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专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优）
题型一 y=ax2的图象与性质
题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质
题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质
题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小
题型五 二次函数图象与各系数符号
题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
题型七 利用二次函数的增减性求参数范围
题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型九 根据二次函数的对称性求函数值
题型十 待定系数法求二次函数解析式
题型十一 二次函数图象的平移
题型十二 y=ax2+bx+c的最值
题型十三 利用二次函数对称性求最短路径
题型十四 二次函数与一次函数的综合
题型十五 二次函数图象与性质的综合
知识点01 二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随
向上 (0,0) 轴
的增大而减小； 时， 有最小值0．
时， 随 的增大而减小； 时， 随
向下 (0,0) 轴
的增大而增大； 时， 有最大值0．
的性质： 上加下减的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 轴
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 轴
增大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 x=h
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增
向下 x=h
大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质：左加右减，上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
向上 x=h 增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 x=h
增大而增大； 时， 有最大值 ．
一般式：yax2 bxc（a，b，c为常数，a0）；
函数 二次函数y ax2 bxc（a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象
开口方向 向上 向下b b
对称轴 直线x 直线x
2a 2a
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
b b
在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 x 时，y
2a 2a
b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧，
增减性 增大而减小；在对称轴的右侧，即当x
b
2a 即当 x 时，y 随 x 的增大而减
时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a
小．简记：左增右减
b b
抛物线有最低点，当 x 时，y 有最小 抛物线有最高点，当x 时，y有
2a 2a
最大(小)值
4acb2 4acb2
值，y 最大值，y
最小值 4a 最大值 4a
知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同
学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二
次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可
以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋
c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数
代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我
们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为
我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是
字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），
取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标
轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与0的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系.
(1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下.(2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当 异号时，对称轴在
轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴.
(3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当
时，图象与 轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当
时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点.
(5) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 .
(6) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则
.
知识点03 二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象
平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置
发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿 轴平移，上、下沿 轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，
再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规
律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不
变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
知识点04 二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根。
二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③
有两个公共点，这对应着一元二次方程 的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母
的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利
用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的
