专题22.1 二次函数的图像和性质
（知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： y=ax²图像和性质.....................................................2
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质................................................2
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质.............................................3
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质.........................................3
知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质....................................3
知识点梳理06：比较函数值大小的方法.................................................4
知识点梳理07：二次函数平移的方法...................................................4
知识点梳理08：求对称轴的方法.......................................................4
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法.............................................5
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题...................................................5
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法.........................................5
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围...........................................5
优选题型 考点讲练......................................................................5
考点1：列二次函数关系式............................................................5
考点2：根据二次函数的定义求参数....................................................6
考点3：y=ax²的图象和性质...........................................................7
考点4：y=ax²+k的图象和性质........................................................7
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质.....................................................8
考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质...................................................9
考点7：二次函数图象的平移..........................................................9
考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式....................................................10
考点9：画y=ax²+bx+c的图象........................................................10
考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质...................................................12
考点11：二次函数图象与各项系数符号................................................13
考点12：一次函数、二次函数图象综合判断............................................13
考点13：两个二次函数图象综合判断..................................................14考点14：根据二次函数的图象判断式子符号............................................14
考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴............................................15
考点16：根据二次函数的对称性求函数值..............................................15
考点17：y=ax²+bx+c的最值.........................................................16
考点18：利用二次函数对称性求最短路径..............................................17
考点19：待定系数法求二次函数解析式................................................18
考点20：线段周长问题（二次函数综合）..............................................19
考点21：面积问题（二次函数综合）..................................................20
考点22：角度问题（二次函数综合）..................................................21
考点23：特殊三角形问题（二次函数综合）............................................23
考点24：特殊四边形问题（二次函数综合）............................................24
考点25：其他问题（二次函数综合）..................................................26
中考真题 实战演练.....................................................................27
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................29
基础夯实..........................................................................29
培优拔高..........................................................................30
知识点梳理01： y=ax²图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x
a>0 向上 (0，0) y轴
的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x
a<0 向下 (0，0) y轴
的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而
a>0 向上 (0，c) y轴
减小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而
a<0 向下 (0，c) y轴
增大；x=0时，y有最大值c．
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x的增大而
a>0 向上 (ℎ，0) X=h
减小；x=ℎ时，y有最小值0．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x的增大而
a<0 向下 (ℎ，0) X=h
增大；x=ℎ时，y有最大值0．
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x
a>0 向上 (ℎ，k) X=h
的增大而减小；x=ℎ时，y有最小值k．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x
a<0 向下 (ℎ，k) X=h
的增大而增大；x=ℎ时，y有最大值k．知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−ℎ) 2+k的形式，其中ℎ=− ，k= .
2a 4a
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）:
顶点坐标是（﹣ ， ），
对称轴直线x＝﹣ ，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向
上或向下平移| |个单位得到的．
知识点梳理06：比较函数值大小的方法
①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较；②性质法，利用函数的增减性比较；
③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较
知识点梳理07：二次函数平移的方法
平移原则上加下减，左加右减；
注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第
一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。
知识点梳理08：求对称轴的方法
①已知两对称点的坐标，求对称轴；
②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标
方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法
根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题
·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式
·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c.
①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)；
②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数)
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法
①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；
②二次函数的顶点式：
Y＝a(x-h)²＋k(a≠0);
③二次函数的双根式：
y=a(x-x1)(x－x2)
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围
表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围.
