文档内容
专题 09 二次函数常考几何模型专训（9 大题型）
题型一 二次函数中的旋转模型
题型二 二次函数中的翻折模型
题型三 二次函数中的平移模型
题型四 二次函数中的轴对称模型
题型五 二次函数中的最值模型
题型六 二次函数中的存在模型
题型七 二次函数中特殊角度模型
题型八 二次函数中面积关系模型
题型九 二次函数中新定义模型
【经典例题一 二次函数中的旋转模型】
【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线 的图像与x轴交于 ，B
两点，对称轴为直线 ，与y轴交于C点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当 时，直接写出y的取值范围________；
(3)若将此抛物线绕其顶点旋转 ，直接写出旋转后抛物线的表达式为________．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）分别确定自变量为0和 对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解；
（3）根据顶点旋转 可直接得出答案．
【详解】（1）解：把 代入 得： ①，
又∵对称轴为直线
∴ ②
联立①②，可得 ，解得 ，
∴这个二次函数的表达式为
（2）解：∵ ，
抛物线开口向下，有最大值1，
当 时， ，当 时， ，
当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
（3）解：抛物线 ，该抛物线绕其顶点旋转 ，得出 ，
故答案为： ．
1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W： 的对称轴在y轴左侧．
(1)求抛物线W经过的定点坐标；
(2)将抛物线W绕原点旋转 后，得到抛物线 ．
①抛物线 的解析式为______（用含a的式子表示）；
②若抛物线 恰好经过抛物线W的顶点，求a的值．
【答案】(1)抛物线W经过的定点坐标为 和(2)① a；②
【分析】（1）将 变形为 ，即可解答；
（2）①抛物线W绕原点旋转 后，得到抛物线 ，则两抛物线关于原点对称，据此得到
，化简即可解答；②求出 的顶点坐标为
，代入抛物线 的解析式，得解得 ，再根据抛物线W：
的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到 或 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴抛物线W经过的定点坐标为 和 ．
（2）解：①抛物线W绕原点旋转 后，得到抛物线 ，则两抛物线关于原点对称，
∴ ，
即抛物线 的解析式为 ．
②由 得抛物线W的顶点坐标为 ，
整理得 ，代入抛物线 的解析式，得 ，
整理得 ，
解得 ．∵抛物线W： 的对称轴在y轴左侧，
∴ ，即 ，
∴ 或
∴ ，则 不合题意，舍去，
故a的值为 ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中
用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．
2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线 的顶点为 ．
(1)若抛物线经过原点，求 的值及顶点 的坐标．
(2)在 的条件下，把 时函数 的图象记为 ，将图象 绕原点旋转 ，得到新图
象 ，设图象 与图象 组合成的图象为 ．
图象 的解析式为 （写出自变量的取值范围）；
若直线 与图象 有 个交点，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，顶点 的坐标为（-1，-1）
(2)① ．②
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、求二次函数的解析式，解决
本题的关键是要注意数形结合的思想和分类讨论的思想的运用．
根据抛物线 经过原点，可得： ，从而可知 ，抛物线的解析式为
，把抛物线的解析式化为顶点式为 ，可得抛物线的顶点 的坐标为 ；
将图象 绕原点旋转 ，得到新图象 的顶点坐标为 ，开口向下，所以可以得到图象 的顶点式解析式为 ，整理成二次函数的一般式解析式即可；
直线 与图象 有 个交点，则可能直线 与图象 有 个交点、与图象 有 个交点，
也可能直线 与图象 有 个交点、与图象 有 个交点时，分情况利用一元二次方程根的判别
式求出 的值即可．
【详解】（1）解： 抛物线 经过原点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
整理得： ，
抛物线的顶点 的坐标为 ；
（2） 解：将图象 绕原点旋转 ，得到新图象 的顶点坐标为 ，开口向下，
图象 的解析式为 ，
整理可得： ；
如下图所示，
当直线 与图象 有 个交点、与图象 有 个交点时，
可得： ，
整理可得： ，
则有 ，
解得： ；
当直线 与图象 有 个交点、与图象 有 个交点时，可得： ，
整理可得： ，
则有 ，
解得： ；
综上所述，当 时，直线 与图象 有 个交点．
3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于A、C两点，其中 ， ，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结 ，过点D作 于点E，延长 与直线
交于点F，求 的最大值及此时点D的坐标；(3)若将原抛物线绕原点O旋转 得到新的抛物线 ，P是新抛物线 上的一个动点，H是直线 上
的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形 为正方形？请直接写出满足条件
的所有K的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，此时点D的坐标为
(3)存在， 或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的
判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母
的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键．
（1）根据题意得： ，即可求解；
（2）证明 ，得到 ，即可求解；
（3）证明 ，得到 ， ．则P点的坐标为 或 ，
，再分类求解即可．
【详解】（1）根据题意得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）过点D作 直线 于M，交直线 于G，∴ 轴，
∴ ，
∵抛物线 与x轴交于A、C两点，其中 ，与y轴交于点B．
令 ，则 ，解得 ， ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 直线 ，
∴ ，
∴ ，
由点B、C的坐标得，直线 的解析式为 ，
设直线DM交x轴于N， ，则 ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，此时点D的坐标为 ；
（3）如图，
根据旋转得抛物线 过点 ， ， ，
∴ ，
设 ，
∵四边形 正方形，
∴ ， ，
∴ ，
过点H作 轴于M，过点P作 轴于N，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ．
∴ ，
∴P点的坐标为 或 ， ，
①当P点的坐标为 时，
∵ ， ， ，四边形 为正方形，
∴点K的坐标为 ；
②当P点的坐标为 时，
∵ ， ， ，四边形 为正方形，
∴点K的坐标为 ；
综上，存在，点K的坐标为 或 ．
【经典例题二 二次函数中的翻折模型】
【例2】（2024·山东济南·一模）已知抛物线 过 ， 两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)如图1，若点P是线段 上的一动点，连接 、 ，将 沿直线 翻折，得到 ，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；
(3)如图2，点M在直线 上方的抛物线上，过点M作直线 的垂线，分别交直线 、线段 于点
N、点E，过点E作 轴，求 的最大值．
【答案】(1) ；对称轴为：
(2)点P的坐标为：
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质
等，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的
运用．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）将 沿直线 翻折，得到 ，则 ， ，进而求解；
（3）联立 和 并解得： ，得到点E的坐标，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： ，
则 ，
则 ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ①，
其对称轴为：x ；
（2）解：将 沿直线 翻折，得到 ，则 ， ，，
由抛物线的对称轴为： 知， ，
则 ，则 ，
∴ ，则点 ，
设点P的坐标为 ，点 ，
由 得： ，
解得： ，
即点P的坐标为： ；
（3）解：由点A、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
由B、C的坐标知， 和x轴负半轴的夹角为 ，
∵ ，则直线 和x轴的夹角为 ，设点M的坐标为： ，
则设直线 的表达式为： ，
联立 和 并解得： ，
则 ，
则 ，则 ，
故 有最大值为 ．
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数 的图象是由函数
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，则下列结论：
① ；②将图象向上平移1个单位长度后与直线 有3个交点；③当 时，该图象与直
线 有四个交点；④ （ 为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知
识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数 的对称
轴为直线 ，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数 的解析式，再求出函数
在 段的图象的最高点的坐标为 ，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：
当直线 经过点 时，直线与函数 图象有3个交点；当直线 与函数在 段的图象只有一个交点时，直线与函数 图象有3个交点，求出
的值，由此即可判断③正确；根据当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，则对于
任意实数 ，都有 ，由此即可判断④错误．
【详解】解：由图象可知：函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，结论①正确；
由题意可知，函数 的图象经过点 ，