转换.
知识点05 二次函数与不等式
判别式 抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0 或
△＝0 （或 ） 无解
△＜0 全体实数 无解知识点06 待定系数求解析式
用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:
(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式 ;
(2)已知顶点 (或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式 ;
(3)已知抛物线与 轴的两个交点坐标为 ，常设抛物线的解析式为交点式
.
二次函数解析式的形式
一般式： 顶点式：
交点式 顶点在原点：
过原点： 顶点在y轴：
求二次函数 （a≠0）的最值的方法
配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成 的形式
若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且
②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
公式法：因为抛物线的顶点坐标为（- ），则
若a＞0，当x= 时，函数有最小值，且
若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且y =
最大值【经典例题一 y=ax2的图象与性质】
【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线 的开口向上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得 ，进而求解，解题关键是掌握二次函数图
象与系数的关系．
【详解】解：∵抛物线 的开口向上，
∴ ，
故选：A．
1．如图，正方形 与抛物线 相交于点 ，则正方形 面积为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点
在抛物线 上求出m的值，求出 的长，再根据正方形的性质求出正方形 的面积．
【详解】解：∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ 或 （舍去），∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴正方形 面积为∶ ．
故选C．
2．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在
抛物线 的图象上．若正方形 的边长为 ， 与 轴的正半轴的夹角为 ，则a的
值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，作 轴于 ，则 ，由题意知， ， ，
可得 ，由正方形的性质、勾股定理可得 ，由 ，可得 ，
，即 ，将 代入 得， ，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，作 轴于 ，则 ，由题意知， ， ，
∴ ，
由正方形的性质、勾股定理可得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含 的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握
正方形的性质，勾股定理，含 的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是 ，直线 的解析式是 ，点
，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
(1)求证： ；(2)设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) 的最小值为 ，此时点 的坐标为
【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等：
（1）设点P的坐标为 ，根据两点间距离公式求出 ，可证 ；
（2）由 可得 ，当E，P，N共线时，等号成立．
【详解】（1）证明： 点 是在该抛物线 上的动点，
设点P的坐标为 ，
，
；
，直线 的解析式是 ，
，
；
（2）解： ，
点 在抛物线 的上方，
由（1）知 ，
，当E，P，N共线时，等号成立，如图：，当 时， ，
的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．
【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】
【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点 和 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线 经过点 和 ，从而可得 ①，
②，又② ①得， ，即 ，故 ，最后即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【详解】解：由题意， 抛物线 经过点 和 ，
①， ②．
② ①得， ．
，即 ．
．．
．
．
故选：C．
1．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为（ ）．
A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数 的对称轴为：直线 ，
（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；
（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点 在第二象限，以 为顶点的抛物线 经过原点，与 轴
负半轴交于点 ，点 在抛物线上，且位于点 、 之间（ 不与 、 重合）.若四边形 的周长为
14， 的周长大于8，则 的取值范围为 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知 ， ，OB=−2ℎ，
由题意得出OB+BC+AC+AO=14，AC+BC+AB=AC+BC+AO>8，等量代换求出14+2ℎ >8，然
后结合点A在第二象限可得答案．
【详解】解：∵以A为顶点的抛物线 经过原点，
∴ ， ，
∵点B在x轴负半轴，
∴OB=−2ℎ，
由题意得：OB+BC+AC+AO=14，AC+BC+AB=AC+BC+AO>8，
∴BC+AC+AO=14−OB，
∴14−OB>8，
∴14+2ℎ >8，
∴ℎ >−3，
∵点A在第二象限，
∴ ，
∴−3<
ℎ
<0，
故答案为：−3<
ℎ
<0．
3．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数 的图象的顶点，一次函数 的图象
与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)请你求出点A、B、C的坐标；
(2)若二次函数 与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
【分析】（1）根据二次函数顶点式可得顶点C的坐标，令一次函数的自变量和函数值分别为0，可求得点
A、B的坐标．
（2）分 和 两种情况，画出草图，即可求解．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为 ．
对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
， ，
点A、B、C的坐标分别为 ， ， ；
（2）解：把 代入 ，得 ．
当 时， ，说明抛物线的对称轴左侧与线段 总有交点，
只需抛物线的对称轴右侧与线段 无交点即可，如图：只需要 时，抛物线的函数值 即可，