一般步骤：第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；
第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。
考点1：列二次函数关系式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−1)，
点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l ，过点M作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P，
1 2 1 2
改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是(x,y)，则y关于x的函数解析式为
．
【变式训练】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的
一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然线段Rt△CGD的面积y是线段长
度x的函数，这个函数的表达式是 ．
考点2：根据二次函数的定义求参数
(
4m+4) m+2
【典例精讲】（2024·广东广州·一模）已知A= m+ ÷ ．
m m2
(1)化简A；
(2)若点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，求A的值．【变式训练】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
考点3：y=ax²的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别
1 1
交抛物线y=x2(x≥0)和抛物线y= x2(x≥0)于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y= x2 于点
4 4
BD
C，过点B作BD∥x轴交抛物线y=x2于点D，则 的值为 ．
AC
【变式训练】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛
物线y=x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．考点4：y=ax²+k的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线y=−x2+4．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：
(2)该抛物线y=−x2+4可由抛物线y=−x2向______平移______个单位得到；
(3)当−1≤ y≤3时，x的取值范围是______．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点
y −y
M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )，将 1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知
1 1 2 2 1 2 x −x MN
1 2
二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当
1 1 2 2 1 2
x >x ≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
2 1 MN
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线x=c交抛物线y =−(x−a) 2 于点
1
A(c,m)，交抛物线y =−(x−b) 2 于点B(c,n)，下列结论：①若a>b>c，则m<n，②若b>a>c，则
2
m<n，③若c>b>a，则m<n，④若a>c>b，则m<n；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形ABC的边长为1，动点D从点B开始沿边
BC向点C移动，过点D作AB边的垂线，交AB于G，连接AD．(1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）；
(2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律．
考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质
【典例精讲】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线C :y=−(x+1) 2+2平移到抛物线
1
C :y=−(x−2) 2−1，点P(m,n )，Q(m,n )分别在抛物线C ，C 上．下列结论：①无论m取何值，都有
2 1 2 1 2
n <0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=3❑√2；③当−3<m<1时，线段PQ的长随着m的增大而减
2
小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 y=(x+1) 2+m−3．
(1)若此抛物线的顶点在直线 y=2x+6上，求m的值；
(2)若点 A(a,y )与点B(3,y )在此抛物线上，且y <y ，直接写出a的取值范围.
A B A B
考点7：二次函数图象的平移
1
【典例精讲】（2025·广西南宁·三模）已知点A(−4,8)和点B(2,n)在抛物线y= x2 上，沿x轴向左平
2
移该抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，C(−2,0)是x轴上的一个定点．当
A′C+CB′最短时，此时抛物线的解析式为 ．
1
【变式训练】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线y=− x2+2沿y轴向下平移一段距离
2
1
后，得到一条新的抛物线y=− x2−2；若曲线段AD平移至曲线段BC，曲线段AD所扫过的为阴影部分，
2
则阴影部分的面积是 ．
考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线y=ax2−2ax+1的顶点在x轴上．
(1)求a的值；
(2)抛物线上两点A(m,y )，B(n,y )．若m<n<1，则y ______y （填“>”、“<”或“=”）；
1 2 1 2(3)若点C(t,y )，D(t+2,y )为抛物线上的两点，且y >y ，求出t的取值范围．
1 2 1 2
【变式训练】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数
y=x2−2ax+2a2−a的顶点为P．
（1）点P的坐标为 （用含字母a的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数y′，若a≥−1，则该抛物线
顶点P纵坐标的最小值为 ．
考点9：画y=ax²+bx+c的图象
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2x+3．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：当−1<x<2时，y的取值范围是______；
(3)设A(−1,0)，B(2,3)，过点(0,t)与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P(x ,y )，Q(x ,y )．其中
1 1 2 2
x <x ，与直线AB交于点N(x ,y )，若x <x <x ，直接写出t的取值范围______．
1 2 3 3 1 3 2【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和
y满足如表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 −1 0 m 8 …
(1)可求得m的值为 ；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象，并根据图像写出当0<x<2时y的取值范围．
考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=120∘，
现将一条垂直于对角线AC的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交AD或DC于点
M，交AB或BC于点N，设△AMN的面积为S（当直线l过点A或点C时，规定S=0），运动时间为t，
则S关于t的函数图象是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，函数值y与
自变量x之间满足下列数量关系：
…
x 0 1 2 3 ……
…
…
y −3 −1 −3 −9 ……
…
当−1≤x≤2时，函数值y的最大值记为m，最小值记为n，则m−n= ．
考点11：二次函数图象与各项系数符号
【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①
y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a,b,c,d的大小关系为（ ）
A．a>b>c>d B．a>b>d>c
C．b>a>c>d D．b>a>d>c
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则下列结论中错误的是（ ）A．abc>0 B．当x>4时，y>0
C．a−b+c=0 D．2a−b=0
考点12：一次函数、二次函数图象综合判断
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系xOy中，点A(m,n)为抛物线
y=ax2−(a+1)x−3(a>0)上一点．当0<m≤4时，点A关于x轴的对称点始终在直线y=−x+3的上方，
则a的取值范围是 ．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期末）二次函数y=ax2−2ax−3(a≠0)的图象经过点A．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当点A坐标为(−1,0)时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图像与直线y=x+1的交点坐标．
考点13：两个二次函数图象综合判断
【典例精讲】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数y =ax2+bx+c，y =cx2+bx+a（a，b，