将点 代入： ，解得 ，
∴函数 的解析式为 ，其顶点坐标为 ，
∴函数 在 段的图象的最高点的坐标为 ，
∴将函数 图象向上平移1个单位长度后，在 轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的
坐标为 ，
∴将函数 图象向上平移1个单位长度后与直线 有3个交点，结论②正确；
由上可知，函数 的解析式为 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
有两个临界位置：如图，当直线 经过点 时，直线与函数 图象有3个交点，则 ，解得 ；
如图，当直线 与函数 在 段的图象只有一个交点时，直线与函数
图象有3个交点，
联立 得： ，这个方程有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式 ，
解得 ，
∴当 时，该图象与直线 有四个交点，结论③正确；
由上可知，函数 图象的开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
∴对于任意实数 ，都有 ，即 ，结论④错误；
综上，正确的是①②③，
故选：A．
2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线
与新图象有4个交点时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴的
交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程
得 ， ，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为 ，即
，然后求出直线 经过点 时 的值和当直线 与抛物线
有唯一公共点时 的值，从而得到当直线 与新图象有4个交点时， 的取
值范围．
【详解】解：如图，
当 时， ，解得 ， ，则 ， ，
将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方的部分图象的解析式为 ，
即 ，
当直线 经过点 时， ，解得 ；当直线 与抛物线 有唯一公共点时，方程 有相等的实数解，
解得 ，
所以当直线 与新图象有4个交点时， 的取值范围为 ．
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，将抛物线 在x轴下方的图象沿 轴翻折，
翻折后得到的图象与抛物线 在 轴上方的图象记为 ，已知直线 与图象 有两个公共点，求
的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，确定抛物线 与 轴的交点坐标为 ， ，当直线过
点 时，直线与图象 恰有一个交点，求出此时 的值；直线 向上平移，在经过点 之前
均为两个交点；继续向上平移，直线与翻折后得到的抛物线只有一个交点之前与图象 有四个交点；直线
与翻折后得到的抛物线只有一个交点时与图象 恰有三个交点，求出此时 的值；再向上平移，均有两个
交点；可得结论．数形结合思想的运用是解题的关键．
【详解】解：如图，
令 ，
解得： 或 ，
∴抛物线 与x轴的交点坐标为 ， ，
将 ， 代入 ，得： ，将 ， 代入 ，得： ，
∴当 时，直线 与图象 有两个公共点；
∵ ，且抛物线上任意一点 关于 轴对称的点的坐标为 ，
∴沿 轴翻折的抛物线的解析式为 ，即 ，
联立 ，
整理得： ，
当 时，
解得： ，
∴当 时，直线 与图象 有两个公共点；
综上所述，当 或 时，直线 与图象 有两个公共点．
故答案为： 或 ．
【经典例题三 二次函数中的平移模型】
【例3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形 的顶点A在抛物线 上，顶点B，
C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为 ．(1)求点D的坐标；
(2)将抛物线 沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说
明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
【答案】(1) ；
(2) ，原抛物线向右平移1个单位得到的，点D在新抛物线上．
【分析】（1）根据 ， ，点A在抛物线 上，得当 时， ，得 ， 得
，得 ， ，即得 ；
（2）根据抛物线 沿x轴方向平移后经过点 ，得平移后的抛物线表达式为 ，抛物线
向右平移1个单位．当 时， ，得点 在新抛物线上．
【详解】（1）解：∵正方形 中， ，且 ，点A在抛物线 上，
∴点A的横坐标为1，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；（2）解：∵抛物线 的顶点为原点，沿x轴方向适当平移后经过点B，
∴平移后的抛物线顶点为 ，
∴平移后的抛物线表达式为 ，
∴抛物线向右平移1个单位；
∵当 时， ，
∴点 在新抛物线上．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形，熟练掌握抛物线性质，正方形性质，抛物线平移，点和抛物线的位
置关系，是解题的关键．
1．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交
于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线 与抛物线 关于 轴对称，抛物
线 与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．
(1)用配方法求抛物线 的顶点坐标；
(2)求线段 的长；
(3)如果 ，平移抛物线 ，使所得新抛物线的顶点E在其关于 轴对称
抛物线 的对称轴上，当 时，求平移后新抛物线的表达式．【答案】(1)
(2)2
(3)平移后新抛物线的表达式为 或 ．
【分析】此题考查二次函数的图象及性质，
（1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标；
（2）先由抛物线 与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、N的坐标，即可算出线段
的长；
（3）先根据 求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式．
【详解】（1）解：
，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）∵ ，令 得 ，
解得 ，
∴ ；
∵抛物线 ，抛物线 与抛物线 关于 轴对称，
∴抛物线 的解析式为
当 时， ，
解得 ，
∴ ，∴ ；
（3）由（2）得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴设 ，
∴ ，得 ，
∴ 或 ，
∵
∴ 或 ，
∴平移后新抛物线的表达式为 或 ．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于
，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线 ．(1)求a，b的值，并根据图象写出 时x的取值范围；
(2)把点A向上平移m个单位得点 ．若点 向右平移n个单位，将与抛物线上的点 重合；若点 向右
平移 个单位，将与抛物线上的点 重合，其中 ， ，求m，n的值；
(3)抛物线上是否存在点P，使得 最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2) ，
(3)点P的坐标为 或
【分析】（1）由题意可得 ， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围；
（2）根据点平移的特点，分别求出 ， ， ，再结合题意即可求m、
n的值；
（3）当 时 最小值为0，此时点P为抛物线与线段 的中垂线的交点，求出线段 的
中垂线的解析式为 ，再求直线与抛物线的交点即为P点．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∵抛物线经过点 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 或 ，
∴当 时， ；
（2）解：由题可知， ， ， ，
∵ ， 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴点 在抛物线上，
∴ ；
（3）解：存在点P，使得 最小，理由如下：
∵ 最小值为0，
∴ ，即点P为抛物线与线段 的中垂线的交点，
∵ ，
∴线段 的中垂线的解析式为 ，
由 ，解得x ，
∴点P的坐标为 或 ，
∴满足条件的点有 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是
解题的关键．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)求抛物线 的顶点坐标；
(3)当 时，把抛物线 向下平移 个单位长度得到新抛物线 ，设抛物线 与 轴的一个交点
的坐标为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．
（1）依据题意，由 ，结合 ，从而可以判断得解；
（2）依据题意， ，故可以得解；
（3）依据题意，当 时，抛物线G为 ，从而表示出H为 ，抛物线
H与x轴的一个交点的坐标为 ，且 ，从而若当 时， ，结合二次函数的性
质， ，又抛物线H与x轴有交点，故 ，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
（2）解：由题意， ，
∴顶点坐标为： ；
（3）解：由题意，当 时，抛物线G为 ，
∴把抛物线G向下平移 个单位长度得到新抛物线H为 ，
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为 ，且 ，
又当 时， ，
∴ ，
∵开口向下，
∴ ，
又∵抛物线H与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】
【例4】（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线 的顶点坐标为 ．
(1)求a，c的值，并写出函数表达式．
(2)已知 在该抛物线上．
①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标．②若 ， 时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
【答案】(1) ， ，
(2)① ；②m的值为 或
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为 可得 ， ，求出a，c的值，即可得解；
（2）①由坐标平移的性质可得 ，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线 ，求得
，进而可得 ，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开
