.........................................................16
考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式....................................................18
考点9：画y=ax²+bx+c的图象........................................................20
考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质...................................................24
考点11：二次函数图象与各项系数符号................................................27
考点12：一次函数、二次函数图象综合判断............................................29
考点13：两个二次函数图象综合判断..................................................30考点14：根据二次函数的图象判断式子符号............................................32
考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴............................................35
考点16：根据二次函数的对称性求函数值..............................................37
考点17：y=ax²+bx+c的最值.........................................................39
考点18：利用二次函数对称性求最短路径..............................................42
考点19：待定系数法求二次函数解析式................................................45
考点20：线段周长问题（二次函数综合）..............................................47
考点21：面积问题（二次函数综合）..................................................51
考点22：角度问题（二次函数综合）..................................................54
考点23：特殊三角形问题（二次函数综合）............................................62
考点24：特殊四边形问题（二次函数综合）............................................65
考点25：其他问题（二次函数综合）..................................................69
中考真题 实战演练.....................................................................72
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................78
基础夯实..........................................................................78
培优拔高..........................................................................81
知识点梳理01： y=ax²图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x
a>0 向上 (0，0) y轴
的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x
a<0 向下 (0，0) y轴
的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而
a>0 向上 (0，c) y轴
减小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而
a<0 向下 (0，c) y轴
增大；x=0时，y有最大值c．
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x的增大而
a>0 向上 (ℎ，0) X=h
减小；x=ℎ时，y有最小值0．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x的增大而
a<0 向下 (ℎ，0) X=h
增大；x=ℎ时，y有最大值0．
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x
a>0 向上 (ℎ，k) X=h
的增大而减小；x=ℎ时，y有最小值k．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x
a<0 向下 (ℎ，k) X=h
的增大而增大；x=ℎ时，y有最大值k．知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−ℎ) 2+k的形式，其中ℎ=− ，k= .
2a 4a
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）:
顶点坐标是（﹣ ， ），
对称轴直线x＝﹣ ，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向
上或向下平移| |个单位得到的．
知识点梳理06：比较函数值大小的方法
①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较；②性质法，利用函数的增减性比较；
③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较
知识点梳理07：二次函数平移的方法
平移原则上加下减，左加右减；
注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第
一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。
知识点梳理08：求对称轴的方法
①已知两对称点的坐标，求对称轴；
②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标
方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法
根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题
·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式
·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c.
①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)；
②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数)
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法
①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；
②二次函数的顶点式：
Y＝a(x-h)²＋k(a≠0);
③二次函数的双根式：
y=a(x-x1)(x－x2)
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围
表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围.
一般步骤：第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；
第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。
考点1：列二次函数关系式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−1)，
点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l ，过点M作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P，
1 2 1 2
改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是(x,y)，则y关于x的函数解析式为
．
1 1
【答案】y=− x2−
2 2
【思路引导】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接AP，过A点作AN⊥PM
交于点N，可知PA=PM=−y，PN=−1−y，AN=x，在Rt△ANP中由勾股定理即可求解．
【规范解答】解：如图，连接AP，过A点作AN⊥PM交于点N，
∵ AM l
1
线段 的垂直平分线为 ，
∴AP=PM，
∵点P的坐标是(x,y)，
∴PA=PM=−y，PN=−1−y，AN=x，
在Rt△APN中，根据勾股定理得：AP2=AN2+PN2，∴ y2=x2+(−1−y) 2，
1 1
∴ y=− x2− ，
2 2
1 1
故答案为：y=− x2− ．
2 2
【变式训练】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的
一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然线段Rt△CGD的面积y是线段长
度x的函数，这个函数的表达式是 ．
❑√3
【答案】y= (1−x) 2
2
【思路引导】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形
的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出
∠CDG=30°，根据直角三角形的性质得DC=2GC，再由勾股定理可得DG=❑√3GC，然后等边
△ABC的边长为1，BG=x得GC=1−x，DG=❑√3(1−x)，据此可得出函数的表达式．
【规范解答】解：如图，连接BD，
∵△ABC
为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG=30°，
在Rt△DCG中，∠CDG=30°，
∴DC=2GC，
由勾股定理得：DG=❑√DC2−GC2=❑√3GC，∵等边△ABC的边长为1，BG=x，
