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专题 22.1 二次函数的图象和性质
目录
二次函数的定义.................................................................................................................................1
二次函数求参数.................................................................................................................................2
二次函数一般式.................................................................................................................................2
性质......................................................................................................................................3
图像开口..............................................................................................................................3
图像问题..............................................................................................................................4
顶点坐标............................................................................................................6
性质....................................................................................................................6
图像平移............................................................................................................7
二次函数一般式配凑顶点式.............................................................................................................8
二次函数图像问题.............................................................................................................................8
二次函数比较大小...........................................................................................................................10
二次函数性质综合...........................................................................................................................11
二次函数的定义
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变
量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
【例1】下列函数中，属于二次函数的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列关于 的函数一定为二次函数的是
A． B． C． D．【变式训练2】下列选项中是二次函数的是
A． B． C． D．
【变式训练3】下列具有二次函数关系的是
A．正方形的周长 与边长
B．速度一定时，路程 与时间
C．正方形的面积 与边长
D．三角形的高一定时，面积 与底边长
二次函数求参数
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变
量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
【例2】若 是关于 的二次函数，则 的值是
A．1 B． C． D． 或
【变式训练1】若抛物线 是关于 的二次函数，那么 的值是
A．3 B． C．2 D．2或3
【变式训练2】若函数 的图象是抛物线，则 的值为
A． B．2 C．4 D．
【变式训练3】已知 是 关于 的二次函数，则 的值为
A． B．3 C． 或3 D．0
二次函数一般式
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变
量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
【例3】二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是 ．【变式训练1】已知二次函数 ，则二次项系数 ，一次项系数
，常数项 ．
【变式训练2】二次函数 的一次项系数是
A．1 B．2 C． D．3
【变式训练3】二次函数 的一次项系数为 ．
性质
Y轴式抛物线y= x2的对称轴，抛物线y= x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线
y= x2的顶点，它是抛物线y= x2的最低点。
【例4】抛物线 的顶点坐标为
A． B． C． D．
【变式训练1】二次函数 的图象经过的象限是
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式训练2】抛物线 的开口方向是
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【变式训练3】关于抛物线 ，下列说法正确的是
A．开口向下
B．顶点坐标为
C．对称轴为 轴
D．当 时，函数 随 的增大而增大图像开口
一般地，抛物线y= ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a＞0时，抛物线的开口向上，
顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于
抛物线y= ax2，|a|越大，抛物线开口越小。
【例5】在函数① ，② ，③ 中，图象开口大小顺序用序号表示应
为
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．② ① ③
【变式训练1】在函数① ．② ．③ 中，图象开口大小
顺序用序号表示为
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．② ① ③
【变式训练2】抛物线 与 的开口大小相等，开口方向相反，则 ．
【变式训练3】二次函数 、 、 的图象开口大小由大
到小排列
A． B． C． D．
图像问题
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果
a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
【例6】在同一平面直角坐标系 中，一次函数 与二次函数 的图象可能
是A． B．
C． D．
【变式训练1】函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
A． B．
C． D．
【变式训练2】已知 是不为0的常数，函数 和函数 在同一平面直角坐
标系内的图象可以是
A． B．C． D．
【变式训练3】已知 是不为0的常数，函数 和函数 在同一平面直角坐
标系内的图象可以是
A． B．
C． D．
顶点坐标
（1）当a＞0时开口向上；当a＜0时开口向下。