1 2
c是实数，ac<0）．
(1)若a=−1，函数y 的对称轴为直线x=1，且函数y 的图象经过点(1,0)，求b，c的值．
1 1
(2)设函数y 的最大值为m，函数y 的最小值为n，若a+c=0，求证：m+n=0．
1 2
(3)若函数y 的图象与函数y 的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：b<0．
1 2
1
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝
41
x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于
4
BD
点D，则 的值为（ ）
AC
1 ❑√2 1 ❑√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
考点14：根据二次函数的图象判断式子符号
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中两个变量
x与y的三组对应值：
x … −2 2 8 …
y … n 1 n …
点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上．若当2<x <x 时，y <y <1，下列四个结论：①a<0；②
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x >6；③25a+5b+c−1>0；④若记二次函数y=ax2+bx+c(x <x<8,a≠0)的图象为图形G，存
1 2 1
在直线y=k与图形G有两个交点，则2<x <3．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
1
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，
给出以下结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③2a+b=0；④4a+2b+c<0；⑤当x>0时，y随x的增大
而增大，其中正确的是 ．考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴
【典例精讲】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−2的图象过点
A(1,t),B(2,t)．
b
(1)求 的值；
a
3
(2)已知二次函数y=ax2+bx−2的最大值为1− a2 ．
4
①求该二次函数的表达式；
(x −1) 2 x −2
②若M(x ,m),N(x ,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： 1 = 2 ．
1 2
m x −2
1
【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(−1,−3),(5,−3)，
有下列说法：①当x<0时，y随x的增大而减小；②若点(0,m),(5,n)在该函数的图象上，则m>n；③该
函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x=3．其中说法正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
考点16：根据二次函数的对称性求函数值
【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）抛物线y=2x2−4x+c经过三点(−2.5,y )，
1
(0.5,y )，(1.75,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A． y >y >y B． y >y >y C． y >y >y D． y >y >y
1 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 3
【变式训练】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y=ax2−2a2x(a≠0)．
(1)当a=2时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求
新的二次函数的最大值与最小值；
(3)已知P(x ,y )和Q(x ,y )是抛物线上两点，若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y <y ，求a的取值范围．
1 1 2 2 1 2 1 2考点17：y=ax²+bx+c的最值
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于x的一元二次方程为
x2−2(m−1)x+m2−2m=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个根为x ，x （x <x ），在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标记为(x ,x )，连接
1 2 1 2 1 2
OM，则OM的最小值为______．
【变式训练】24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y−x”称为点A的“纵横值”．函数图象
上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3−1=2，函数y=2x+1图象上所有点的
“纵横值”可表示为y−x=2x+1−x=x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)点B(−6,2)的“纵横值”为________；
3
(2)若二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，且最优纵横值为5，求c的值；
2
1
(3)若二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，当−1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范
2
围．
考点18：利用二次函数对称性求最短路径
【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0),B(0,3)．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c
与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA=OC=3．(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点19：待定系数法求二次函数解析式
【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如
表：
x … −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 −3 −4 −3 0 m …
(1)二次函数图象的开口方向 ，m的值为 ．
(2)求出这个二次函数的解析式；
【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+mx+3与x轴交于点
3
A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，抛物线与直线y=− x+3交于C、D两点．连接BD、
2AD．
(1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标．
(2)抛物线上有一点P，满足S =4S ，求点P的坐标．
△ABP △ABD
考点20：线段周长问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)．A点在原点的左侧，B点的坐标为
(3,0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．
【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x
轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(−3,0)，与y轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小，若存在，求出P点的坐标及△PAD周长的最
小
考点21：面积问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴左右交点分别是
A、B，顶点是C(1,−4)，与y轴交于点D(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式，并画出它的大致图像（不需要列表）；
(2)求四边形ABCD面积；
(3)当0<x≤4时，函数y的取值范围是 ；
(4)点M(a−2,y )、N(a,y )在此抛物线上，比较y 、y 的大小关系．
1 2 1 2
【变式训练】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0)，B(−3,0)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶
点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，
若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
考点22：角度问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点
A(−4,0)、B(1,0)，交y轴于点C(0,4)，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(−2,6)时，求四边形AOCP的面积；
(3)若∠PBA=45°，求点P的坐标．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与直线3 11
y=− x+3交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为 ，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，
4 4
点P的横坐标为m．
(1)求c的值．
(2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分∠PAB，求m
的值．
(3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点N，
