文档内容
第 04 讲 相似三角形（6 个知识点+6 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例．
知识点2．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平
方．
知识点3．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
知识点4．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
知识点5．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在
同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点6．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的
三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
题型强化
题型一．平行线分线段成比例
1．（2024•潮阳区模拟）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，
则点 表示的数是
A． B．2 C． D．5
2．（2024•朝阳区校级一模）如图， 、 是 边 、 上的两点，且 ， ，
则 ．
3．（2024•海曙区校级自主招生）如图，在△ 中， 是 边上的高， 为 上一点，连结
并延长交 于 ，连结 并延长交 于 ．求证： ．题型二．相似三角形的性质
4．（2024•绥化模拟）已知△ △ ，且相似比为 ，则△ 和△ 的周长比为
A． B． C． D．
5．（2024•邗江区校级三模）如图，在 中， ， ， 为直线 左侧一点．若
，则 的最大值为 ．
6．（2023•蕉城区校级一模）如图，已知 ， 相交于点 ，且 ， ，延长
到点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的长．题型三．相似三角形的判定
7．（2023秋•船山区期末）如图，在 中， ， ， ．将 沿图示中的虚线
剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A． B．
C． D．
8．（2024秋•永修县期中）如图，已知， ， ， ，要使 ，
只要 ．9．（2023秋•岑溪市期末）如图，在△ 中， ，点 、 、 、 在同一条直线上，且
．
（1）求证：△ △ ；
（2）若 ， ，求 的长度．
题型四．相似三角形的判定与性质
10．（2024•福田区校级一模）如图，点 ， ， 分别在 的边上， ， ，
， 是 的中点，连结 并延长交 于点 ，则 的值是
A． B． C． D．
11．（2024•鹿城区校级三模）如图，在 中， ，点 在 上， ， ，且
， 为 上一点，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长
为 ．12．（2024秋•温州期中）如图，若 ，且 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长度．
题型五．相似三角形的应用
13．（2024•临川区一模）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 为15米（如图），然后
在 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长 为3米，则楼高为
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
14．（2024•建始县模拟）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角
的曲尺（即图中的 ．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个 信号塔高度的示意图，点 ， ， 在同一水平线上， 和 均为直角，
与 交于点 ，测得 ， ， ，则信号塔 的高度为 ．
15．（2024•新城区模拟）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树 和树 ．小河的宽度未知，为了
安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树 与树 之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树 所在的河岸边选择一点 ，观测对岸的树 ，并记录下 的距离为 ；
②在树 所在的河岸内侧，选择两点 ， ，从点 观测树 ，且 ， 以及 三点共线，然后从点
观测树 与树 ，并使 ， ， 三点共线；
③调整 ， 的位置，使 ，记录下 的距离为 ；
④测量出 之间的距离大约为 ．
数学兴趣小组的方案能否得出树 与树 之间的距离？请通过分析与计算说明．
题型六．作图-相似变换
16．（2021•玄武区一模）如图，在 中， 是 边上一点，在 边上求作一点 ，使得
．
甲的作法：过点 作 ，交 于点 ，则点 即为所求．
乙的作法：经过点 ， ， 作 ，交 于点 ，则点 即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在
的方格纸中，画一个格点三角形 ，使△ 与格点三角形 相似（相似比不为 ．
．
18．（2024•南昌县校级模拟）如图，这是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作△ ，使得△ △ ，且点 在 上；
（2）在图2中作△ ，使得△ △ ，且 ．
分层练习
一、单选题
1．如图所示的两个三角形相似（图中给出部分数据），则 的值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列条件不能判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B． , ，
C．∠A=∠D，∠B=∠E D． ，∠B=∠E
3．如图，在 中，M，N分别是边AB，AC上的点， ， ．若 的面积为
1，则 的面积为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
4．如图，在 中， ， 分别与 交于D、E两点．若 ， ．则
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中，点 ， 分别在 的边 ， 上，如果添加一个条件，不一定能使
与 相似，那么这个条件可能是（ ）A． B． C． D．
6．如图，矩形 的边 上有一动点 ，以 为边作平行四边形 ，且边 过点 ，在点 从
点 移动到点 的过程中，平行四边形 的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
7．如图，在 中，D，E分别是 ， 上的点， ，若 ， ，则 等于
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在 ABC中，点O为重心，则S ：S =（ ）
DOE BOC
△ △
△
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：39．如图，正方形 的顶点 在 轴上，点 ，点 在反比例函数 图象上，若直线 的函
数表达式为 ，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长
线的交点，AG与CD相交于点F，则；①四边形ABCD是正方形；②△CEG∽△FEC ；③C是BG的中点；④