口向上，且对称轴为直线 ， 分三种情况：当 ，即 时，此时 随着 的增大而减小；当
时， ，且 ；当 时， ，且 ；分别利用二次函
数的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点坐标为 ．
∴ ， ，
∴ ， ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：①将点 向右平移6个单位后得到点B，
∴ ，
∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入抛物线解析式 可得： ，
∴ ，∴ ；
②∵抛物线的表达式为 ；
∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线 ，
当 ，即 时，此时 随着 的增大而减小，
当 时， 取得最大值为 ，当 时， 取得最小值为
，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ；
当 时， ，且 ，
此时，当 时， 取得最大值为 ，当 时， 取得最小值为 ，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ；
当 时， ，且 ，
此时，当 时， 取得最大值为 ，当 时， 取得最小值为
，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴此种情况不成立；综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上
知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
1．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象为抛物线
G，抛物线G与抛物线 的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线 ______；
(2)当 时，求抛物线 的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线 围成的中间封闭区域 不包括边界 为 ．
①当 时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【答案】(1) ，1；
(2) ；
(3)① ， ， 共3个；② 或 ．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．（1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案；
（3）①根据图象即可求得；
② 时，抛物线 经过点 时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出
；当 时，如图2，抛物线 经过点 和 时，区域W内恰有5个
整点，结合图象即可求得 ，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则 或
【详解】（1）解： 二次函数 ，
对称轴为直线 ，
令 ，则 ，
图象与y轴的交点坐标为 ；
故答案为： ，1；
（2）解： 抛物线G： ，
抛物线 ： ，
即 ，
当 时， ；
（3）解：①当 时，则抛物线G： ，
顶点为 ，
令 ，解得： ，
图象与y轴的交点坐标为 ，区域W内的整点有 ， ， 共3个；
②当 时，如图2，
抛物线 经过点 时，区域W内恰有5个整点，
，
解得： ，
结合①可得： ；
当 时，如图2，抛物线 经过点 和 时，区域W内恰有5个整点．
经过点 时， ，
解得： ，经过点 时， ，
解得： ，
，
故如果区域W内恰有5个整点，则 或
2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线 经过点 ， ，连接
，点 是第一象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点 作 轴的垂线，交 于点 ，当以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点 的坐
标；
(3)点 与点 关于 轴对称，连接 ， ， ，当点 运动到什么位置时， 的面积最大？求
面积的最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为 或
(3) 面积的最大值是8，点P的坐标是 ．
【分析】（1）把点 ， ，代入解析式，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当 时，当 时，即可求解；
（3）设 的延长线交 与点N，求出直线 的表达式为： ，然后设点 ，则 ），得 ，再根据二次函数的性质，即
可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
把点 ， 代入解析式得：
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为： ；
（2）解：设 ，
当 时，则有 轴，如图，
∴点P的纵坐标为2，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ；
当 时，过点P作 轴，垂足为M，如图，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
即 ，
解得： （舍）或 ，
∴ ，
综上所述，当以 为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为 或 ；
（3）解：设 的延长线交 与点N，∵ ，点C与点B关于x轴对称，
∴ ，
设直线 的表达式为： ，
把A，C代入得：
，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ，
设点 ，则 ），
∴
∴ ，
∵ ，
∴ 有最大值，且 ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积是8，
此时， ，
综上所述， 面积的最大值是8，点P的坐标是 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图
象和性质，并利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，且横坐标为1，点
与点 关于抛物线的对称轴对称，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，点 的坐标为 ．(1)求线段 的长；
(2)点 为线段 上方抛物线上的任意一点，当 的面积最大时，求此时 点坐标，并求出最大面积；
(3)在（2）的情况下，过点 作 的垂线交 于点 ，点 在 轴上一点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问
题，数形结合是解决问题的关键．
（1）根据题意，令 ，代入表达式求出 即可得到 ，再根据点 与点 关于抛物线的对称轴对称，
即可求出 ，从而得到答案；
（2）作 轴交 于 ，如图所示，设 ，数形结合，在平面直角坐标系中表示出
的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案；
（3）作直线 交 于 ，使得 ，作 于 交 于 ，如图所示，数形结合得
，利用等面积法求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 点 在抛物线 上，且横坐标为1，
令 ，则 ，则 ，
点 与点 关于抛物线的对称轴对称，，
；
（2）解：作 轴交 于 ，如图所示：
设 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，当 时， 的面积最大为 ，此时 ；
（3）解：作直线 交 于 ，使得 ，作 于 交 于 ，如图所示：
由（2）知点 ， ，
，
，，此时 的值最小，
，
，
的最小值为 ．
【经典例题五 二次函数中的最值模型】
【例5】（2023·安徽宣城·一模）如图，抛物线 的对称轴为 ，过其顶点 的一条直线
与该抛物线的另一个交点为 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接 ，求 的面积．
(3)要在 轴上找一点 ，使得 的周长最小，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)(3)点 的坐标为
【分析】（1）先利用抛物线的对称轴求出 ，再把 点坐标代入 中求出 ，从而得到抛物
线表达式．
（2）先把抛物线的表达式一般式配成顶点式，得到 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式
为 ，则可确定 ，然后根据三角形面积公式计算．
（3）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点，则有 ，利用两点之间线段最短判
断此时 的值最小， 则 的周长最小，再利用关于 轴对称的点的坐标特征得到 ，
然后利用待定系数法求出直线 的解析式，从而可确定 点坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 的对称轴为 ，
， 解得 ，
把 代入 得 ， 解得 ，
抛物线的表达式为 ．
（2）解： ，
，
把 ， 分别代入 得：
， 解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，的面积为 ．
（3）解：如图，作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点，则有 ，
， 此时 的值最小，
此时 的周长最小，
，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得 ：
， 解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，此时 的周长最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称
最短路径的计算方法，二次函数与一次函数图象的交点的计算方法，二次函数的性质和二次函数图象上点
的坐标特征，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系
式，从而代入数值求解．
1．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数 的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为 ，与y轴交于点C，点 在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若 最小，求P的坐标；
(3)在直线 下方的抛物线上是否存在动点Q，使得 的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，
及 的最大面积；若不存在，请明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）采用待定系数法即可求解；