，
；
当 时，抛物线开口下向，如图：
只需要 时，抛物线的函数值 即可，
，
综上可知，当 或 时，二次函数 与线段AB恰有一个公共点．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象的顶点坐标、二次函数图象上点的坐标
特征等，第二问有一定难度，解题的关键是分情况画出草图，利用图形求解．
【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数 的图象下列说法不正
确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．当 时，图象上的最低点为
C．当 时，y的值随x值的增大而增大D．顶点一定在函数 的图象上【答案】C
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数性质，根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答
即可．熟练掌握二次函数性质是关键．
【详解】解：A、抛物线对称轴为 ，故原说法正确，不符合题意；
B、当 时，抛物线解析式为 ，顶点的坐标 ，故原说法正确，不符合题意；
C、当 时，开口方向不确定， 的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意；
D、 ， ，图象的顶点为 ，故顶点一定在函数 的图
象上，故原说法正确，不符合题意．
故选：C．
1．二次函数 （ ， 为常数）的图像的顶点在第二象限，且经过点 ，则
的值的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据题意可得
， ， ，进而可得 ， ，即可求得答案．
【详解】解：∵二次函数 经过点(1,0)，
∴ ，
∴ ，
又∵该二次函数图像的顶点在第二象限，如下图，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
2．如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论：
① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且
，则 ．其中正确的是
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛
物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为 可判断③；由二次
函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图像与性质．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，∵抛物线交 轴于正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，且当 时， ，
∴ 时， ，
即 ，故结论②正确；
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故结论③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
若 且 ，则点P(x ,y )到对称轴的距离小于Q(x ,y )到直线的距离，
1 1 2 2
∴ ，故结论④不正确，
∴正确的是①②③．
故答案为：①②③．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
(1)若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
(2)已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小关系，并
说明理由；
(3)若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线与y轴交于
点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证： ．
【答案】(1)2，(2) ，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌
握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点 代入二次函数的解析式即可得 的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得；
（2）先求出 ，从而可得抛物线的对称轴 ，再求出 ，得出点 到对称轴的距
离大于 到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；
（3）先分别求出点 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴将点 代入 得： ，
解得 ，
则 化成顶点式为 ，
故答案为：2， ．
（2）解： ，理由如下：
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
又∵抛物线的开口向上，
∴ ．
（3）证明：若 ，则 ，
将 向上平移4个单位得到新抛物线 ，
∵抛物线 与直线 交于点 ，
∴设点 的坐标为 ，
将 代入 得： ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
轴于点 ，
，
∴ ，
，∴ ．
【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】
【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上，
若 ，点． ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 ， ， ， 的大小，则下列判断
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查抛物线的性质，根据点 和点 在抛物线 上得到 ， ，表
示出 ， ， ， ， ，结合 判断式子与0的关系即可得到答案；
【详解】解：∵点 和点 在抛物线 上，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， 在该抛物线上，
∴ ，
，， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故选：D．
1．已知二次函数 （ ）， 、 是其图象上的两点，且 ，
，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关
键．根据二次函数的性质，结合图象上点的坐标特征即可判断．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ 、 是其图象上的两点，且 ， ，
∴当 时， ，即 时， ，
当 时， ，即 时， ，
∴ ，
故 选项一定正确， 选项错误，
当 时， ， ， 故 选项错误；当 时， ， ， ，故 选项错误；
故选： ．
2．若点 ， ， 在抛物线 的图象上，则 ， 的大小关系为
，
（用“ ”或“ ”进行连接）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图
象的性质．
【详解】解：由二次函数 ，则它的对称轴为 ，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则 的值越大，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的解析式为 ．
(1)求证：对任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等；
(2)若 对应的 的整数值有4个，求 的取值范围；
