文档文本内容
22.1 二次函数的图像和性质（第一课时）
【考点归纳】
考点一、二次函数的定义
考点二、根据二次函数的定义求参数
考点三、二次函数y=ax2的图象和性质
考点四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
考点五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
考点六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
考点七、二次函数图像与一次函数的交汇问题
考点八：二次函数的图像平移问题
考点九：二次函数图像和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分
别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实
数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．
（3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y =0 当x=0时，y =0
最小值 最大值
对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （0，k） （0，k）
对称轴 y轴 y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小. x<0时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当x=0时，y = k 当x=0时，y = k
最小值 最大值
知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=h时，y = 0 当x= h时，y = 0
最小值 最大值
知识点五 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x<h时，y随x的增大而减小 x<h时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x= h时，y = k 当x= h时，y = k
最小值 最大值
【题型探究】
题型一、二次函数的定义
1．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·山东青岛）下列各式：（1） ；（2） ；（3）；（4） ；（5） ；（6） ；（7）
．是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024九年级上·全国）下列函数关系式中：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6） ；二次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二、根据二次函数的定义求参数
4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数 是二次函数，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．6
5．（22-23九年级上·四川凉山·期中）已知 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数 是二次函数，则k的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
题型三、二次函数y=ax2的图象和性质
7．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数 的图象，它们
图象的共同特点是（ ）
A．都是关于 轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点
C．当 时， 随 的增大而增大
D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点
8．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，y的值随x值得增大而减小
B．y有最大值，最大值为0
C．当 时，y的值随x值的增大而增大
D．y的值随x值得增大而减小9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点 ， ， 都在函数 的图象上，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质
10．（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）．
A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为 轴 D．当 时， 随 的增大而增大
11．（23-24九年级上·广东湛江·期末）若点 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
13．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而增大
14．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数 的图象上有 ， ， 三点，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列对二次函数 的图像描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点 D．当 时，函数值 随 的增大而减小
题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当 时， 随 的增大而增大.
17．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则 的大小
关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，y随x的增大而减小 B．当 时，y有最大值
C．图象的顶点坐标为 D．图象经过一、二、四象限
题型七、二次函数图像与一次函数的交汇问题
19．（24-25九年级上·全国·）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一
定不经过（ ）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
21．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
题型八：二次函数的图像平移问题
22．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）将抛物线 平移得到抛物线 ，则这个平移过程正确的是
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位
23．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到
新的二次函数 的图象，则原二次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
24．（23-24九年级上·山东济宁·期末）已知抛物线 ，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位
B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位
D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位
题型九：二次函数图像和性质综合问题
25．（24-25九年级上·全国）把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到
二次函数 的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
26．（2024九年级下·江苏·）已知二次函数 的图象与直线 的图象如图所示．
(1)判断 的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线 与抛物线 的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接 ， ，求△AOB的面积．
27．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞）将抛物线 向右平移2个单位长度，得到抛物线(1)求 的函数解析式；
(2)设抛物线 的对称轴交直线 于点P，求点P的坐标；
(3)设直线 与抛物线 交于A、B两点，求A、B两点的坐标．
(4)Q点是直线 下方抛物线上一动点，求 面积最大是多少？此时点Q坐标是多少？
【高分演练】
一、单选题
28．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知 是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
C．当x=1时， 有最大值 D．当x<1时， 随 的增大而减小31．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的
是（ ）
A．y的最大值是1
B．图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线
C．它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当 时，y随x的增大而减小．
32．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数 的图象经过 ， ， 三点，则 ，
， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当 时，y随x的增大而增大
C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，y随x的增大而增大
34．（2024·广东河源·一模）将抛物线 向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物
线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线 ，直线 ，下列判断中：
①当 或 时， ； ②当 或 时， ；
③当 时 随x的增大而增大； ④使 的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
36．（2024·广东广州·一模）已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
（ ）．
A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4
37．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象大
致是（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 的图象与一次函数 的
图象交于 和 两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
39．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线 的顶点坐标是 ．
40．（2024·江苏扬州·模拟预测）点 在抛物线 上，则 的大小关
系是 （用“<”连接）．
41．（23-24九年级下·全国·）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当 时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数 的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
42．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当
以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物
线”，正方形 为它的内接正方形．当抛物线 是“美丽抛物线”时， ．
三、解答题
43．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）已知函数 ．
(1)当 ____________时，抛物线有最大值，是____________．
(2)当x____________时，y随x的增大而增大．
(3)该函数可以由函数 的图象经过怎样的平移得到？
(4)该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标）
(5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．44．（2024·广西南宁·一模）已知二次函数 ．
(1)写出该函数图象的对称轴 ．
(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标．
(3)当 时，求 的取值范围．
45．（2024·江苏南京·二模）二次函数 的图像过点 ， ．
(1) 的值为______；
(2)若 ， 是该函数图像上的两点，当 ， 时，试说明： ；
(3)若关于 的方程 有一个正根和一个负根，直接写出 的取值范围．
46．（23-24九年级上·全国）如图所示，直线 过 和 两点，它与二次函数 的图像在第一象限
内交于 点，若 的面积为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)能否将抛物线 上下平移，使平移后的抛物线经过点 ？