（2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时， 最小，最小值为BD，接着求出直线
的解析式为： ，问题随之得解；
（3）过点Q作 轴交 于点H，设点 ，则点 ，根据
表示出三角形的面积，然后求出最大值即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，
∴ ，解得： ，
则抛物线的解析式为： ；
（2）解：令 ，可得： ，
解得： ， ，
∴B点坐标为： ，
抛物线的对称抽为： ，
A、B两点关于直线 对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴ ，
∴ ，
即当P、D、B三点共线时， 最小，最小值为 ，
如图，∵ ， ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
∴当 时， ，
∴P点坐标为： ；
（3）解：过点Q作 轴交 于点H，点H在 上，如图所示：
设点 ，则点 ，
则 ，
则
，
∵ ，∴当 时， 面积的最大值为 ，
此时 ，
∴ ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解
抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
2．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数 的图象过点 ，对称轴
与 轴交于点 ．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)已知点 是二次函数图象上一点，
①若直线 ： 经过点 ，且点 关于直线 的对称点 恰好落在直线 上，求点 坐标．
②设直线 与二次函数图象另一交点为 ，过二次函数图象顶点作 轴的平行线 ，则直线 上是否存
在点 ，使得 最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点 的坐标为 或 ；②存在 的最小值为
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得 的值，根据对称轴可得 的值，即可得解；
（2）①根据待定系数法确定直线 的解析式为 ，得到 ， ，确定
直线 的解析式为 ，过点 作 ，交 轴于点 ，可得 ， ，确定直线 的解析式为 ，根据对称性可得直线 垂直平分 ，设 ， ，确
定直线 的解析式为 ，继而得到 ，根据中点坐标公式得到 ，
最后根据函数图象上点的坐标特征得到 ，求解后可得结论．
②作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，设抛物线与 轴交于点 、 ．则
＞ ，而 ，当 、 分别与 、 重合时， 最小，最小为 ．先求得
，进而勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，对称轴与 轴交于点 ，
∴当 时，得 ； ，得： ，
∴此二次函数的表达式为 ；
（2）∵直线 ： 经过点 ，设直线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，得 ，
∴ ，
∴ ，
过点B作 ，交y轴于点C，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵二次函数图象上的点 关于直线 的对称点 在直线 上，
∴直线 垂直平分 ，
∴ ，点 是 的中点，
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
可得方程组 ，解得： ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时，得 ，则 ，
当 时，得 ，则 ，
∴求点 的坐标为 或 ．
②直线 上存在点 ，理由如下：
抛物线的顶点为 ，作直线 ： ，如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，设抛物线与 轴交于点 、 ．
则 ，而 ，
当 、 分别与 、 重合时， 最小，
最小为 ．
当 ，
解得：
在 中，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数
图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对
称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确
定函数解析式及对称的性质是解题的关键．
3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如下图，正比例函数 的图象与抛物线 相交于点
．(1)求 与 的值．
(2)已知抛物线的顶点是 ，若 是 轴上的一个动点，求当 最小时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次
函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）先把 的坐标代入 ，求得 ，再把 的坐标代入 ，即可求解；
（2）由（1）得抛物线 ，求得其对称轴 和顶点坐标 ，作点C关于x轴的对称点 ，
连接 交 轴于点 ，此时 最小，设直线 的表达式是 ，利用待定系数法求得直线
的表达式，令 ，即可求解点 的坐标．
【详解】（1）解：将 代入正比例函数 ，解得： ，
点 的坐标为 ，
将 代入 ，得： ，解得： ．
（2）解： 由（1）得：抛物线 ，
抛物线 的对称轴是 ，顶点是 ，
点C关于x轴的对称点 的坐标为 ．
如图，连接 交 轴于点 ，此时 最小．设直线 的表达式是 ，
把 ， 代入 ，
得： ，解得： ，
直线 的表达式是 ．
令 ，则 ，解得： ，
点 的坐标是 ．
【经典例题六 二次函数中的存在模型】
【例6】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于A， 两点，与y轴
交于点 ，直线 过B，C两点．(1)求抛物线的表达式，并求出直线 的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直
接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线 轴交 于点D，过点P作 于点E，当
时，求点P的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为
(2)存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形， Q点坐标为 或
(3)P点横坐标为 或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 ，分别求出 ，分三种情况讨论：当 为斜边时，
此时t无解；当 为斜边时， ；当 为斜边时， ；
（3）设 与y轴的交点为G，由题可知D点是 的中点，则 ，设 ，则
， ，设 ， ，得到
，求出m的值即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行
线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：将点 ，点 ，分别代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，
当 时， ，
解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
当 为斜边时， ，
此时t无解；
当 为斜边时， ，
解得 ，∴ ；
当 为斜边时， ，
解得 ，
∴ ；
综上所述：Q点坐标为 或 ；
（3）解：设 与y轴的交点为G，
∵ ，
∴点D是 的中点，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
解得 ，
则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴P点横坐标为 ；
当点D在点P的右侧时，
设 与y轴的交点为G，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
解得 ，
则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴P点横坐标为 ；
综上所述，点P的横坐标为 或 ．1．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两
点，点A在点B左侧．点B的坐标为 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)若点D是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以 为一边的平行四边形？若
存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
(3)13.5
(4)存在； ， ，
【分析】（1）根据 ， ，求出C点坐标 ，把点 的坐标代入 ，即
可求出函数解析式；
（2）连接 与抛物线的对称轴交于点Q，此时 的周长最小．先求出 ，再求出直线 的解析式为： ，则当 时， ，即可作答．
（3）过点 作 轴交线段 于点 ，设 ，然后求出 的表达式，利用
，转化为二次函数求最值；
（4）①过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交 轴于点 ，此时四边形 为平
行四边形；②平移直线 交 轴于点 ，交 轴上方的抛物线于点 ，由题意可知点 的纵坐标为
3，从而可求得其横坐标．
【详解】（1）解：∵ 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，点 在 轴下方，
∴ ，
∵将 代入抛物线的解析式，
可得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）得 ，
令 ，则
即
如图所示：连接 与抛物线的对称轴交于点Q，此时 的周长最小．∵ ，
∴
∴
设直线 的解析式为： ，
∵ ，
∴
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
则 的对称轴是直线 ，
∴当 时， ，
∴点Q的坐标是 ；
（3）解：如图1所示，过点 作 轴，交 于点 ，∵该抛物线的对称轴为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
∵将 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为3，
∴ 的最大面积 ，
∴ ，
∴四边形 的面积的最大值为13.5；
（4）解：存在，理由如下：
①如图2，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交 轴于点 ，此时四边形 为平行四边形，
∵ ，令 ，
∴ ，
∴ ；
②平移直线 交 轴于点 ，交 轴上方的抛物线于点 ，当 时，四边形 为平行