∴GC=BC−BG=1−x，
∴ DG=❑√3(1−x)，
1 1 ❑√3
∴y= CG⋅DG= ×❑√3(1−x) 2= (1−x) 2 ，
2 2 2
❑√3
故答案为：y= (1−x) 2 ．
2
考点2：根据二次函数的定义求参数
(
4m+4) m+2
【典例精讲】（2024·广东广州·一模）已知A= m+ ÷ ．
m m2
(1)化简A；
(2)若点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，求A的值．
【答案】(1)m2+2m
(2)3
【思路引导】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函
数的性质是解题的关键．
（1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；
（2）再把点(m,0)代入得到m2+2m−3=0，则m2+2m=3，整体代入化简的A中计算即可．
(
4m+4) m+2
【规范解答】（1）解：A= m+ ÷
m m2
(m2 4m+4) m+2
= + ÷
m m m2
m2+4m+4 m+2
= ÷
m m2
(m+2) 2 m2
= ⋅
m m+2
=m(m+2)
=m2+2m；
（2）解：∵点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，∴m2+2m−3=0
∴m2+2m=3
∴A=m2+2m=3．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
【答案】(1)y=−2x+5或y=−4x+5
(2)y=2x2−2x+5
【思路引导】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式．
（1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可；
（2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可．
【规范解答】（1）解：∵函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5为一次函数，
∴k2+1=1，或k+1=0，
∴ k=0，或k=−1
当k=0时函数y=(0+1)x02+1+(0−3)x+5=−2x+5，
当k=−1时函数y=(−1+1)x(−1)2+1+(−1−3)x+5=−4x+5，
∴此一次函数解析式为y=−2x+5或y=−4x+5；
（2）解：∵x的函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5为二次函数．
∴k2+1=2，且k+1≠0
解得：k=1，
当k=1时，y=(1+1)x2+(1−3)x+5=2x2−2x+5，
∴函数的解析式y=2x2−2x+5．
考点3：y=ax²的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别
1 1
交抛物线y=x2(x≥0)和抛物线y= x2(x≥0)于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y= x2 于点
4 4BD
C，过点B作BD∥x轴交抛物线y=x2于点D，则 的值为 ．
AC
1
【答案】
2
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设A(m,m2)，则B
(
m,
1 m2)
，根据题意得出
4
C(2m,m2)，D
(1
m,
1 m2)
，即可求得BD=m−
1
m=
1
m，AC=2m−m=m，从而求得
BD
=
1
．
2 4 2 2 AC 2
【规范解答】解：设A(m,m2)，则B
(
m,
1 m2)
，
4
1
∵AC∥x轴交抛物线y= x2 于点C，BD∥x轴交抛物线y=x2于点D，
4
∴C(2m,m2)，D
(1
m,
1 m2)
，
2 4
1 1
∴BD=m− m= m，AC=2m−m=m，
2 2
1
m
BD 2 1，
∴ = =
AC m 2
1
故答案为： ．
2
【变式训练】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛
物线y=x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．【答案】2
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角
形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入y=x2即可求解，构造全等三角形解题是关键．
【规范解答】解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AD⊥y轴于D，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，则AC=BC，
∵A、B两点的横坐标分别为1和b(b >1)，
∴AD=1，BE=b，
∵点A、B在抛物线y=x2上，
∴A(1,1)，B(b,b2)，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∴△BEC≌△CDA(AAS)，
∴CE=AD=1，CD=BE=b，
∴OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b，
∴b2=2+b，
整理b2−b−2=0，
解得：b=2或−1（舍去），
∴b的值为2，故答案为：2．
考点4：y=ax²+k的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线y=−x2+4．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：
(2)该抛物线y=−x2+4可由抛物线y=−x2向______平移______个单位得到；
(3)当−1≤ y≤3时，x的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)上，4
(3)−❑√5≤x≤−1或1≤x≤❑√5
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题的关键．
（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为(0,4)，经过点(−1,3)，(1,3)，(−2,0)，(2,0)，即可
画出大致图象；
（2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；
（3）先求得y=−1和y=3时，x的值，然后结合（1）中图象即可得出结论．
【规范解答】（1）解：∵y=−x2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为(0,4)，开口向下，
令y=0，则x=±2，即该抛物线经过点(−2,0)，(2,0)，
令y=3，则x=±1，即该抛物线经过点(−1,3)，(1,3)，
所以此抛物线的大致图象如下图即为所求：（2）解：由上加下减的原则可得，y=−x2向上平移4个单位可得出y=−x2+4．
故答案为：上，4．
（3）解：当y=−1时，−x2+4=−1，解得x=±❑√5，
当y=3时，−x2+4=3，解得x=±1，
结合（1）中图象可知，当−1≤ y≤3时，x的取值范围为：−❑√5≤x≤−1或1≤x≤❑√5．
故答案为：−❑√5≤x≤−1或1≤x≤❑√5．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点
y −y
M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )，将 1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知
1 1 2 2 1 2 x −x MN
1 2
二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当
1 1 2 2 1 2
x >x ≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
2 1 MN
【答案】a≥1/1≤a
【思路引导】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得a(x +x )>2，可得
1 2
2
x +x > ，再结合x >x ≥1进一步解答即可．
1 2 a 2 1
【规范解答】解：由题意可得：y =ax 2+1，y =ax 2+1，
2 2 1 1
y −y ax 2+1−ax 2−1 a(x +x )(x −x )
∴ 1 2= 1 2 = 1 2 1 2 =a(x +x )，
x −x x −x (x −x ) 1 2
1 2 1 2 1 2
∵k >2，
MN∴a(x +x )>2，
1 2
2
∴x +x > ，
1 2 a
∵x >x ≥1，
2 1
2
∴ ≤2，而a>0，
a
∴a≥1；
故答案为：a≥1
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线x=c交抛物线y =−(x−a) 2 于点
1
A(c,m)，交抛物线y =−(x−b) 2 于点B(c,n)，下列结论：①若a>b>c，则ma>c，则
2
mb>a，则mc>b，则mb>c，则a−b>0，2c−a−b<0，
∴m−n<0，即ma>c，则a−b<0，2c−a−b<0，
∴m−n>0，即m>n，故②不正确；若c>b>a，则a−b<0，2c−a−b>0，
∴m−n<0，即mc>b，则a−b>0，而无法判断2c−a−b的正负性，故无法判断m与n的大小关系，故④不正确；
∴综上所述，其中正确的是①③，有2个．
故选：B．
【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形ABC的边长为1，动点D从点B开始沿边
BC向点C移动，过点D作AB边的垂线，交AB于G，连接AD．
(1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）；
(2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律．
【答案】(1)见解析
(2)答案不唯一，见解析
【思路引导】本题考查等边三角形的性质，常量与变量，二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）答案不唯一比如线段BD，线段BG，线段DG；
（2）根据特殊三角形两边之间的关系解答即可．
【规范解答】（1）解：变量有线段BD的长，线段CD的长，线段BG的长，线段AG的长，线段DG的长，
线段AD的长，△BDG的面积，△ADG的面积，△ADB的面积，△ACD的面积，∠ADG的度数，
∠DAG的度数，∠CDA的度数，∠CAD的度数．
（2）解：答案不唯一，例如选取线段AG的长与△BDG的面积两个变量．
1
设线段AG的长为x，△BDG的面积为y，则自变量x的取值范围为 ”、“<”或“=”）；