(3)若抛物线与 轴交于不同的点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点、一元二次方程的判别式，解答
本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（1）根据二次函数的对称轴即可证明；（2）代入x的值，当 时， ，当 时， ，根据有4个整数值分情况求解即可；
（3）将函数转换为一元二次方程，根据题意根的判别式大于零列出不等式组求解即可．
【详解】（1）证明：∵抛物线的对称轴为 ，
∴ 与 关于直线 对称，
∴对任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等．
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
若 ，当 时， ，
又∵当 时对应的 的整数值有4个，
∴ ，
若 ，当 时， ，
又∵当 时对应的 的整数值有4个，
∴ ；
（3）解：若 ，
∵抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ，
∴ ， ．
∴
∴ ．
若 ，
∵抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ，
∴ ， ．
∴
∴ ．综上，当 或 时，抛物线与 轴交于不同两点 ， ，且 ．
【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】
【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数 （ ）的图象关于直线 对
称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若抛物线与x轴交于 ， 两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与 轴的交点，能根据所给函数图象得出 ， ，
的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出 ， 之间的等量关
系，再结合抛物线与 轴的交点情况可解决问题．
【详解】解：由图知开口向下，
，
与 交于正半轴，
，
图象关于直线 对称，，
，
，A选项错误；
若抛物线与x轴交于 ， 两点，
，则 ，故B选项正确；
，
，
由图知，当 时， ，
不成立，故C选项错误；
当 时，有 ，故D选项错误．
故选：B．
1．已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意求出
，即可得到 ，求出抛物线与x轴有两个交点，即可得到
．
【详解】解：设抛物线的函数表达式为 ，
，
当 时， ．由 ①， ②，
① ②得 ，
，则
，
解得 ，
抛物线开口向下，
当 时， ，
抛物线与x轴有两个交点，
．
故选B．
2．二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与x轴的交点为 ，
，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，正确的结论有 ．
【答案】②③⑤
【分析】本题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象及性质与各项系数的关系是解决此题的
关键．根据图象的开口方向、对称轴的位置和与y轴的交点位置即可判断a、b、c的符号，从而判断①；
然后根据对称轴即可求出 的关系，再结合 即可判断②；利用对称性可得当 时和当
时的函数值相同，再结合图象即可判断③；利用二次函数的最值即可判断④；根据对称轴公式、当
时y的符号和c的取值范围即可判断⑤．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在负半轴
∴ ， ， ，
∴ ，故①错误；∵其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，故②正确；
根据对称性可知：当 时和当 时的函数值相同，
由图可知，当 时， ，
∴当 时， ，故③正确；
当 时，y有最小值，此时 ，
∴当 时，
∴ ，故④错误；
由图象可知： ，
解得：
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，故⑤正确．
正确的有②③⑤．
故答案为∶②③⑤．
3．已知关于 的二次函数 ，经过点 ．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；(2)若 时， 时，求 的值；
(3)若 ，当 ，且 时，求证： ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，
熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）直接将点 代入求解即可；
（2）根据题意知 关于对称轴对称，利用对称轴和 求解即可；
（3）由 ，再根据 ， 即可判断 ．
【详解】（1）解：把 带入解析式得： ，
解得： ，
．
（2）解：由题意得： ，即 ，
∴ 对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ 与 关于 对称，
又∵ ，
∴ ，即 ，∴ ．
（3）解：由题意得：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】
【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数 与二次函数 在同一平面直角坐标
系中的大致图像可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想和分类讨论的思想解答．
根据k的取值范围分当 时和当 时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数
的图像与性质判断即可．
【详解】解：对于二次函数，当 时， ，
∴与y轴交于 ，
当 时， ，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在
y轴负半轴；
当 时， ，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在
y轴正半轴，
∴选项C符合题意．
故选：C．
1．一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二
次函数 的图象相比是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不
符合题意；
B、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意．
故选：B
2．“ ”是一款数学应用软件，用“ ”绘制的函数 和 的图象如图所示．
若 分别为方程 和 的解，则根据图象可知a b．（填“ ”“
”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
【详解】解：∵方程 的解为函数图象与直线 的交点的横坐标，
的一个解为一次函数 与直线 交点的横坐标，
如图所示：
由图象可知： ．
故答案为： ．
3．如图，顶点 的抛物线与直线 相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接 ， ．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)点A的坐标是 ，
(2)点B的坐标为
【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上
点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为 的抛物线的解析式为 ，把点A