四边形，当 时，四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ 的纵坐标均为3，
令 ，可得 ，
解得 ，
∴ ．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是 ， 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次
函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数 的图象交 轴于点 ，点 两点，
交 轴于点 ．动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 方向运动，过点 作 轴交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接 ，设运动的时间为 秒．
(1)求二次函数 的表达式；
(2)连接 ，当 时，求 的面积；
(3)在直线 上存在一点 ，当 是以 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）依据二次函数经过点 和 两点，代入到解析式 中计算即可得出结
果；
（2）由题意可知， 面积为 ，分别计算出 和 的长度即可得出结果；
（3）首先，在等腰 中，利用勾股定理得到 点到 或 点的距离，然后，运用两点距离公式建立
等式，计算得到 点横坐标 ，由于 点横坐标与 点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可
得到结果．
【详解】（1）解： 二次函数 ，过点 ，点 ，
点坐标代入解析式可得：
，解得：
，
二次函数解析式为 ．
（2） 动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 方向运动，
当 时， 点坐标为 ，
将点 和 代入到直线 中可得，
， ，
直线 ．
直线 ，
令 ，代入直线 可得 ，
同理，代入二次函数中得到 ，
， ，
面积为 ．
（3）设直线 上存在一点 ，使得 是以 为直角的等腰直角三角形，
点 和 ，由两点距离公式可知，
，
在等腰 中，应用勾股定理可知，
，
，
利用两点距离坐标公式可知，，
，
将 可得，
，
将 式代入 式可得，
，
整理得：
解得： 或 ．
点横坐标为 或 ，
点 与点 横坐标相同，
点 横坐标为 或 ，
分别代入二次函数解析式 可得，
或 ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），
两点距离坐标公式（例如，点 和 ，则两点间距离为 ）．
3．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐
标是 ，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是抛物线上一点，连接 使得 ，求出点P坐标；
(3)如图3，连接 与 交于点D，是否存在点P，满足 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答
的关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）过P作 轴于H，证明 是等腰直角三角形，得到 ，设 ，分
P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答；
（3）先利用待定系数法求得直线 的函数表达式为 ，设 ，分当点D在线段
上时，当点D在 延长线上、当点D在 延长线上，三种情况，过P作 轴于H，交 于
Q，则 轴， ，证明 得到 ，则 ，利用坐标
与图形性质列方程求得m值即可解答．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，∵抛物线的对称轴为直线 ，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是 ，与y轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：过P作 轴于H，则 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是 ，
∴ ，
当P在x轴上方时，有 ，
解得 或 （与B重合，舍去），
，
∴ ；
当P在x轴下方时，有 ，
解得 或 （与B重合，舍去），
，∴ ，
综上，点P的坐标为 或 ；
（3）解：存在．
设直线 的函数表达式为
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ，
设 ，
如图，当点D在线段 上时，过P作 轴于H，交 于Q，则 轴， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
当点D在 延长线上，如图，同理可证 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴
∴ ．
当点D在 延长线上，如图，
同理可证 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），∴ 或 ，
∴ ．
综上，点P坐标为 或 或 或 ．
【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】
【例7】（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数 与x轴交于A、B两点，点A的坐标
为 ，且与y轴交于点C，直线 经过点C，与x轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为 ，求 的面积的最大值及此时点
E的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点P，使 ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值是3，(3)存在，P为 或
【分析】（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，将A，C坐标代入二次函数解析式即可求出b，c，进
而得到答案；
（2）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，表示出G点坐标，从而表示出 长度，根据
即可表示出 的面积，再结合二次函数图象性
质即可求其最大值和此时E的坐标；
（3）过点 作一条直线与 的夹角为 ，交二次函数的图象于点 ，过点 作 ，两线交于点
，过点 作 轴于点 ，分两种情况：当点 在直线 的右侧时和当点 在直线 的左侧时
进行讨论即可．
本题主要考查二次函数的解析式求解、三角形面积的最大值求解以及特定角度的点坐标求解．需要利用给
定的点坐标、直线方程和二次函数的性质来逐步解答各个小问．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
，
二次函数图象与 轴交于 两点，点 的坐标为 ，
，
，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：如图①，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，设点 的坐标是 ，则点 的纵坐标为 ，
代入直线 ，得点 的横坐标为 ，
点 的坐标是 ，
，
，
，
的最大值是3，此时点 的坐标为 ；
（3）解：存在，如图，过点 作一条直线与 的夹角为 ，交二次函数的图象于点 ，过点 作
，两线交于点 ，过点 作 轴于点 ，情况一：如图②，当点 在直线 的右侧时，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
在 与 中， ，
，
，
易知 ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
直线 的解析式为 ．
联立 ，得 ，
解得 （舍去）， ，
将 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ；
情况二：如图③，当点 在直线 的左侧时，同理可得：直线 的解析式为 ．
联立 ，得 ，
解得 （舍去）， ，
将 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．
1．（24-25九年级上·重庆·期末）如图 ，已知抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴
交于 点， 点的坐标为 ，且抛物线对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，连接 ， 为线段 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，作
轴交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；(3)如图 ，连接 ，在直线 下方抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 的最大值为 ，此时 ；
(3)存在， ．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的
判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）先求出 ，再求出直线 表达式为 ，设 ，则 ，
所以 ，然后通过二次函数的性质即可求解；
（ ）当 点在 下方时，如图，作 轴，作 于点 ，与抛物线的交点为 ，连接 ，求
出 ，则 ，证明 ，所以 ，又 ， ，
故有 ，则 ，可得点 与 点重合，从而求解．
【详解】（1）解：由题意知 ，解得 ，
∴解析式为 ；
（2）解：∵ 点的坐标为 ，且抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
设直线 表达式为： ，∴ ，解得 ，
∴直线 表达式为 ，
设 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值为 ，此时 ；
（3）解：存在，理由如下：
当 点在 下方时，如图，作 轴，作 于点 ，与抛物线的交点为 ，连接 ，
∵ ，
∴当 时， ，
解得： 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，点 与 点重合，
∴ ．
2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线 的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ，过点 作 轴，交抛物线于点 ，且 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在，请求点 的坐标；若
不存在，请说明理由；
②在图2中，点 为抛物线上第四象限上一点，连接 交 轴于点 ，当 时，求点
的坐标．【答案】(1)
(2)①存在， 或 或 或 或 ；
②
【分析】本题考查了求二次函数解析式，勾股定理，一元二次方程的应用.