1 2 1 2
(3)若点C(t,y )，D(t+2,y )为抛物线上的两点，且y >y ，求出t的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)a=1
(2)>
(3)t<0
【思路引导】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
（1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案；
（2）首先得到抛物线对称轴为直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到|t−1)>|t+2−1)，进而求解
即可．
【规范解答】（1）∵y=ax2−2ax+1=a(x−1) 2−a+1，
∵抛物线y=ax2−2ax+1的顶点在x轴上，
∴−a+1=0，
∴a=1；
（2）∵a=1，
∴y=x2−2x+1=(x−1) 2，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线上两点A(m,y )，B(n,y )，my ；
1 2
（3）∵点C(t,y )，D(t+2,y )为抛物线上的两点，且y >y ，
1 2 1 2∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴|t−1)>|t+2−1)，
∴(t−1) 2>(t+1) 2
∴t2−2t+1>t2+2t+1
解得t<0．
【变式训练】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数
y=x2−2ax+2a2−a的顶点为P．
（1）点P的坐标为 （用含字母a的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数y′，若a≥−1，则该抛物线
顶点P纵坐标的最小值为 ．
25
【答案】 (a,a2−a) −
4
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次
函数的顶点式和增减性是解本题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为y=a2−a，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合a的取值
范围求出该抛物线顶点P纵坐标的最小值即可．
【规范解答】解：（1）∵y=x2−2ax+2a2−a=x2−2ax+a2+a2−a=(x−a) 2+a2−a，
∴顶点P的坐标为(a,a2−a)．
故答案为：(a,a2−a)；
（2）原抛物线顶点纵坐标为y=a2−a= ( a− 1) 2 − 1 ，
2 4
将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有：
y′= ( a− 1) 2 − 1 −6= ( a− 1) 2 − 25 ，
2 4 2 4
1 (1 25)
此函数图象开口向上，对称轴为a= ，顶点坐标为 ,− ，
2 2 4∵a≥−1，
1 25
∴当a= 时，y′有最小值，为− ，
2 4
25
即该抛物线顶点P纵坐标的最小值为− ，
4
25
故答案为：− ．
4
考点9：画y=ax²+bx+c的图象
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2x+3．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：当−1b>c>d B．a>b>d>c
C．b>a>c>d D．b>a>d>c
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数y=ax2的性质：①抛物线y=ax2的开口大小由|a)决定，|a)越大，抛物
线的开口越窄，|a)越小，抛物线的开口越宽；②抛物线y=ax2的开口方向由a决定，当a>0时，抛物线开
口向上，当a<0时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出a,b,c,d的大小关系．
【规范解答】∵抛物线y=ax2、y=bx2开口向上，
且抛物线y=ax2的开口更窄，
∴a>b>0，
∵抛物线y=cx2、y=dx2开口向下，
且抛物线y=dx2的开口更窄，
∴db>c>d．
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则下列结论中错误的是（ ）A．abc>0 B．当x>4时，y>0
C．a−b+c=0 D．2a−b=0
【答案】D
【思路引导】本题考查了图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数之间的关系，二次函数系数符号由抛
物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对
称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可．
【规范解答】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线对称轴为x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故选项D错误，符合题意；
∴b<0，
∵抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故选项A正确，不符合题意；
∵抛物线与 x 轴一个交点为 (3,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 (−1,0) ，
∴x>3 时 y>0，
∴x>4时 y>0，故选项B正确，不符合题意；
当 x=−1 时，y=a(−1) 2+b×(−1)+c=a−b+c，
∵抛物线与 x 轴的交点为 (−1,0) ，
∴a−b+c=0，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．考点12：一次函数、二次函数图象综合判断
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系xOy中，点A(m,n)为抛物线
y=ax2−(a+1)x−3(a>0)上一点．当00，n= ，
4c
4ac−b2 4ac−b2 (4ac−b2)(a+c)
∴m+n= + = ，
4a 4c 4ac
∵a+c=0，
∴m+n=0；
（3）∵函数y 的图象与函数y 的图象的两个交点分别在二、四象限，且ac<0，
1 2
①若a<0，c>0，
b b
则− <− ，
2a 2c
b(a−c)
即 <0，
2ac
∵ac<0，(a−c)<0，
∴b<0，
②若a>0，c<0，b b
则− >− ，
2a 2c
b(a−c)
即 >0，
2ac
∵ac<0，(a−c)>0，
∴b<0，
综上可知，b<0．
【考点评析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是
解题的关键．
1
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝
4
1
x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于
4
BD
点D，则 的值为（ ）
AC
1 ❑√2 1 ❑√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】C
1 1 1
【思路引导】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可求得BD
4 2 4
1 1 BD 1
＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
2 2 AC 2
1
【规范解答】设A（m，m2），则B（m， m2），
4
1
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
4
1 1
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
2 41 1
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
2 2
1
m
BD 2 1.
∴ = =
AC m 2
故选C．
【考点评析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关
键．
考点14：根据二次函数的图象判断式子符号
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中两个变量
x与y的三组对应值：
x … −2 2 8 …
y … n 1 n …
点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上．若当26；③25a+5b+c−1>0；④若记二次函数y=ax2+bx+c(x 0时，开口向上，离对称轴越近值越小，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
当26，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
当36，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
若a<0时，开口向下，离对称轴越近值越大，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2|x −3)>|2−3)，
1 2
当23−x >1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 2
当2x −3>1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 1
当3x −3>1，解得x >x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
∴a>0，当26，当36，故①错误，②正确；
1 2 1 2 1 2 1 2
∵a>0，开口向上，当x>3时，函数值随着x增大而增大，把x=5代入y=ax2+bx+c得y=25a+5b+c，
当x=4时，y=1，
∴25a+5b+c>1，即25a+5b+c−1>0，故③正确；
当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c的图象有最低点，当x>3时，函数值随着x增大而增大，
∵二次函数y=ax2+bx+c(x 0；②abc<0；③2a+b=0；④4a+2b+c<0；⑤当x>0时，y随x的增大
而增大，其中正确的是 ．【答案】①③④
【思路引导】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象及抛物线与x轴的交点．熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键；
