文档内容
专题22.1 二次函数的图像和性质
（知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： y=ax²图像和性质.....................................................2
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质................................................2
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质.............................................3
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质.........................................3
知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质....................................3
知识点梳理06：比较函数值大小的方法.................................................4
知识点梳理07：二次函数平移的方法...................................................4
知识点梳理08：求对称轴的方法.......................................................4
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法.............................................5
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题...................................................5
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法.........................................5
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围...........................................5
优选题型 考点讲练......................................................................5
考点1：列二次函数关系式............................................................5
考点2：根据二次函数的定义求参数....................................................6
考点3：y=ax²的图象和性质...........................................................7
考点4：y=ax²+k的图象和性质........................................................7
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质.....................................................8
考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质...................................................9
考点7：二次函数图象的平移..........................................................9
考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式....................................................10
考点9：画y=ax²+bx+c的图象........................................................10
考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质...................................................12
考点11：二次函数图象与各项系数符号................................................13
考点12：一次函数、二次函数图象综合判断............................................13
考点13：两个二次函数图象综合判断..................................................14考点14：根据二次函数的图象判断式子符号............................................14
考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴............................................15
考点16：根据二次函数的对称性求函数值..............................................15
考点17：y=ax²+bx+c的最值.........................................................16
考点18：利用二次函数对称性求最短路径..............................................17
考点19：待定系数法求二次函数解析式................................................18
考点20：线段周长问题（二次函数综合）..............................................19
考点21：面积问题（二次函数综合）..................................................20
考点22：角度问题（二次函数综合）..................................................21
考点23：特殊三角形问题（二次函数综合）............................................23
考点24：特殊四边形问题（二次函数综合）............................................24
考点25：其他问题（二次函数综合）..................................................26
中考真题 实战演练.....................................................................27
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................29
基础夯实..........................................................................29
培优拔高..........................................................................30
知识点梳理01： y=ax²图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x
a>0 向上 (0，0) y轴
的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x
a<0 向下 (0，0) y轴
的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而
a>0 向上 (0，c) y轴
减小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而
a<0 向下 (0，c) y轴
增大；x=0时，y有最大值c．
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x的增大而
a>0 向上 (ℎ，0) X=h
减小；x=ℎ时，y有最小值0．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x的增大而
a<0 向下 (ℎ，0) X=h
增大；x=ℎ时，y有最大值0．
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x
a>0 向上 (ℎ，k) X=h
的增大而减小；x=ℎ时，y有最小值k．
x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x
a<0 向下 (ℎ，k) X=h
的增大而增大；x=ℎ时，y有最大值k．知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−ℎ) 2+k的形式，其中ℎ=− ，k= .
2a 4a
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）:
顶点坐标是（﹣ ， ），
对称轴直线x＝﹣ ，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向
上或向下平移| |个单位得到的．
知识点梳理06：比较函数值大小的方法
①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较；②性质法，利用函数的增减性比较；
③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较
知识点梳理07：二次函数平移的方法
平移原则上加下减，左加右减；
注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第
一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。
知识点梳理08：求对称轴的方法
①已知两对称点的坐标，求对称轴；
②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标
方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法
根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题
·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式
·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c.
①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)；
②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数)
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法
①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；
②二次函数的顶点式：
Y＝a(x-h)²＋k(a≠0);
③二次函数的双根式：
y=a(x-x1)(x－x2)
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围
表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围.
一般步骤：第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；
第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。
考点1：列二次函数关系式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−1)，
点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l ，过点M作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P，
1 2 1 2