（1）先求出 ，再根据 求出 ， ，代入 计算即可；
（2）①先求出D点坐标，再分三种情况根据勾股定理计算一元二次方程即可；
②作 轴交 轴于F，连接 ，先根据平行线的判定和性质得到 ，由
得到 ，根据等角对等边得到 ，设 ，根据勾股定理求
出 ，进而求出直线 的解析式为 ，联立 求出 ，即可得解.
【详解】（1）当 时，
∴
∵
∴ ，
分别将 ， 代入 得：
解得：
∴ ；
（2）①存在.
设 交对称轴于M，设 交对称轴于N，则 ，对称轴为直线 ，
设E点纵坐标为a
则
∵过点 作 轴，交抛物线于点 ，
∴ ， 关于直线 对称，
∴
Ⅰ.当 时，如图，
则
即 ，
解得：
即 ；
Ⅱ.当 时，如图，
或
则
即 ，解得：
即 或 ；
Ⅲ.当 时，如图，
或
则
即 ，
解得：
即 或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 或 ；
②如图，作 轴交 轴于F，连接
∴ 轴，
即
∴
∵
∴
∴ ，
∴
设 与 交于G，则 ，
设 ，
∵ ，
∴
整理得 ，
解得： ，
∴
设直线 的解析式为
将 ，
则
解得
∴ ，
联立 得
解得： ，
∵点 为抛物线上第四象限上一点，
∴ ，
∴3．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，二次函数 的图象与x轴交于点
两点，与y轴交于点C，点D为 的中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点E为直线 上方抛物线上一点，过点E作 轴，垂足为H， 与 、 分别交于点F、
G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段 的长度；
②若 ，求此时点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使 ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)① ②
(3)存在； ，【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键：
（1）两点式写出函数解析式即可；
（2）①求出直线 的解析式，利用两点间的距离公式表示出 的长度即可；
②求出 的解析式，进而求出 ，根据 ，列出方程进行求解即可；
（3）求出对称轴，设出 点坐标，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴交于点 两点，，
∴抛物线的表达式为： ，
即 ．
（2）①∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ，
∵点E为直线 上方抛物线上一点，过点E作 轴，垂足为H， 与 、 分别交于点F、G
两点，设点E的横坐标为m，
∴ ， ，
∴ ；
②∵点D为 的中点， ，
∴ ，
同①得：直线 的解析式为： ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ；
（3）存在：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ；
∴ ， ．【经典例题八 二次函数中面积关系模型】
【例8】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线 经过 两点，与y
轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接 与 相交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S，△BCQ的面积为S，求S﹣S 的最大
1 2 1 2
值，并求此时点P的坐标；
(3)过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N，设点D的横坐标为m，且 ，PD中点为
点M，AB中点为点E，若 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)当 时， 取最大值，最大为 ，此时 ．
(3)
【分析】（1）将 分别代入 中解方程即可；
（2）设 ，理解
即可解答；
（3）求直线 的表达式，表示出 ， ， ，根据列出方程求解即可；
【详解】（1）解：将 分别代入 ，
得， ，
解得： ．
∴ ．
（2）设 ，
，
，
，
∴ ，
当 时， 取最大值，最大为 ，此时 ．
（3）由 可得 ，
设直线 的表达式为 ，
将 分别代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
∵点E为 中点，∴ ，
∵点D的横坐标为m，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，正确求出解析式并能根据题意正确表示出各点是解题的关键．
1．（2025九年级·全国·专题练习）点A，B在抛物线y＝ax2（a＞0）上，AB交y轴于点C．(1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x＋2，求a的值；
(2)在（1）的条件下，过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y
轴于点K，求OK•BH的值；
(3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，
BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S，△PMB的面积为S，△PBA的面积为S，若 ，
1 2 3
求点P的坐标．
【答案】(1)a＝
(2)4
(3)P（0，1）
【分析】（1）求出OD的解析式，确定D点坐标即可求出a值；
（2）通过AB的解析式和抛物线解析式求解A、B两点坐标，从而可获得AH所在的解析式，再通过B点
横坐标求出点H和点G的坐标，从而得到BH的长度，再通过点A和点G的坐标求解AG的解析式，从而
得到OK的长度，最终可得OK、BH的长度；
（3）通过平移前后a的值不变，代入A、B两点坐标求出平移后抛物线的解析式，设P点坐标为(0，e)，
分别用n表示出BN、AM所在直线的解析式，将两条解析式与抛物线联立，求出N、M的坐标，再根据三
角形面积公式分别表示出S、S、S，最后根据题干条件求出P点坐标即可．
1 2 3
【详解】（1）解：∵AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，
∴OD的解析式为y＝x；C点的坐标为（0，2）；
又∵DC⊥y轴；
∴D点的纵坐标为2，将y＝2代入y＝x中，得x＝2，
∴D点的坐标为（2，2）将点D（2，2）代入y＝ax2（a＞0）中，解得a＝ ；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝ x2，
令 ，
解得 ， ；
∴ ； ；
∴由图可知点A坐标为 ，
点B的坐标为 ，
由图可知，直线AH过原点，
∴设AH的解析式为y＝kx，将A点坐标代入，
解得k＝ ；
∴ ，
又∵BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，点B的坐标为 ，
∴点G的坐标为（ ）点H的横坐标为 ，
将点H横坐标代到y＝ x中得y＝﹣2，
∴点H的坐标为（ ）；
∴BH＝BG+GH＝ ；
设AG所在直线的解析式为y＝kx+b，代入A、G两点的坐标得：
1 1解得：k＝ ，b＝ ；
1
∴y＝ x+ ；
1
∴OK＝ ；
∴OK•BH＝ ＝4．
（3）解：∵a＝1，
∴设平移后抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
将A（﹣1，0），B（2，0）两点代入可得b＝﹣1，c＝﹣2；
∴y＝x2﹣x﹣2；
设点P的坐标为（0，e）
∴将点A、P坐标代入可得AM所在直线的解析式为y ＝ex+e；
AM
将点B、P坐标代入可得BN所在直线的解析式为y ＝﹣ x+e；
BN
又∵N、M在抛物线上，
∴
解得x ＝e+2，∴
M
解得x ＝﹣1﹣ ，
N
∴y ＝ + e；
N
∵AB＝3，
∴S＝S ＝ •AB•OP＝ ；
3 APB
△S＝S ＝S ﹣S
1 PNA NAB APB
△ △ △
＝ ×3×（ + e）﹣ e
＝ （ + ）；
S＝S ＝S ﹣S
2 PMB MAB APB
△ △ △
＝
＝
代入 得e＝1或﹣5（舍弃），
∴P（0，1）．