根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【规范解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴判别式Δ=b2−4ac>0，故结论①正确；
∵抛物线与x轴的交点分别为(−1,0)、(3,0)，
−1+3
∴抛物线的对称轴是x= =1，
2
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
即2a+b=0，故结论③正确；
∵二次函数开口向上，
∴a>0，
∴b=−2a<0，
∵抛物线与y轴的交点在原点下方，
∴c<0，
∴abc>0；故结论②不正确；
∵由函数图象可知，当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故结论④正确；
∵抛物线的对称轴是x=1，且开口向上，
∴x>1时，y随x的增大而增大，0n；③该
函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x=3．其中说法正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【思路引导】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是
把点(−1,−3)，(5,−3)的坐标代入二次函数y=x2+bx+c，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然
后再根据二次函数的图象与性质进行判断．
【规范解答】解：把点(−1,−3)，(5,−3)的坐标代入二次函数y=x2+bx+c，
{ 1−b+c=−3 )
可得： ，
25+5b+c=−3{b=−4)
解方程组可得： ，
c=−8
∴二次函数的解析式为y=x2−4x−8，
① ∵二次函数y=x2−4x−8中a=1>0，
∴抛物线开口向上，
b −4
∵二次函数y=x2−4x−8的对称轴为x=− =− =2，
2a 2
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，故①正确；
② ∵点(0,m)，(5,n)在该函数的图象上，
当x=0时，可得：m=−8，
当x=5时，可得：n=52−4×5−8=−3，
∴my >y B． y >y >y C． y >y >y D． y >y >y
1 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 3
【答案】A
【思路引导】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
把二次函数化简成顶点式y=2(x−1) 2+c−2，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据在对称轴两侧时，
三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断y ，y ，y 的大小．
1 2 3
【规范解答】解：∵y=2x2−4x+c=2(x−1) 2+c−2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大，∵|1−0.5)<|1−1.75)<|1−(−2.5))，
∴y >y >y ，
1 3 2
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y=ax2−2a2x(a≠0)．
(1)当a=2时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求
新的二次函数的最大值与最小值；
(3)已知P(x ,y )和Q(x ,y )是抛物线上两点，若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y 0和a<0两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可．
【规范解答】（1）解：当a=2时，抛物线的解析式为y=2x2−8x，
∵ y=2x2−8x=2(x−2) 2−8，
∴该抛物线的顶点为(2,−8)；
（2）解：由题意知，抛物线的解析式y=2(x−2) 2−8，
当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为y=2(x−2+1) 2−8，
即y=2(x−1) 2−8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
当0≤x≤3时，x=3时，二次函数有最大值，最大值为：y=2×(3−1) 2−8=0，
x=1时二次函数有最小值，最大值为：−8；
−2a2
（3）解：抛物线y=ax2−2a2x(a≠0)的对称轴为：直线x=− =a，
2a
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大，
若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y 5，
5
∴a<−
2
5
∴ a的取值范围为：00，可得结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得x +x =2(m−1),x x =m2−2m，由两点间距离公式得
1 2 1 2
OM=❑√x2+x2，变形后结合二次函数的性质求出OM的最小值即可．
1 2
【规范解答】（1）证明：∵Δ=b2−4ac
=[−2(m−1)) 2 −4(m2−2m)
=4m2−8m+4−4m2+8m
=4>0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x ，x 是方程x2−2(m−1)x+m2−2m=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2(m−1),x x =m2−2m，
1 2 1 2
∴x2+x2=[2(m−1)) 2 −2(m2−2m)
1 2
=4(m2−2m+1)−2m2+4m
=4m2−8m+4−2m2+4m
=2m2−4m+4
=2(m2−2m+2)
=2[(m−1) 2+1)
∵在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标记为(x ,x )，
1 2
∴OM=❑√(x −0) 2+(x −0) 2=❑√x2+x2=❑√2[(m−1) 2+1)，
1 2 1 2
∵(m−1) 2≥0，
∴当(m−1) 2=0时，即m=1时，(m−1) 2+1取得最小值1，
∴OM =❑√2×(0+1)=❑√2，
最小值
故答案为：❑√2．【变式训练】24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y−x”称为点A的“纵横值”．函数图象
上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3−1=2，函数y=2x+1图象上所有点的
“纵横值”可表示为y−x=2x+1−x=x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数
y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)点B(−6,2)的“纵横值”为________；
3
(2)若二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，且最优纵横值为5，求c的值；
2
1
(3)若二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，当−1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范
2
围．
【答案】(1)8
(2)c=4
5
(3)−5≤函数纵横值≤
4
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关
性质是解题的关键．
（1）点B(−6,2)的“纵横值”为2−(−6)=8，即可求解；
b 3
（2）由题意得− = ，解得b=3，y=−x2+3x+c，进而得
2×(−1) 2
y−x=−x2+2x+c=−(x−1) 2+c+1，即可求解；
1
（3）由题意得3= ℎ+2，解得ℎ=2，y=−(x−2) 2+3=−x2+4x−1，进而得
2
y−x=−x2+3x−1=− ( x− 3) 2 + 5 ，即可求解．
2 4
【规范解答】（1）解：点B(−6,2)的“纵横值”为2−(−6)=8，
故答案为：8；
3
（2）∵二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，
2b 3
∴ − = ，
2×(−1) 2
解得b=3，
∴ y=−x2+3x+c，
∴ y−x=−x2+2x+c=−(x−1) 2+c+1，
∵最优纵横值为5，
∴c+1=5，
解得c=4；
1
（3）∵二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，
2
1
∴ 3= ℎ+2，
2
解得ℎ=2，
∴ y=−(x−2) 2+3=−x2+4x−1，
∴ y−x=−x2+3x−1=− ( x− 3) 2 + 5 ，
2 4
当−1≤x≤3时可知，
3 5
当x= 时，(y−x) = ，
2 max 4
( 3) 2 5
当x=−1时，(y−x) =− −1− + =−5，
min 2 4
5
∴ −5≤函数纵横值≤ ．
4
考点18：利用二次函数对称性求最短路径
【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0),B(0,3)．
(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,2)
【思路引导】（1）把A点和B点坐标代入y=−x2+bx+c后解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为C,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线x=1，进而求出点C的坐标，
连接BC交直线x=1于P点，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，接着求出直线BC的解析式，
进而求解．
【规范解答】（1）解：把A(−1,0),B(0,3)分别代入y=−x2+bx+c得
{−1−b+c=0)
，
c=3
{b=2)
解得
c=3
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为C，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得x =−1，x =3
1 2
∴C(3,0)．
连接BC交直线x=1于P点，如下图
∵PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC=BC，