的坐标代入求出a即可；（2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标．
【详解】（1）由 ，
得当 时， ，
所以点A的坐标是 ，
设顶点为 的抛物线的解析式为 ，
点 在抛物线 上， ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）联立 ，
得： ， ，
点A的坐标是 ，
点B的坐标为 ．
【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】
【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数 的图象经过点 ，当 时， 有最
大值 ，最小值 ，则 的取值范围应是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数 的图象经过点 ，
可以求得 的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质， 时， 有最大值 ，最
小值 ，即可得到 的取值范围．【详解】解： 二次函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线 ，当 时，该函数取得最大值 ，
当 时， 有最大值 ，最小值 ，当 时， ，
根据对称性可得 时， ，
，
故选：C．
1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）已知点 、 是二次函数 图象上的两个
点，若当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线 ，再根
据开口向上， 时，y随x的增大而减小，可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵点 、 是二次函数 图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线 ，且开口向上，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线 或在其右侧，
，
解得 ，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线 或在其右侧是解决
本题的关键．
2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ，（1）若对于 ， ，有 ，则
；（2）若对于 ， ，都有 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 3
【分析】（1）根据对称轴 ，结合 ， ，有 ，即可作答；
（2）对于 ， ，都有 ，则根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出 ，
的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
【详解】解：（1）∵ ， ，有 ，
∴根据对称轴 ，即 ，
（2）∵对于 ， ，都有 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 离对称轴更近，
则 ， 的中点在对称轴的右侧，
∴
∵
即 ，故答案为：3，
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ．
(1)若对于 ，有 ，求t的值；
(2)若对于 ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，根据对
称性求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于 有 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线的对称轴为 ．
∴ ；
（2）解：∵当 ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，
∴ ，
即 ．
【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例8】（2024·山东济南·二模）已知二次函数 的图象经过点 ， ，且满足
．当 时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在 之间、确定函数的最大值是 时所对
应的函数值，函数的最小值是 时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数 的图象经
过点 ， 两点，得出对称轴为直线 ，即可得出对称轴在 之间，根据函数的最
大值是 时所对应的函数值，函数的最小值是 时所对应的函数值，求解即可．
【详解】解： 二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
图象开口向上，对称轴为直线
∵对称轴为直线 ，
∴
，
∴
，
当 时，函数的最小值是 时所对应的函数值，
且为函数的最大值是 时所对应的函数值，
∴ ，
∴ ，代入 ，得
故选：C．
1．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．抛物线的对称轴是直线
C．当 时， 的值随 值的增大而减小
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据图象与y轴交点即可判定 ，再利用二次函数的
对称性和与 轴交点求出对称轴 ，根据图象即可判断当 时，图象位于对称轴右侧，
随 的增大而减小，再由 当 时，可得 ．
【详解】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，A选项的结论不正确，不符合题意；
二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
∴对称轴为 ，故B选项的结论不正确，不符合题意；
由图象知：当 时，图象位于对称轴右侧， 随 的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意；
当 时， ，故D选项的结论不正确，不符合题意．故选：C．
2．已知抛物线 经过点 和点 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定 ，即
可得到 ，由抛物线 经过点 和点 得到
，结合 即可确定 的最小值．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴点 和点 关于对称轴对称， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 时，t有最小值为： ．
故答案为： ．
3．已知：二次函数 （m是常数）
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
(2)若该二次函数图象与直线 交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为 ，
，求证： 是个定值．
(3)已知点 ， ，若该二次函数图象与线段 只有一个交点，求 的取值范围．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 或
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）利用根与系数的关系即可判断；
（3）求得直线 的解析式为 ，即可得到抛物线的顶点在直线 上，分别求得抛物线过 、
点时的 的值，结合图象即可求得 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
抛物线顶点 坐标为 ．
（2）证明：由题意可知， ， 是方程 ，即 的两个
根，
， ，
．