（2）对称轴是x=h。
（3）顶点是（h,k）。
【例7】抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【变式训练1】抛物线 的顶点坐标是A． B． C． D．
【变式训练2】抛物线 的顶点坐标是
A． ， B． C． D．
【变式训练3】抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
性质
（1）当a＞0时开口向上；当a＜0时开口向下。
（2）对称轴是x=h。
（3）顶点是（h,k）。
【例8】对于函数 的图象，下列说法不正确的是
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．最大值为 D．与 轴不相交
【变式训练1】已知二次函数 ，则关于该函数的下列说法正确的是
A．该函数图象与 轴的交点坐标是
B．当 时， 的值随 值的增大而减小
C．当 取0和2时，所得到的 的值相同
D．当 时， 有最大值是1
【变式训练2】关于二次函数 ，下列说法正确的是
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当 时， 随 的增大而增大
【变式训练3】下列对二次函数 的图像描述不正确的是A．开口向下
B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点
D．当 时，函数值 随 的增大而减小
图像平移
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y= ax2的形状相同，位置不同，把抛物线 y= ax2向上
（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k。平移的方向、距离要根据h，k
的值来决定。
【例9】二次函数 的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是
A． B． C． D．
【变式训练1】将二次函数 先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，所
得图象的函数解析式是
A． B． C． D．
【变式训练2】如果将抛物线 向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐
标是
A． B． C． D．
【变式训练3】将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．二次函数一般式配凑顶点式
b b 4ac−b2
抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是x= - ，顶点是（- ， ）
2a 2a 4a
【例10】用配方法将二次函数 化为 的形式为
A． B． C． D．
【变式训练1】把 配方成 的形式后， 和 对应的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】将二次函数 配成顶点式为
A． B．
C． D．
【变式训练3】用配方法将 化为 的形式，正确的是
A． B． C． D．
二次函数图像问题
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
[来源:学科网ZXXK] 2a
( b 4ac−b2)
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
[来源:学_科_网Z_X_X_K] 科网] [来源:学#科#网][来源:学 [来源:学*科*网] 2a 4a
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
4ac−b2
4a
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
b b
增
− −
减 a>0 2a 2a
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
性
大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
b b
− −
2a 2a
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
。
【例11】二次函数 的图象如图所示，已知其对称轴为 ，则下列
结论正确的是
A． B． C． D．
【变式训练1】二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是
A． B．
C．当 时， D．
【变式训练2】二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，下列结论中不正确的是
A． B． C． D．
【变式训练3】已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
二次函数比较大小
【例12】函数 图象上有两点 ， ， ， ，若 ，则 、
的大小关系是
A． B．
C． D． 、 的大小不确定
【变式训练1】已 知 抛 物 线 过 ， ， ，
四点，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．【变式训练2】已知 ， ， 是抛物线 上的点，则
A． B． C． D．
【变式训练3】已知抛物线 过 ， ， ， ，
四点，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
二次函数性质综合
【例13】关于二次函数 下列说法中错误的是
A．用配方法可化成
B．将它的图象向下平移5个单位，会经过原点
C．函数有最大值，最大值为
D．当 时， 随 的增大而减小
【变式训练1】对于二次函数 ，下列结论错误的是
A．它的顶点坐标为
B．当 时，它的图象经过第一、二、三象限
C．点 与 是二次函数图象上的两点，则
D．无论 取何实数，它的图象一定经过点 ，
【变式训练2】在平面直角坐标系中，对于抛物线 ，下列说法中错误的是
A． 的最小值为1
B．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小
D．它的图象可以由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得
到
【变式训练3】关于二次函数 ，下列说法正确的是
A． 有最小值
B．图象的对称轴为直线
C．当 时， 的值随 的值增大而增大
D．图象是由 的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的
1．下列函数是 关于 的二次函数的是
A． B． C． D．
2．下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
3．下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
4．已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是
A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而减少 D．图象与 轴有唯一交点5．某同学为了画抛物线 的图象，取自变量的四个值 ， ， ， ，并
求得其对应的 值分别为 ， ， ， ．经检验，其中恰有一个 值
计算错误，若 ，则算错的 值是
A． B． C． D．
6．抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
7．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
8．一次函数 与二次函数 在同一个平面坐标系中图象可能是
A． B．C． D．
9．当 时，函数 是二次函数．
10．函数 是二次函数，则 ．
11．若 是二次函数，则 的值为 ．
12．如图所示，在同一坐标系中，作出① ；② ；③ 的图象，则图象从
里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．
13．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ．
（1）求点 的坐标及抛物线的对称轴．
（2）当 时， 的最大值是2．求当 时， 的最小值．
14．当 为何值时， 是二次函数？
15．当系数 ， ， 满足什么条件时，函数 是二次函数？是一次函数？是
正比例函数？