改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是(x,y)，则y关于x的函数解析式为
．
【变式训练】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的
一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然线段Rt△CGD的面积y是线段长
度x的函数，这个函数的表达式是 ．
考点2：根据二次函数的定义求参数
(
4m+4) m+2
【典例精讲】（2024·广东广州·一模）已知A= m+ ÷ ．
m m2
(1)化简A；
(2)若点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，求A的值．【变式训练】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数y=(k+1)xk2+1+(k−3)x+5．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
考点3：y=ax²的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别
1 1
交抛物线y=x2(x≥0)和抛物线y= x2(x≥0)于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y= x2 于点
4 4
BD
C，过点B作BD∥x轴交抛物线y=x2于点D，则 的值为 ．
AC
【变式训练】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛
物线y=x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．考点4：y=ax²+k的图象和性质
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线y=−x2+4．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：
(2)该抛物线y=−x2+4可由抛物线y=−x2向______平移______个单位得到；
(3)当−1≤ y≤3时，x的取值范围是______．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点
y −y
M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )，将 1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知
1 1 2 2 1 2 x −x MN
1 2
二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当
1 1 2 2 1 2
x >x ≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
2 1 MN
考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线x=c交抛物线y =−(x−a) 2 于点
1
A(c,m)，交抛物线y =−(x−b) 2 于点B(c,n)，下列结论：①若a>b>c，则ma>c，则
2
mb>a，则mc>b，则m”、“<”或“=”）；
1 2 1 2(3)若点C(t,y )，D(t+2,y )为抛物线上的两点，且y >y ，求出t的取值范围．
1 2 1 2
【变式训练】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数
y=x2−2ax+2a2−a的顶点为P．
（1）点P的坐标为 （用含字母a的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数y′，若a≥−1，则该抛物线
顶点P纵坐标的最小值为 ．
考点9：画y=ax²+bx+c的图象
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2x+3．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：当−1b>c>d B．a>b>d>c
C．b>a>c>d D．b>a>d>c
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则下列结论中错误的是（ ）A．abc>0 B．当x>4时，y>0
C．a−b+c=0 D．2a−b=0
考点12：一次函数、二次函数图象综合判断
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系xOy中，点A(m,n)为抛物线
y=ax2−(a+1)x−3(a>0)上一点．当06；③25a+5b+c−1>0；④若记二次函数y=ax2+bx+c(x 0；②abc<0；③2a+b=0；④4a+2b+c<0；⑤当x>0时，y随x的增大
而增大，其中正确的是 ．考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴
【典例精讲】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−2的图象过点
A(1,t),B(2,t)．
b
(1)求 的值；
a
3
(2)已知二次函数y=ax2+bx−2的最大值为1− a2 ．
4
①求该二次函数的表达式；
(x −1) 2 x −2
②若M(x ,m),N(x ,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： 1 = 2 ．
1 2
m x −2
1
【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(−1,−3),(5,−3)，
有下列说法：①当x<0时，y随x的增大而减小；②若点(0,m),(5,n)在该函数的图象上，则m>n；③该
函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x=3．其中说法正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
考点16：根据二次函数的对称性求函数值
【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）抛物线y=2x2−4x+c经过三点(−2.5,y )，
1
(0.5,y )，(1.75,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A． y >y >y B． y >y >y C． y >y >y D． y >y >y
1 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 3
【变式训练】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y=ax2−2a2x(a≠0)．
(1)当a=2时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求
新的二次函数的最大值与最小值；
(3)已知P(x ,y )和Q(x ,y )是抛物线上两点，若对于x =4a，4≤x ≤5，都有y 4时，若抛物线y=ax2+bx+m与直线AB有交点，结合图象，求m的取值范围．
【变式训练】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线y=x2−mx−(m+1)．
(1)试说明：无论m为何值，抛物线y=x2−mx−(m+1)必经过某个定点．
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点A(a,0)，与x轴的正半轴交于点B(b,0)，与y轴交于点C，且满足
a2+b2−ab=13．
①求m的值．
②抛物线上是否存在点P，使得S =2S ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
△ACP △AOC
1．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线y=x2−6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的
值为 ．2．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线
1 1 2 2
y=ax2−2ax(a>0)，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x <0且y ⋅y <0时，则00时，则0x >1时，则y 0)．
(1)若a=1，且点(2,3)在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点(−1,−1)，当自变量x的值满足x≥−1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为x=2，点A(m,y ),B(m+1,y )在函数的图象上，且总有y >y ，求m的取
1 2 1 2
值范围．基础夯实
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）抛物线y=(3−x) 2+4的顶点坐标是（ ）
A．(−3,4) B．(3,4) C．(3,−4) D．(−3,−4)
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
平移后的函数是 ．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当x=1时，y有最值
为4，且函数图象经过点(0,−1)．求该二次函数的表达式．
4．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数y=x2+6x+10
(1)将函数化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式，写出其顶点坐标、对称轴及最值；
(2)当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2bx+c．
(1)当x<5时，y随x的增大而增大，求b的取值范围；
(2)若二次函数y=−x2+2bx+c的图象经过点M(1,0)，顶点坐标(m，n)．
①求n关于m的函数解析式；
②求该二次函数的图象顶点最低时b，c的值．
培优拔高
1．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c的图像如图，下列说法中错误的是（ ）
①abc>0②2a−b=0③3a+b>0④2c−3b<0A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确
2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三点A(2,0)，B(1,−2)，C(2,−2)中恰有两点在拋物
线y=ax2+bx−2（a>0且a，b均为常数）上、下列四个结论：
1
①抛物线的对称轴是直线x= ；
2
②当0− 时，关于x的一元二次方程ax2+bx−2=t有两个不相等的实数根；
4
④若P(m,n)和Q(m+4,ℎ)都是抛物线上的点，且n<0，则ℎ>0．
其中正确的结论（序号）有 ．
3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对
称轴为直线x=1．下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；④
t(at+b)+a≤0（t是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）．
3（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，AB=8，C是线段AB上一动点（不与点A，B重合），以
AC为边作正方形ACMN，以BC为边作菱形BCDE（正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同侧），连接
MD，当∠E=60°时，△CDM面积的最大值为 ．
4．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图像过点
A(−2,0),B(−1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)这个二次函数的图像开口向_______，顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而减小；
(3)方程−x2+bx+c=0的解是_______；
(4)当0