∴此时PA+PB最小，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C(3,0),B(0,3)分别代入得
{3m+n=0)
，
n=3{m=−1)
解得 ，
n=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
当x=1时，y=−x+3=2，
∴P点坐标为(1,2)．
【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最
短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，
从而代入数值求解．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c
与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA=OC=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)点D的坐标为(−1,2)
( 3 15)
(3)存在，点P − ，
2 4
【思路引导】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小，进而
求解；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由题意可设点P(x,−x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，由铅垂法可得S =
1
×3×PH=
3
(−x2−3x)=−
3(
x2+
3) 2
+
27
，然后问题可求解．
△APC 2 2 2 2 8
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
【规范解答】（1）解：∵OA=OC=3，
则点A、C的坐标分别为：(−3,0)、(0,3)，
{−9−3b+c=0) {b=−2)
将A，C的坐标代入抛物线y=−x2+bx+c得： ，解得： ，
c=3 c=3
∴抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3；
（2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小；
如图1，BD+CD=AD+CD=AC为最小；
{−3k+b=0)
设直线AC的表达式为：y=kx+b，将点A、C的坐标代入得： ，
b=3
{k=1)
解得： ，
b=3
−2
∴直线AC的表达式为y=x+3，抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2×(−1)
当x=−1时，y=2，即点D的坐标为(−1,2)；
（3）解：△APC的面积存在最大值；理由如下：
过点P作PH∥y轴交AC于点H，如图2，
由（2）可得直线AC的表达式为y=x+3，设点P(x,−x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，
∴PH=−x2−2x+3−x−3=−x2−3x，△APC的水平宽为3，
∴S =
1
×3×PH=
3
(−x2−3x)=−
3(
x2+
3) 2
+
27
，
△APC 2 2 2 2 8
3 27
∴当x=− 时，△APC的面积最大，最大值为 ，
2 8
( 3 15)
此时点P − , ．
2 4
考点19：待定系数法求二次函数解析式
【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如
表：
x … −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 −3 −4 −3 0 m …
(1)二次函数图象的开口方向 ，m的值为 ．
(2)求出这个二次函数的解析式；
【答案】(1)向上，5
(2)y=x2−2x−3
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）根据抛物线的对称性求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点(−1,0)，(3,0)，
−1+3
∴抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)，
∴抛物线开口向上，当x=4和x=−2时函数值相等，即m=5；
（2）解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把(0,−3)代入得−3=a×1×(−3)，
解得a=1，∴抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，
即y=x2−2x−3．
【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+mx+3与x轴交于点
3
A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，抛物线与直线y=− x+3交于C、D两点．连接BD、
2
AD．
(1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标．
(2)抛物线上有一点P，满足S =4S ，求点P的坐标．
△ABP △ABD
(7 9)
【答案】(1)y=−x2+2x+3；D ,−
2 4
(2)P(1+❑√13,−9)或P(1−❑√13,−9)．
【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形的面积等知识，解题
的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
{y=−x2+2x+3)
（1）利用待定系数法即可解决问题，联立方程组 3 ，求解即可；
y=− x+3
2
（2）由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=−x2+mx+3过点(3,0)，
∴−9+3m+3=0，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；{y=−x2+2x+3)
由 3 ，
y=− x+3
2
7
{ x= )
{x=0) 2
得 或 ，
y=3 9
y=−
4
(7 9)
∴C(0,3)，D ,− ；
2 4
（2）解：∵S =4S ，
△ABP △ABD
1 1 9
∴ AB×|P |=4× AB× ，
2 y 2 4
∴|P |=9，P =±9，
y y
当y=9时，−x2+2x+3=9，
∴x2−2x+6=0，
∵Δ=4−4×6<0，
∴此方程无实数解，
当y=−9时，−x2+2x+3=−9，
解得：x =1+❑√13，x =1−❑√13，
1 2
∴P(1+❑√13,−9)或P(1−❑√13,−9)．
考点20：线段周长问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)．A点在原点的左侧，B点的坐标为
(3,0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,2)
3 15 75
(3)P( , )，四边形面积的最大值为
2 4 8
【思路引导】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出P点
的纵坐标是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意求出l :y=−x+3以及二次函数的对称轴，由题意可知，点A和点B关于x=1对称，当点
BC
Q(1,y)在l :y=−x+3上时，△QAC的周长最小，即可得到答案；
BC
（3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点P的坐
标．
【规范解答】（1）解：将B、C两点坐标代入y=−x2+bx+c，
{−9+3b+c=0)
得 ，
c=3
{b=2)
解得 ，
c=3
∴y=−x2+2x+3；
（2）解：设l :y=kx+b，
BC
将C(0,3)，(3,0)代入，
{ b=3 )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得
b=3故l :y=−x+3，
BC
∵ y=−x2+2x+3，
b 2
对称轴x=− =− =1，
2a 2×(−1)
设点Q(1,y)，
由题意可知，点A和点B关于x=1对称，
当点Q(1,y)在l :y=−x+3上时，△OAC的周长最小，
BC
此时点Q(1,2)，
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设点P的横坐标为x，则02时，y >y ．当a<2时，y 2时，y >y ．当a<2时，y 11) 2
4
【思路引导】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数
形结合思想成为解题的关键．
（1）根据题意求得点A(0,3)，再代入y=−x2+2x+c即可求得c的值；
(11 15) 3
（2）先求出B , ，再运用待定系数法求得直线AB的解析式为y=− x+3，由点A与点C关于抛
4 16 4
物线的对称轴对称，可得AC∥x轴，AC的解析式为y=3；如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，( 3 )
根据等腰三角形的性质可得PE=DE，点P的横坐标为m，则P(m,−m2+2m+3)、D m,− m+3 ，进
4
3
而得到PE=−m2+2m,ED= m，然后根据PE=DE列关于m的方程求解即可；
4
（3）①分两种情况，当P点位于A、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形PMAN是平行
( 3 )
四边形，即AM=PN、MP=AN；由题意可得P(m,−m2+2m+3)、N m,− m+3 ，进而得到
4
PE，ED，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函
数的性质列关于m的方程解答即可．
3
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=− x+3=3，即A(0,3)，
4
将A(0,3)代入y=−x2+2x+c，可得：c=3．
∴y=−x2+2x+3．
11
（2）解：∵点B的横坐标为 ，
4
3 3 11 15 (11 15)
∴y=− x+3=− × +3= ，即点B , ，
4 4 4 16 4 16
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{
3=b
) {
b=3
)
则 15 11 ，解得： 3 ，
= k+b k=−
16 4 4
3
∴直线AB的解析式为y=− x+3，
4
∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴AC∥x轴，AC的解析式为y=3，
如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，∵AC平分∠PAB，