是个定值．
（3）解：设 所在直线解析式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 解析式为 ．
抛物线顶点 坐标为 ，
抛物线的顶点在直线 上，
当 时，抛物线与线段 有1个交点，当 时，抛物线与线段 有2个交点，
将 代入 得 ，解得 ， ，
时，抛物线与线段 有1个交点，
将 代入 得 ，
解得 ， ，
时，抛物线与线段 有1个交点，
综上所述，该二次函数图象与线段 只有一个交点， 的取值范围是 或 ．
【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】
【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线 与x轴只有一个公共点．
且过点 ， ．则n的值为（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，待定系数法等，解题的关键是由题意 ，得 ，又
抛物线过点 ， ，可知 、 关于直线 对称，所以 ， ， ， ，把
点 坐标代入 ，化简整理即可解决问题．
【详解】解：由题意 ，
，
又 抛物线过点 ， ，
、 关于直线 对称，
， ， ， ，
把点 坐标代入 ，，
，
．
故选：B．
1．设函数 （ ，m，n是实数），当 时， ， 时， ．则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方
向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线 ，再根据选项中所给出的m的值都a
的正负依次进行判断即可．
【详解】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线 ．
当 时，抛物线的对称轴为直线 ，
因为 和 在抛物线上，
则点 关于直线 的对称点为 ，
因为 ， ，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，即 ．故A不符合题意．
当 时，抛物线的对称轴为直线 ，
所以点 关于直线 的对称点为 ，
因为 ，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即 ．故B选项不符合题意．
当 时，抛物线的对称轴为直线 ，所以点 关于直线 的对称点为 ，
因为 ，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即 ．
故C选项符合题意．
当 时，抛物线的对称轴为直线 ，
因为 ，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，即 ．故D选项不符合题意．
故选：C．
2．已知 ， 是二次函数 的图象上的两点，则当 时，二
次函数的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的对称性得出 ，然后
将其代入函数关系式即可求得二次函数的值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 是二次函数 的图象上两点，
∴ 关于对称轴 对称，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得，
，
故答案为： ．3．在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上的两点．
(1)直接写出一个a的值，使得 成立；
(2) 是抛物线 上不同于M，N的点，若对于 ，都有 ，求a的取值范
围．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质：
（1）根据二次函数的对称性可得到结果；
（2）根据该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，分情况讨论即可；
掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据抛物线 可得，
该抛物线开口向上，对称轴为： ，
若使得 成立，
则M点要比N点离对称轴比较近，或者M点和N点都在对称轴右侧，
， 中点的横坐标为： ，
∴ ，
∴ （答案不唯一）；
（2）解：∵二次函数解析式为 ，
∴函数图像开口向上，对称轴为 ，
①当 时，
∴点P，M，N均在对称轴右侧，
∴由二次函数性质，必有 ，不符题意舍去；②当 时，
∵点P在对称轴左侧，设P点关于 的对称点为 ，
则点 的坐标为 ，
∵点 ，M，N在对称轴右侧，且 ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，
∵点P和M在对称轴左侧，由函数性质，有 ，
∵点 ，N在对称轴右侧，且 ，
∴ ，
∴ ；
④当 时，
∴点P，M，N均在对称轴左侧，
∴由二次函数性质，必有 ，不符题意舍去；
由①②③④可知， ．
【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】
【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线 ： 与抛物线 ：
关于点 成中心对称，若当 时， 有最大值为4，则m的
值为（ ）A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解
题的关键.求出抛物线 的顶点是 ，得到 关于 的中心对称点为 ， ，分
和 两种情况分别进行解答即可．
【详解】解：∵
∴抛物线 的顶点是 ，
设 关于 的中心对称点为 ，
则 ，
解得 ，
∴ 关于 的中心对称点为 ，
∴ ，且抛物线 ： 与抛物线 ： 开
口方向相反，形状相同，即 ，
当 时，抛物线 开口向上，对称轴为直线 ，
∵当 时， 有最大值为4，且 ，
∴当 时， ，解得 ，
∴ ，
当 时，抛物线 开口向下，对称轴为直线 ，
∵当 时，而
∴当 时，有最大值，最大值为 ，
显然，不符合题意，综上可知， ，
故选：C．
1．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式： 是常数， ，
解题的关键是数形结合．
求出 ，设其解析式为交点式得到 ，代入 求解即可判断．
【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与 轴的交点为 ，
根据图象夹角为 ，
∴ ，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
将 代入可得 ，
解得 ，∴抛物线的解析式为 ，
故选：C．
2．设抛物线 过 ， ， 三点，其中点 在直线 上，且点 到抛物
线的对称轴的距离等于 ，则该抛物线对应的函数表达式为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定
出对称轴并讨论求解．根据点 的位置分情况确定出对称轴，然后设出抛物线解析式，再把点 、 的坐
标代入求解即可．
【详解】解： 点 在直线 上，且点 到抛物线的对称轴的距离等于 ，
抛物线的对称轴为直线 或 ，
当对称轴为直线 时，
设抛物线对应的函数表达式为 ，把点 ， 的坐标分别代入，得 ，
解得： ，
此时抛物线对应的函数表达式为 ；
当对称轴为直线 时，设抛物线对应的函数表达式为y=a(x−2) 2+k，把点 ， 的坐标分
别代入，得 ， 解得： ，
此时抛物线对应的函数表达式为 ；
故答案为： 或 ．
3．已知抛物线 与直线 相交于 两点，且抛物线经过点 ，
求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的解析式及一次函数的定义，先求出 ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
，
将 ， 代入 ，
则 ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