当AE＝2EF时FG=3EF 正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且 ，如果AD∶DB=3∶2，那么DE∶BC等于
．12．已知 ，点D、E分别在 的边 、 所在的直线上，且 ，已知 ，
， ，则 的长为 ．
13．如图，在 中， 、 两点分别在边 、 上， ，AD与 相交于点
，若 的面积为21，则 的面积为 ．
14．如图， ， ，动点 ， 分别以每秒 和 的速度同时开始运动，其中点
从点 出发，沿 边一直移到点 为止，点 从点 出发沿 边一直移到点 为止（点 到达点 后，
点 继续运动），当 时， 与 相似．
15．已知正方形 的边长为6， 在射线 上运动，且点 与点 不重合， 的中点 ， 绕
顺时针旋转 得 ，
则（1）当 与点 重合时（如图2），求点 到直线 距离是 ．
（2）若点 落在正方形边所在的直线上时， 的长为 ．16．如图，将一个边长为8的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．
若裁切线 的长为10，则裁切线 的长是 ．
17．如图，在矩形 中， ，对角线 交于点O，点P在 边上， ，
点B关于直线 的对称点为 ， 交 于点Q．当 为直角三角形时， ．
18．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上， ，点E为 的中点，连接 并延长交反比例函数
的图象于点C，过点C作 轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象
上，则 ．
三、解答题
19．如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点 、 ，先从 出发与 成 方向向前走 米，到
处立一标杆，然后方向不变继续朝前走 米到 处，在 处转 ，沿 方向走到 处，若 、 、
三点恰好在同一直线上，且 米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？20．【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线
和入射光线分别位于法线两侧，反射角 等于入射角 ．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点 处平放一面镜子，并在镜子
上做一个标记，然后向后退去，直至站在点 处恰好看到建筑物 的顶端 在镜子中的像与镜子上的标
记重合（如图）．设小军的眼睛距地面 ， 、 的长分别为 、 ，求这座建筑物的高度．
21．如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了 万
平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做
为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标 ，在近岸取点 和 ，使点 、 、 共
线且与河垂直，接着在过点 且与直线 垂直的直线上选择适当的点 ，确定 与过点 且与 垂直
的直线交点 ．测得 ， ， ，请根据这些数据求河的宽度 ．22．【项目式学习】制作“ ”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为 米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“ ”的高度 与它到眼睛的水平距离 之比（即 ）来刻画视力．
（2）大小不同的“ ”，只要它们这一比值（即 ）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“ ”字，将②号“ ”沿水
平桌面向右移动，直至从观测点 看去，对应顶点 ， ， 在同一直线上为止，其中AB是①号“ ”
字的高度，CD是②号“ ”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“ ”与②号“ ”字测试的视
力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“ ”形视力表．以图2所示，①号“ ”是标准对数视力表
中视力为 的“ ”字，其高度AB为 ，求小明在制作视力为 的②号“ ”字时，②号“ ”的
高度CD应为多少 ?（ 、 、 在一条直线上， 、 、 在一条直线上）23．（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，
折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存
在，请说明理由．
24．如图1， 和 均为等边三角形，连接BD，CE．(1)直接写出BD与CE的数量关系为_________，直线BD与CE所夹锐角为__________度；
(2)将 绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问： 的值是否随图形
的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
(3)若 ，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为
_______
25．如图1，在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，
，连接 ．将 绕点 顺时针方向旋转，记旋转角为 ．
(1)[问题发现]
①当 时， ______；
②当 时， 的值是多少？请给出证明过程．
(2)[拓展研究]
试判断：当 时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)[问题解决]
在旋转过程中， 的最大值是多少？请直接写出答案．
26．综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方
法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片 对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为 ；
第2步：将 边沿 翻折到 的位置；
第3步：延长 交 于点H，则点H为 边的三等分点．
证明过程如下：连接 ，
∵正方形 沿 折叠，
∴ ， ① ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
由题意可知E是 的中点，设 （个单位），，
则 ，
在 中，可列方程： ② ，（方程不要求化简）
解得： ③ ，即H是 边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为 ；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为 ，沿 翻折得折痕 交
于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片 ，使折痕 ．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：______，②：______，③：______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为 边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
如图3，在菱形中，，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直
接写出的长．