设四边形PMAN的周长为l．
①求l关于m的函数解析式；
②若点(m,l ),(m+1,l )都在l关于m的函数图象上，当l <l 时，直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
考点23：特殊三角形问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(−5，0)和点B，交y轴于点C(0,−5)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线对称
轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线y=−x+n与x轴交于点A(3,0)，与y轴交
于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A，B两点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重
合），过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
(1)求抛物线解析式；
(2)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
(3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标．
考点24：特殊四边形问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，
且与y轴的交点坐标为(0,−1) ，直线l与x轴相交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A、B．设
点P的横坐标为m．
①当四边形APBC为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．PB<PA时，m的取值范围．
【变式训练】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4
经过点A(−2,0)，B(4,0)，D为抛物线的顶点．(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接BC，在线段OB上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作PE⊥x轴，交直线BC于
点E，
①当直线PE经过点D时，求DE的长；
②以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
考点25：其他问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+5与x轴交
于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx交于点C，D．已知点C的坐标为(1,7)，点D的横坐标为5．(1)求直线与抛物线的解析式；
(2)当x>4时，若抛物线y=ax2+bx+m与直线AB有交点，结合图象，求m的取值范围．
【变式训练】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线y=x2−mx−(m+1)．
(1)试说明：无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过某个定点．
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点A(a,0)，与x轴的正半轴交于点B(b,0)，与y轴交于点C，且满足
a2+b2−ab=13．
①求m的值．
②抛物线上是否存在点P，使得S =2S ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
△ACP △AOC
1．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线y=x2−6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的
值为 ．2．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线
1 1 2 2
y=ax2−2ax(a>0)，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x <0且y ⋅y <0时，则0<x <2 B．当x <x <1时，则y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
C．当x <0且y ⋅y >0时，则0<x <2 D．当x >x >1时，则y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
3．（2025·天津·中考真题）四边形ABCD中，AD∥BC，
∠B=90°,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向
终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点
时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t=2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t=6s时，CN=DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与y轴相交于点A，与x轴
相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A
关于直线CD的对称点为E，连接DE．
(1)求证：∠OAB=45°；
(2)设点C的坐标为(0,m)，当0<m<2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值.5．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的表达式为
y=ax2+bx+3(a>0)．
(1)若a=1，且点(2,3)在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点(−1,−1)，当自变量x的值满足x≥−1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为x=2，点A(m,y ),B(m+1,y )在函数的图象上，且总有y >y ，求m的取
1 2 1 2
值范围．基础夯实
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）抛物线y=(3−x) 2+4的顶点坐标是（ ）
A．(−3,4) B．(3,4) C．(3,−4) D．(−3,−4)
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
平移后的函数是 ．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当x=1时，y有最值
为4，且函数图象经过点(0,−1)．求该二次函数的表达式．
4．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数y=x2+6x+10
(1)将函数化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式，写出其顶点坐标、对称轴及最值；
(2)当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2bx+c．
(1)当x<5时，y随x的增大而增大，求b的取值范围；
(2)若二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，顶点坐标(m，n)．
①求n关于m的函数解析式；
②求该二次函数的图象顶点最低时b，c的值．
培优拔高
1．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c的图像如图，下列说法中错误的是（ ）
①abc>0②2a−b=0③3a+b>0④2c−3b<0A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确
2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三点A(2,0)，B(1,−2)，C(2,−2)中恰有两点在拋物
线y=ax2+bx−2（a>0且a，b均为常数）上、下列四个结论：
1
①抛物线的对称轴是直线x= ；
2
②当0<x<2时，y的取值范围是：−2<y<0；
9
③当t>− 时，关于x的一元二次方程ax2+bx−2=t有两个不相等的实数根；
4
④若P(m,n)和Q(m+4,ℎ)都是抛物线上的点，且n<0，则ℎ>0．
其中正确的结论（序号）有 ．
3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对
称轴为直线x=1．下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；④
t(at+b)+a≤0（t是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）．
3（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，AB=8，C是线段AB上一动点（不与点A，B重合），以
AC为边作正方形ACMN，以BC为边作菱形BCDE（正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同侧），连接
MD，当∠E=60°时，△CDM面积的最大值为 ．
4．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图像过点
A(−2,0),B(−1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)这个二次函数的图像开口向_______，顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而减小；
(3)方程−x2+bx+c=0的解是_______；
(4)当0<x<3时，y的取值范围是_______．
5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．当a=2时，
(1)若该函数图像的对称轴为直线x=1，且过点(0,3)，求该函数的表达式；
(2)若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥−1．