∴PE=DE，
∵点P的横坐标为m，
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，D m,− m+3 ，
4
∴PE=−m2+2m+3−3=−m2+2m,ED=3− ( − 3 m+3 ) = 3 m，
4 4
3 5
∴−m2+2m= m，解得：m=0（舍弃）或m= ．
4 4
（3）解：①如图：当P点位于A、B之间时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点
N，
∴四边形PMAN是平行四边形，
∴AM=PN，MP=AN，
∵点P的横坐标为m，m>0
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4∴AM=PN=−m2+2m+3− ( − 3 m+3 ) =−m2+ 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( −m2+ 11 m+ 5 m ) =−2m2+8m，即l=−2m2+8m ( 00
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4
∴AM=PN=−(−m2+2m+3)+ ( − 3 m+3 ) =m2− 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( m2− 11 m+ 5 m ) =2m2−3m，即l=−2m2−3m ( m> 11) ，
4 4 4
{ l=−2m2+8m ( 0 11)
4{ l=−2m2+8m ( 0 11)
4
∵l=−2m2+8m=−2(m−2) 2+8
． ，函数图形开口向上，对称
轴为m=2
两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴左侧时，0m+1−2
3
∴12
)
两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴右侧时， 11 ，
m+1<
4
不等式无解，不符合题意；
{ l=−2m2+8m ( 0 11)
411
{ m< )
4 11
，即2
4
7+❑√65 7−❑√65
−2m2+8m<2(m+1) 2−3(m+1)，m> 或m< ，
8 8
7+❑√65 11
则 1．
【思路引导】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想
及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到m的取值范围．
（1）根据抛物线对称轴求出b的值，再根据抛物线与y轴的交点求出c的值，从而求出二次函数解析式；
（2）①点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，PA⊥x轴，PB⊥l，点P的横坐标为m，可得m>−1，
AC=|m−(−1)|=m+1，PA=|m2+2m−1|．根据正方形的性质列出方程求解即可；
②根据①可知得当m=1或m=0时，PB=PA，然后结合抛物线即可解决问题．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，
b
∴− =−1，
2
∴b=2，
∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的交点坐标为(0,−1)，
∴c=−1，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−1；
（2）解：①∵点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，PA⊥x轴，PB⊥l，点P的横坐标为m，
∴m>−1，
∴AC=|m−(−1)|=m+1，PA=|m2+2m−1|，
当四边形APBC为正方形时，PA=AC，
∴|m2+2m−1|=m+1，
∴m2+m−2=0，
解得m =1，m =−2（不符合题意，舍去），
1 2
或者m2+3m=0，
解得m =0，m =−3（不符合题意，舍去），
3 4
∴m的值为1或0；
②根据①可知：当m=1或m=0时，PB=PA，
∴当0PA，∵m>−1，
∴当−11时，PB1．
【变式训练】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4
经过点A(−2,0)，B(4,0)，D为抛物线的顶点．
(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接BC，在线段OB上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作PE⊥x轴，交直线BC于
点E，
①当直线PE经过点D时，求DE的长；
②以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
{ a=− 1 )
【答案】(1) 2
b=1
3 (3 )
(2)① ；② ,0
2 2
【思路引导】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；
（2）①根据抛物线得到C、D的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+4，利用待定系数法求出直线BC的
解析式，进而推出点E的坐标，即可解题；
②设点P的坐标为(m,0)，进而得到点E的坐标为(m,−m+4)，结合正方形性质得到点F的坐标为
(2m−4,−m+4)，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−2,0)，B(4,0)，
{4a−2b+4=0)
∴ ，
16a+4b+4=0
{ a=− 1 )
解得 2 ；
b=1
1
（2）解：①由（1）知，抛物线解析式为y=− x2+x+4，
2( 9)
∴ C(0,4)，D 1, ，
2
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∴4k+4=0，
解得k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
∵ PE⊥x轴，
当直线PE经过点D时，
有x =1，则y =−1+4=3，
E E
9 3
∴DE= −3= ；
2 2
②设点P的坐标为(m,0)，
∵ PE⊥x轴，
∴点E的坐标为(m,−m+4)，
∴PE=−m+4，
∵在PE的左侧作正方形PEFG，且点F在抛物线上，
∴EF=−m+4，
∴点F的坐标为(2m−4,−m+4)，
1
且− (2m−4) 2+(2m−4)+4=−m+4，
2
整理得2m2−11m+12=0，
3
解得m= 或m=4，
2
∵动点P不与点O，B重合，
3
∴ m= ，
2
(3 )
∴点P的坐标为 ,0 ．
2
【考点评析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方
形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．考点25：其他问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+5与x轴交
于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx交于点C，D．已知点C的坐标为(1,7)，点D的横坐标为5．
(1)求直线与抛物线的解析式；
(2)当x>4时，若抛物线y=ax2+bx+m与直线AB有交点，结合图象，求m的取值范围．
【答案】(1)直线解析式为y=2x+5，抛物线解析式为y=−x2+8x
(2)m>−3
【思路引导】（1）利用点C坐标可求出直线的解析式，进而可得点D坐标，再利用待定系数法可求出抛物
线的解析式；
（2）可得抛物线y=−x2+8x+m的顶点坐标为(4,m+16)，对称轴为直线x=4，进而由点(4,13)可得
m=−3，结合图象即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【规范解答】（1）解：把C(1,7)代入y=kx+5得，7=k+5，
∴k=2，
∴直线的解析式为y=2x+5，
∵点D的横坐标为5，
∴点D的纵坐标y=2×5+5=15，
∴D(5,15)，
把C(1,7)、D(5,15)代入y=ax2+bx得，
{ a+b=7 )
，
25a+5b=15
{a=−1)
解得 ，
b=8
∴抛物线的解析式为y=−x2+8x；
（2）解：抛物线y=−x2+8x+m的顶点坐标为(4,m+16)，对称轴为直线x=4，把x=4代入y=2x+5得，y=2×4+5=13，
把点(4,13)代入y=−x2+8x+m得，13=−16+32+m，
解得m=−3，
∴m>−3时，抛物线y=−x2+8x+m与直线AB在x>4时有交点．
【变式训练】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线y=x2−mx−(m+1)．
(1)试说明：无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过某个定点．
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点A(a,0)，与x轴的正半轴交于点B(b,0)，与y轴交于点C，且满足
a2+b2−ab=13．
①求m的值．
②抛物线上是否存在点P，使得S =2S ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
△ACP △AOC
【答案】(1)见解析；
(2)①m=2；②存在，点P的坐标是(2,−3)或(−3,12)．
【思路引导】本题考查待定系数法，二次函数图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像和
性质是解题的关键；
（1）法一：把x=−1代入y=x2−mx−(m+1)，即可求解；法二：将y=x2−mx−(m+1)整理成
m(x+1)=x2−y−1，计算求解即可；
（2）①由题意，可知a<0，b>0，求得a=−1，进而求解点B的坐标，进而求解m的值；②连接AC，在x
轴上取点D，使得OD=OA，过点D作PD∥AC，交抛物线于点P，把x=0代入y=x2−2x−3，求得点
C的坐标，进而求得直线PD的表达式，即可求解；
【规范解答】（1）解：法一：当x=−1时，y=(−1) 2−m×(−1)−(m+1)=1+m−m−1=0，∴无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过定点(−1,0)．
法二：由y=x2−mx−(m+1)，可得m(x+1)=x2−y−1，
{ x+1=0 )
∴ ，
x2−y−1=0
{x=−1)
解得： ，
y=0
∴无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过定点(−1,0)；
（2）①由题意，可知a<0，b>0，
∴a=−1，
∴1+b2+b=13，解得b =−4（舍去），b =3，
1 2