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，能通过待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式和
掌握根据函数解析式正确表示含有带参数的点的坐标是解决此题的关键．
2．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线y＝ax2＋c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx＋3（k为常数）相
交于A（x，y），B（x，y）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．
1 1 2 2
(1)求a、c的值；
(2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2＋2AP2，试判断△PAC的形状，并
说明理由；
(3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图
2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S、S、S，是否存在常数t，使S2＝t•SS？若存在，求出t
1 2 3 2 1 3
的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a＝ ；c＝1
(2)直角三角形，见解析
(3)存在，t＝4
【分析】（1）∵抛物线y=ax2+c的顶点为C（0，1），故c=1，则抛物线的表达式为y=ax2+1，当k=0时，
直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为（2，3），即可求解；
（2）AB=4，AC= ，故AB2=2AC2，而2PC2=AB2+2AP2，则PC2=AC2+AP2，即可求解；
（3）设点A、B的坐标分别为（m， m2+1），（n， n2+1），则SS= ×AD•DF× ×EF•BE=4k2+16，
1 3
S2=4（4k2+16），进而求解．
2
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），故c＝1，
则抛物线的表达式为y＝ax2+1，
当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，
故点B的坐标为（2，3），
将点B的坐标代入抛物线表达式得：3＝4a+1，
解得a＝ ；
（2）解：由（1）知，当k＝0时，点B（2，3），则点A（﹣2，3），则AB＝4，
由点A、C的坐标知，AC＝ ，故AB2＝2AC2，
∵2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，
∴△PAC为直角三角形；
（3）解：设直线AB交y轴于点G，则点G（0，3），设点A、B的坐标分别为（m， m2+1），（n， n2+1），
联立y＝ x2+1和y＝kx+3并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，
则m+n＝2k，mn＝﹣4，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（2k）2，
由题意得：AD＝ m2+2，DF＝﹣m；GF＝4，DE＝n﹣m；BE＝ n2+2，EF＝n；
则SS＝ ×AD•DF× ×EF•BE
1 3
＝ （ m2+2）（﹣m）（ n2+2）n
＝ （mn）2+（m+n）2﹣2mn+4
＝4k2+16，
同理可得：S2＝[ FG（n﹣n）]2
2
＝[ 4×（n﹣m）]2
＝4（n﹣m）2
＝4[（m+n）2﹣4mn]
＝4（4k2+16），
∵S2＝t•SS，
2 1 3
即4（4k2+16）＝t（4k2+16），
∵4k2+16＞0，
故t＝4．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、根与系数的关系、面积的计算等，用根与
系数的关系处理复杂数据是本题的难点．
3．（2025·广东深圳·二模）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与
y轴交于点C，顶点为点D．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一
个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S，△PAB的面积为S，那么 的值是否是定值？如果是，
1 2
请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2) 的值是一个定值，这个定值为
(3)N（﹣ ， ）
【分析】(1)把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式即可；
(2) 分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，利用铅垂法分别表示△PA E的面积和
△PAB的面积，再求比值即可；
(3) 过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N利用等腰三角形的性质，
先求出∠BTC =∠BMC时， 直线BT的解析式，利用ON∥BT求出点N的坐标．
【详解】（1）解：由抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点可得，
，
解得， ，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解： 的值是一个定值，这个定值为 ，理由如下：
∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3顶点为点D
∴D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴E（1，4），
∵直线y＝mx+1过点A（﹣1，0），
∴直线AF：y＝x+1，
如图1，分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，
∴S＝ （x ﹣x ）•EH，S＝ （x ﹣x ）•BG
1 P A 2 P A
∴ ＝ ，
∵B（3，0），
∴G（3，4），BG＝4，
∵E（1，4），
∴H（1，2），EH＝2，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ 的值是一个定值，这个定值为 ；
（3）解：如图2，过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N，
∴∠ONC＝∠BTC＝∠BMC，∴BT＝BM，点P是点T，点M的中点，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC：y＝﹣3x﹣3，
∵BP⊥AC，B（3，0），
∴直线BP：y＝ x﹣1，
联立 ，解得 ，
∴P（﹣ ，- ），
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴直线BD：y＝2x﹣6，
联立 ，解得 ，
∴M（ ，﹣ ），
∴由中点坐标公式可得，T（﹣ ， ），
设直线BT的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得， ，∴y＝﹣ x+ ，
∴直线ON的表达式为：y＝﹣ x，
联立 ，解得 ，
∴N（ ， ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，铅垂法求面积及函数交点问题，解题的关键在于
作辅助线利用角相等转化构造等腰三角形，将求坐标问题转化为求方程组解的问题．
【经典例题九 二次函数中新定义模型】
【例9】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下
定义：
点 是函数图像上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ ”称为点A的“纵横值”．函数图像上
所有点的“纵横值”中若存在最大值则称为函数的“最优纵横值”，若存在最小值则称为函数的“最劣纵
横值”．
【举例】已知点 在函数 图像上．
点 的“纵横值”为 ；
函数 图像上所有点的“纵横值”可以表示为 ，
当 时， 的最大值为 的最小值为 ，