【经典例题十一 二次函数图象的平移】
【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线 的抛物线
向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移 个单位长度 B．向上平移 个单位长度
C．向上平移 个单位长度 D．向上平移 个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，利用对称轴求得 ，可得抛物线解析式为
，得到抛物线的顶点坐标为 ，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好
有两个交点可得平移后的抛物线顶点在 轴上，据此即可求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，
∴平移后的抛物线顶点在 轴上，
∴抛物线应向上平移 个单位长度，
故选： ．
1．已知抛物线 与 轴相交于点 ， （点 在点 左侧），顶点为 ，平移该抛物线，使
点 平移后的对应点 落在 轴上，点 平移后的对应点 落在 轴上，则平移后的抛物线解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移；
首先求出点A、B、M的坐标，然后根据平移后点 落在 轴上，点 落在 轴上得出平移方式，再根据二次函数图象的平移规律得出答案．
【详解】解：令 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 平移后的对应点 落在 轴上，点 平移后的对应点 落在 轴上，
∴抛物线 向上平移1个单位长度，向左平移1个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
故选：B．
2．如图，抛物线 与 轴相交于点 ，与过点 平行于 轴的直线相交于点 点 在第一象
限 抛物线的顶点 在直线 上，对称轴与 轴相交于点 平移抛物线，使其经过点 ， ，则平移后
的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据二次函数图像的对称性确定出顶点 的纵坐标是解题
的关键，解题的关键是根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数；
先求出点 的坐标，再根据中位线定理可得顶点 的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出 的值，再求出点 的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为 ，把点 、 的坐标代入
进行计算即可得解．
【详解】解：令 ，则 ，
点 ， ，
抛物线的对称轴为 ，直线 的解析式为 ，
抛物线的顶点 在直线 上，
，
顶点 的纵坐标为 ，
即 ，
解得 ， ，
由图可知， ，
，
，
对称轴为直线 ，
点 的坐标为 ，
设平移后的抛物线的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
所以 ．
故答案为： ．3．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)若抛物线 是由抛物线 经过平移得到的，求抛物线 的解析式．
(3)在（2）的条件下，已知点 ， ， 在抛物线 上，比较 ， ， 的大
小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数对称轴，二次函数的平移规律，二次函数与坐标轴的交点情况，二次函数的
图像与性质，解题的关键在于掌握二次函数的图像与性质．
（1）根据 的对称轴为 求解，即可解题；
（2）根据题干和函数的平移规律，得到 、 的值，即可求得抛物线 的解析式；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴得到“离对称轴越远，函数值越小，”，根据点的横坐标判断其
与对称轴的距离，即可解题．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为 ；
（2）解： 直线 与 轴交于点 ，
，
抛物线 经过点 ，
，
抛物线 是由抛物线 经过平移得到的，，
抛物线的解析式为 ；
（3）解： ，对称轴为 ，
离对称轴越远，函数值越小，
点 ， ， 在抛物线 上，
又 ， ， ，且 ，
．
【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】
【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当 时，其对应的函
数值最大为 ，则n的值为（ ）
A． 或7 B．1 或7 C．4 D． 或4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分 ， 和
三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，对称轴为直线 ，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当 时，则 时，函数值y有最大值，
故 ，
解得： （舍去）；
当 时， 的最大值为 ，不符合题意；
当 时，则 时，函数值y有最大值，故 ，
解得： （舍去）， ．
综上所述：n的值为 或7．
故选：A．
1．已知函数 ，当 时，函数值随x增大而增大，且对任意的 和
相应的函数值 总满足 ，则实数a不可能的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，得到 ， 时的最大值与最小
值的差小于等于16即可，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴函数图象的对称轴为 ，开口向下，
∵ 时，函数值随x增大而减小，
∴ ；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时，函数值最大为： ，当 时，函数取得最小值为： ，
∵对任意的 和 相应的函数值 总满足 ，
∴ ，当 时，则： ，
解得： 或 ，
∴ 的解集为： ，
∴ ，
故 不可能为6．
故选：D．
2．当 时，二次函数 的最小值是 ，则 ．
【答案】1或
【分析】本题主要考查二次函数的性质与二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键．先求解
抛物线的对称轴，判断抛物线的开口方向，再分三种情况讨论：①当 ，即 时，②当 ，
即 ，③当 ，即 ，再进一步解答即可；
【详解】解： 的对称轴为直线 ， ，抛物线的开口向上，
①当 ，即 时，则 时， ，
∴ ，
解得： ，不符合题意，舍去，
②当 ，即 时，则 时， ，
∴ ；
解得： ，
③当 ，即 时，则 时， ，
∴
∴ ，解得： （舍去）．
综上所述， 或 ．
故答案为：1或
3．已知关于x的二次函数 的图象过点 ， ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当 时，y的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数的图象
和性质．
（1）将 、 代入 求解．
（2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得 时，y取最小值， 时y取最大值，进
而求解．
【详解】（1）解：将 、 代入 得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
∴ 时，y最小值为 ，
∵ ，∴ 时， 为最大值，
∴当 时，y的最大值与最小值的差为 ．
【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】