∴点B的坐标是(3,0)．
把点B(3,0)代入y=x2−mx−(m+1)，得9−3m−(m+1)=0，解得m=2．
②∵m=2，抛物线的表达式是y=x2−2x−3．
如图，连接AC，在x轴上取点D，使得OD=OA，过点D作PD∥AC，交抛物线于点P，
则S =S =2S ，
ΔACP ΔDAC ΔAOC
∵a=−1，
点A的坐标是(−1,0)，
点D的坐标是(1,0)．
把x=0代入y=x2−2x−3，得y=−3，
点C的坐标是(0,−3)．
{−k+t=0)
设直线AC的表达式是y=kx+t，则 ，
t=−3{k=−3)
解得 ，
t=−3
∴直线AC的表达式是y=−3x−3．
设直线PD的表达式是y=−3x+n，
把点D(1,0)代入y=−3x+n，
得n=3，
∴直线PD的表达式是y=−3x+3．
{ y=−3x+3 )
联立方程组，得 ，
y=x2−2x−3
{ x =2 ) {x =−3)
解得 1 ， 2 ，
y =−3 y =12
1 2
∴抛物线上存在点P，使得S =2S ，点P的坐标是(2,−3)或(−3,12)；
ΔACP ΔAOC
1．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线y=x2−6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的
值为 ．
1
【答案】1或−
3
【思路引导】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为(3m,−3m2+5m+3)，再把(3m,−3m2+5m+3)代
入y=x+2，得出3m2−2m−1=0，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【规范解答】解：∵y=x2−6mx+6m2+5m+3，
−6m
∴对称轴为直线x=− =3m，
2×1
把x=3m代入y=x2−6mx+6m2+5m+3，
得y=−3m2+5m+3，
即顶点坐标为(3m,−3m2+5m+3)，
∵抛物线的顶点在直线y=x+2上，
∴−3m2+5m+3=3m+2，整理得3m2−2m−1=0，
则Δ=(−2) 2−4×3×(−1)=16，
2±❑√16 2±4 1±2
∴m= = = ，
2×3 6 3
1
∴m =1,m =− ,
1 2 3
1
故答案为：1或− ．
3
2．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线
1 1 2 2
y=ax2−2ax(a>0)，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x <0且y ⋅y <0时，则00时，则0x >1时，则y 0)开口向上，顶点为(1,−a)，
与x轴交于(0,0)和(2,0)，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即
可．
【规范解答】解：∵y=ax2−2ax(a>0)
∴抛物线的开口向上，
−2a
则对称轴为直线x=− =1，
2a
把x=1代入y=ax2−2ax，得y=a−2a=−a，
∴顶点为(1,−a)，
∵两点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=ax2−2ax(a>0)，
1 1 2 2
∴当x <0且y ⋅y <0时，y >0（因x<0时抛物线在x轴上方），
1 1 2 1
故y <0，
2
此时0y ，
1 2
故B选项的结论错误；
当x <0且y ⋅y >0时，y >0，
1 1 2 2
此时x 应满足x <0或x >2，
2 2 2
故C选项的结论错误；
当x >x >1时，抛物线在x>1时递增，
1 2
故x 越大，y 越大，
1 1
即y >y ，
1 2
故D选项的结论错误；
故选：A
3．（2025·天津·中考真题）四边形ABCD中，AD∥BC，
∠B=90°,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向
终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点
时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t=2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t=6s时，CN=DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【思路引导】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当t=6s时，点M在AD上，求出
DM,CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次
函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2，
列出方程，可判断③．
8 10
【规范解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为 =4s，点M在AD上的运动时间为 =5s，
2 2
点N在CB上的运动时间为16s，
①当t=6s时，点M在AD上，
此时AM=2×6−8=4cm，CN=6cm，∴DM=AD−AM=6cm，
∴CN=DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，
此时BM=2tcm，CN=tcm，
∴BN=(16−t)cm，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t(16−t)=−t2+16t=−(t−8) 2+64，
△BMN 2 2
∵−1<0，
∴当t<8时，S 随t的增大而增大，
△BMN
∴当t=2时，S 取得最大值，最大值为−(2−8) 2+64=28，
△BMN
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t(16−t)=−t2+16t=39，
△BMN 2 2
解得：t =3,t =13（舍去），
1 2
∴当t=3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=180°−∠B=90°，即AB⊥AD，
1 1
此时S = AB×BN= ×8(16−t)=64−4t=39，
△BMN 2 2
25
解得：t= ，
4
25
∴当t= 时，△BMN的面积为39cm2；
4
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
故选：C
4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与y轴相交于点A，与x轴
相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A
关于直线CD的对称点为E，连接DE．(1)求证：∠OAB=45°；
(2)设点C的坐标为(0,m)，当00)．
(1)若a=1，且点(2,3)在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点(−1,−1)，当自变量x的值满足x≥−1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为x=2，点A(m,y ),B(m+1,y )在函数的图象上，且总有y >y ，求m的取
1 2 1 2
值范围．
【答案】(1)2
(2)00，得到离对称轴越远，函数值越大，则点A(m,y )到对称轴x=2的距离大于点B(m+1,y )到
1 2
对称轴的距离，得出关于m的不等式|m−2)>|m+1−2)，然后解不等式即可．
【规范解答】（1）解：当a=1，且点(2,3)在函数y=ax2+bx+3(a>0)的图象上，
∴3=22+2b+3，
解得b=−2，
∴y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∵a=1>0，
∴函数图象开口向上，
∴当x=1时，y有最小值为2；
（2）解：∵y=ax2+bx+3(a>0)过(−1,−1)，
∴a−b+3=−1，
∴b=a+4，
b a+4
∴对称轴为直线x=− =− ，
2a 2a
∵当x≥−1时，y随x的增大而增大，
a+4
∴ − ≤−1，
2a
解得a≤4，
又a>0
∴00，∴离对称轴越远，函数值越大，
∵A(m,y )，B(m+1,y )在抛物线y=ax2+bx+3， y >y
1 2 1 2
∴点A(m,y )到对称轴x=2的距离大于点B(m+1,y )到对称轴的距离，
1 2
∴|m−2)>|m+1−2)，
3
解得m< ．
2
基础夯实
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）抛物线y=(3−x) 2+4的顶点坐标是（ ）
A．(−3,4) B．(3,4) C．(3,−4) D．(−3,−4)
【答案】B
【思路引导】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，进行作答即可．
【规范解答】解：∵y=(3−x) 2+4=(x−3) 2+4，
∴顶点坐标为：(3,4)；
故选B．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
平移后的函数是 ．
【答案】y=(x+2) 2−3
【思路引导】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规
律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得．
【规范解答】解：将二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后的函数是
y=(x+2) 2−3，
故答案为：y=(x+2) 2−3．3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当x=1时，y有最值
为4，且函数图象经过点(0,−1)．求该二次函数的表达式．
【答案】y=−5(x−1) 2+4
【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶
点式．
利用待定系数法求出二次函数解析式．
【规范解答】解：二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当x=1时，y有最值为4，
∴ℎ=1，k=4
∵此函数的图象经过点(0,−1)，
∴a(0−1) 2+4=−1，
解得：a=−5，
∴二次函数的解析式为y=−5(x−1) 2+4．
4．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数y=x2+6x+10
(1)将函数化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式，写出其顶点坐标、对称轴及最值；