所以函数 的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4．
【问题】根据定义，解答下列问题：(1)①点 的“纵横值”为__________；
②求出函数 的“最优纵横值”和“最劣纵横值”；
(2)若二次函数 的对称轴为直线 ，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)已知二次函数 ，当 时，二次函数的最优纵横值为m，最劣纵横值为n，若
，请直接写出t的值．
【答案】(1)①7；②最优纵横值是8，最劣纵横值是
(2)
(3) 或
【分析】（1）①根据“纵横值”的定义求解即可；②根据“纵横值”的定义，设函数图像上所有点的
“纵横值”为 ， ，结合二次函数图像的性质即可获得答案；
（2）首先确定 ，设图像上所有点的“纵横值”为 ，则有 ，结合二次函数
图像的性质以及“最优纵横值”的定义求解即可；
（3）设函数图像上所有点的“纵横值”为 ，则有 ，易知 关于 的函数图像开
口向上，且对称轴为 ，然后分 、 、 三种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：①根据题意，点 的“纵横值”为 ；
②对于函数 ，设图像上所有点的“纵横值”为 ，
则有 ，
∵ ，
∴ 关于 的函数图像开口向上，且对称轴为 ，
∴当 时，可有“最劣纵横值”为 ，
又∵ ，∴可有“最优纵横值”为 ．
故答案为：①7；②最优纵横值是8，最劣纵横值是 ；
（2）若二次函数 的对称轴为直线 ，
则有 ，解得 ，
∴该函数解析式为 ，
可设图像上所有点的“纵横值”为 ，
则有 ，
∵ ，
∴ 关于 的函数图像开口向下，且对称轴为 ，
∴当 时，可有“最优纵横值”，且为 ，
解得 ；
（3）对于二次函数 ，
设图像上所有点的“纵横值”为 ，
则有 ，
∵ ，
∴ 关于 的函数图像开口向下，且对称轴为 ，
分三种情况讨论：
①若 ，当 时， 取最大值，即 ，
当 时， 取最小值，即 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，不合题意，舍去；
②若 ， 的最大值为4，即
或 ，
∵ ，
令 ，解得 ， （不合题意，舍去）；
令 ，解得 ， （不合题意，舍去）；
③若 ，即 ，
当 时， 取最小值，即 ，
当 时， 取最大值，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，不合题意，舍去．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义“纵横值”、二次函数的图像与性质、二次函数综合应用等知识，正确理
解新定义是解题关键．
1．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函
数值y ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函
数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是 2 ．
(1)函数① 和② 中是有上界函数的为 （只填序号即可）， 其上确界为 ；
(2)若反比例函数 的上确界是 ，且该函数的最小值为 2 ，求 a、b的值；(3)如果函数 是以 6 为上确界的有上界函数，且满足 ，求实数a的值．
【答案】(1)②；7
(2) ，
(3)2
【分析】本题考查新定义，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求
问题转化为求二次函数的最大值问题是解题的关键．
（1） ，则函数是没有上界函数； 时 ，则函数是有上界函数，
上确界为7；
（2）由题意可得 ，则 ， ，分别求出 、 即可；
（3）根据 ，根据 ， ，则当 时， 有最大值
，再根据6为上确界，得 ，解得 或 (舍去)即可．
【详解】（1）解： ，
，
没有上界函数；
，
，
有上界函数，上确界为7，
故答案为：②，7；
（2）解： ，
当 时， 有最大值 ，当 时， 有最小值 ，
，
函数上确界是 ，，
函数的最小值为2，
，
，
；
（3）解： ，
又∵ ， ，
当 时， 有最大值 ，
∵6为上确界，
，
或 （舍去）；
．
2．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数 ，当 时，函
数值y的取值范围是 ，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”．
【举例】：对于函数 ，当 时，函数值y的取值范围是 ，我们称1到3（含1、3）这
段取值范围是函数 的一个“2倍取值范围”．
【问题】：已知二次函数 （b、c均为常数）的图象经过点 ，其对称轴为直线 ．
(1)求二次函数 的解析式；
(2)若对于实数 ，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m
和n的值．
【答案】(1)(2) ， 或 ，
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，
弄懂题意，确定满足条件的点的位置是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分三种情况：Ⅰ．当 时， 随 的增大而减小．Ⅱ．当 时， 的最小值为 ，Ⅲ．
当 时， 随 的增大而增大．分别求解即可．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象经过点 ，
，得， ．
二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
，
．
．
（2）解：二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
根据 、 与2的大小关系，可分为三种情况：
Ⅰ．当 时， 随 的增大而减小．
将 、 分别代入函数解析式得， ，整理得， ，
化简得， ．代入 得 ，
解得， （不符合题意，舍去）， ．
当 时， （不符合题意，舍去）．
Ⅱ．当 时， 的最小值为 ， ．
，解得， ，此时， ．
①当 时，解得， ，此时 ．此时 ， ，符合题意．
②当 时，当 时， 取得最大值 ．
，解得， 或 （舍去）
此时， ， ，符合题意．
Ⅲ．当 时， 随 的增大而增大．
将 、 分别代入函数解析式得， ，
解得 （舍去）， ．
综上所述， ， 或 ， 时满足题意．
3．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标：
① 的顶点坐标为________；
② 的顶点坐标为________；
③ 的顶点坐标为________．
（2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上
面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断 与 是不是“数轴函数”，并说
明理由．
（3）与 轴平行的直线交“数轴函数” 于 两点（ 点在 点的左侧）， ，
是直线 上方抛物线上一点，且点 到对称轴的距离大于2，请直接写出 点横坐标 的取值范围．
【答案】（1） ， ， （2） 是“数轴函数， 不是“数轴函数”，
理由见详解（3） 或 ．【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①根据二次函数的顶点式进行作答即可；
②根据二次函数的顶点式进行作答即可；
③根据二次函数的顶点式进行作答即可；
（2）先化为顶点式，再根据“数轴函数”的定义进行分析，即可作答．
（3）先化为顶点式，根据“数轴函数”的定义进行分析得出 ，再结合 得出 ， ，
又因为 是直线 上方抛物线上一点，且点 到对称轴的距离大于2，且结合二次函数的图象性质进行分
析，即可作答．
【详解】解：（1）① 的顶点坐标为 ；
② 的顶点坐标为 ；
③ 的顶点坐标为
故答案为： ， ， ；
（2）依题意，
则该函数的顶点坐标为 ，顶点坐标在 轴上，符合“数轴函数”的要求，
故 是“数轴函数，
，
则该函数的顶点坐标为 ，顶点坐标不在坐标轴上，不符合“数轴函数”的要求，
故 不是“数轴函数”；
（3）依题意 ，
此函数的顶点坐标为 ，
∵ 是“数轴函数”
∴ ，解得 ；
∴ ，即函数的开口向下，对称轴为直线 ，
越靠近对称轴的 所对应的函数值越大
∵与 轴平行的直线交“数轴函数” 于 两点（ 点在 点的左侧）， ，
∴ ，
∵ 是直线 上方抛物线上一点，且点 到对称轴的距离大于2，
∴ 或者
即 或 ．