(2)当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)顶点坐标为(−3,1)，对称轴为直线x=−3，最小值为1；
(2)>−3;<−3
【思路引导】本题考查了二次函数的配方、顶点式的性质（顶点坐标、对称轴、最值）以及二次函数的增
减性，解题的关键是通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，再利用顶点式的特点分析函数性质．
（1）通过配方法将一般式y=x2+6x+10转化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k，根据顶点式直接得出顶点坐标
(ℎ,k)、对称轴x=ℎ，结合二次项系数符号判断最值；
（2）根据抛物线开口方向（由二次项系数符号确定）和对称轴，确定函数增减性对应的x 的取值范围．
【规范解答】（1）解：对函数y=x2+6x+10进行配方：
∴顶点式为y=(x+3) 2+1，顶点坐标为(−3,1)，对称轴为直线x=−3．
∵二次项系数1>0，
∴函数有最小值，最小值为1，无最大值．（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−3，
∴当x>−3时，y随x的增大而增大；当x<−3时，y随x的增大而减小．
故答案为：>−3；<−3
5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2bx+c．
(1)当x<5时，y随x的增大而增大，求b的取值范围；
(2)若二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，顶点坐标(m，n)．
①求n关于m的函数解析式；
②求该二次函数的图象顶点最低时b，c的值．
【答案】(1)b≥5
(2)①n=m2−2m+1；②b=1，c=−1
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是
解题的关键．
（1）根据对称轴为直线x=b，求解即可；
（2）①根据二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，得出c=1−2b，根据顶点坐标(m，n)得出
−4c−(2b) 2
m=b，n= =c+b2=1−2b+b2 ，解答即可；
4×(−1)
②由①知，n=m2−2m+1=(m−1) 2，得出顶点有最低点(1,0)，求出二次函数的解析式即可解答．
2b
【规范解答】（1）解：二次函数y=−x2+2bx+c图象开口向下，对称轴为直线x=− =b，
−1×2
∵当x<5时，y随x的增大而增大，
∴b≥5．
（2）解：①∵二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，
∴−1+2b+c=0，
∴c=1−2b，
∵二次函数y=−x2+2bx+c的顶点坐标为(m，n)，
2b −4c−(2b) 2
∴m=− =b，n= =c+b2=1−2b+b2 ，
−1×2 4×(−1)
∴n=m2−2m+1；
②由①知，n=m2−2m+1=(m−1) 2，∴当m=1时，顶点纵坐标n取得最小值为0，此时顶点最低点为(1,0)，
∵二次函数y=−x2+2bx+c中a=−1，
∴二次函数的解析式为y=−(x−1) 2=−x2+2x−1，
∴b=1，c=−1．
培优拔高
1．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c的图像如图，下列说法中错误的是（ ）
①abc>0②2a−b=0③3a+b>0④2c−3b<0
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．
b
由抛物线对称轴为x=1，即− =1，2a+b=0可判断②；由抛物线开口向下，a<0，b=−2a>0，再根
2a
b
据与y轴交于正半轴，即c>0，则abc<0，故可判定①；由− =1，则b=−2a，将b=−2a代入可得
2a
3a+b<0，即可判定③；当x=−1时，a−b+c<0，则2a−2b+2c<0，将2a=−b代入−3b+2c<0，
即可判断④．
b
【规范解答】解：由图像可知：抛物线对称轴为x=1，即− =1，则2a+b=0，故②错误；
2a
抛物线开口向下，即a<0，所以b=−2a>0，与y轴交于正半轴，即c>0，则abc<0，故①错误；
b
由− =1，则b=−2a，将b=−2a代入3a+b=3a+(−2a)=a，因为a<0，即3a+b<0，故③错误，
2a
当x=−1时，a−b+c<0，则2a−2b+2c<0，将2a=−b代入−3b+2c<0，即2c−3b<0，故④正确．
综上，错误的有①②③．故答案为：A．
2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三点A(2,0)，B(1,−2)，C(2,−2)中恰有两点在拋物
线y=ax2+bx−2（a>0且a，b均为常数）上、下列四个结论：
1
①抛物线的对称轴是直线x= ；
2
②当0− 时，关于x的一元二次方程ax2+bx−2=t有两个不相等的实数根；
4
④若P(m,n)和Q(m+4,ℎ)都是抛物线上的点，且n<0，则ℎ>0．
其中正确的结论（序号）有 ．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，先求出二次函数的解析式，再结
合二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【规范解答】解：∵三点A(2,0)，B(1,−2)，C(2,−2)中恰有两点在拋物线y=ax2+bx−2（a>0且
a，b均为常数）上，
∴点A(2,0)和C(2,−2)不可能同时在抛物线上，点B(1,−2)和C(2,−2)不可能同时在抛物线上；
{4a+2b−2=0)
∴将A(2,0)，B(1,−2)代入抛物线解析式可得 ，
a+b−2=−2
{ a=1 )
解得 ，
b=−1
∴抛物线的解析式为y=x2−x−2= ( x− 1) 2 − 9 ，
2 4
1
∴抛物线的对称轴是直线x= ，故①正确；
2
1 9
∴当x= 时，y有最小值为− ，
2 4
∵当x=0时，y=−2；当x=2时，y=0，
9
∴当00，9
解得t>− ，
4
9
故当t>− 时，关于x的一元二次方程ax2+bx−2=t有两个不相等的实数根，故③正确；
4
( 1) 2 9
令y=0，则 x− − =0，
2 4
解得x=2或x=−1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(2,0)，
∵P(m,n)和Q(m+4,ℎ)都是抛物线上的点，且n<0，
∴点P位于顶点附近，且−10；③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；④
t(at+b)+a≤0（t是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二
次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得
到结果．
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，故结论①正确，符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的图像开口向下，
∴a<0，
∵b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点(−1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点位于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故结论②错误，不符合题意；∵对称轴为x=1，
∴当x=1时，y有最大值a+b+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
又∵b=−2a，
∴a+b+c=−4a，即函数的最大值为−4a，故结论③正确，符合题意；
∵当x=1时y有最大值a+b+c，
当x=t时，y为at2+bt+c，
∴at2+bt+c≤a+b+c，
∴at2+bt≤a+b，
又∵b=−2a，
∴at2+bt≤a−2a，
∴t（at+b）≤−a，即t（at+b）+a≤0，故结论④正确，符合题意，
综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
3（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，AB=8，C是线段AB上一动点（不与点A，B重合），以
AC为边作正方形ACMN，以BC为边作菱形BCDE（正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同侧），连接
MD，当∠E=60°时，△CDM面积的最大值为 ．
【答案】4
【思路引导】本题主要考查了二次函数的最值问题，正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形
1
的性质，由菱形的性质得到CD=CB，∠BCD=∠E=60°，则可求出∠CDF=30°，则CF= CD；
2
1
设CB=CD=x，则AC=AB−BC=8−x，CF= x，由正方形的性质得到
2
1 1
CM⊥AB，CM=AC=8−x，则S = CM⋅CF=− (x−4) 2+4，据此求解即可．
△CDM 2 4
【规范解答】解：如图所示，过点D作DF⊥BC于F，∵四边形BCDE是菱形，
∴CD=CB，∠BCD=∠E=60°，
∴∠CDF=90°−∠DCF=30°，
1
∴CF= CD，
2
1
设CB=CD=x，则AC=AB−BC=8−x，CF= x，
2
∵四边形ACMN是正方形，
∴CM⊥AB，CM=AC=8−x，
∴CM∥DF，
1 1 1 1
∴S = CM⋅CF= ⋅ x⋅(8−x)=− (x−4) 2+4，
△CDM 2 2 2 4
∴当x−4=0，即x=4时，S 有最大值，最大值为4，
△CDM
故答案为：4．
4．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图像过点
A(−2,0),B(−1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)这个二次函数的图像开口向_______，顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而减小；
(3)方程−x2+bx+c=0的解是_______；
(4)当0
2 4 2
(3)x =−2,x =3
1 2
25
(4)0 时，y随x的增大而减小，
2 2
(1 25) 1
故答案为：下， , ，> ；
2 4 2
（3）解：二次函数y=−x2+x+6，
当y=0时，−x2+x+6=0，
∴(x+2)(x−3)=0，
解得，x =−2,x =3；
1 2
故答案为：x =−2,x =3；
1 2
1 (1 25)
（4）解：由（2）可知，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x= ，顶点坐标为 , ，
2 2 4
1
∴在0