【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数 的图象 如图所示，点 是坐标系
的原点，图象 与 轴交于点 ，则下面结论：
① ；
②关于 的方程 的解是 ， ；
③当 时， ；
④当 时， ；
⑤ 周长的最小值是 ；
正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】把 代入 ，可判断①，根据于 轴交点和对称轴，可确定与 轴另一交点，从
而确定方程 的解，可判断②，把 、 分别代入，可判断③④，作点 关于直线
的对称点 ，计算 的长，即可求解，
本题考查了，二次函数与坐标轴交点，根据二次函数图像确定方程的根，求最短路径，解题的关键是：熟
练掌握二次函数的图像性质．【详解】解：把 代入 ， ，
解得： ，二次函数解析式为： ，故①正确；
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
而抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴关于 的方程 的解是 ， ，故②正确，
当 时， ， ，故③正确，
当 时， ，故④正确，
作点 关于直线 的对称点 ，如图，
连接 交直线 于 点，
∵ ，
∴ ，
∴此时 的值最小，
∴此时 周长有最小值，
∵ ，
∴ 周长的最小值为 ，故⑤正确，
综上所述，①②③④⑤正确，
故选： ．1．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离
相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即
PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得
到PE=PF．
2．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物
线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．
【答案】 +5
【分析】先连接AP、AC、BC，根据两点之间，线段最短得到△APC周长最小=BC+AC，根据二次函数解
析式，求出A、B、C三点坐标，用勾股定理求出BC、AC即可.
【详解】解：如图，连接AP、AC、BC，
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴△APC周长=AP+PC+AC=BP+PC+AC,
∴当BC与对称轴交点则为点P时，
△APC周长=BP+PC+AC=BC+AC最小，
抛物线y＝- x2+ x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝-2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，在Rt△AOC中，有AC＝ ＝ ，
在Rt△BOC中，有BC＝ ＝5，
∴△APC的周长的最小值为： +5，
故答案为 +5．
【点睛】本题是二次函数动点问题中的最短路径问题，用对称解决最短路径问题是解题的关键.
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴的正半轴上， 在x轴的正半轴上，
的平分线交 于点D，E为 的中点．已知 ，二次函数 的图象经过A，C
两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形 ，求四边形 周长的最
小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法，二次函数图像的图像和性质，勾股定理以及利用轴对称求最短路径，
熟练掌握二次函数图像的图像和性质是解题的关键．
（1）将 代入函数解析式即可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路径的相关概念，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交x轴于F点，交y轴于G点，得到 即可求出答案．
【详解】（1）解：将 代入二次函数 ，得：
，
解得 ，
故二次函数的解析式为 ；
（2）解：如图，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交x轴于F点，
交y轴于G点，
，
，
由图像可知， ，
E为 的中点，
E点坐标为 ，
的平分线交 于点D，
，
故得 ，
由勾股定理，得
，
，．
【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】
【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．
本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．
【详解】A. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不
一致，不符合题意；
B. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一致，不
符合题意；C. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一致，不
符合题意；
D. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ； 一致，符合
题意，
故选D.
1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于 两点，则
函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程
有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解： 一次函数 与二次函数 的图象相交于 两点，
由图可得：一元二次方程 有两个不相等的正实数根，
函数 的图象与 轴的正半轴有两个交点，
故选：A．
2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 （ 是常数，且 ）经过点
．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）若一次函数 的图象与二次函数 的图象的交点坐标分别是 ，
，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】 4
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，求出 的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解；
（2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出 ，然后表示出 ，求出 的表达式，再将表达
式化为顶点式，求二次函数的最值即可．
【详解】解：（1）将点 代入抛物线 ，
可得 ，解得 ，
∴该抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立，可得 ，
整理可得 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为4．
故答案为：（1） ；（2）4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数
与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知二次函数
(1)当二次函数经过点 时．
①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；
②一次函数 的图象经过点A，点 在一次函数． 的图象上，点 在二
次函数 的图象上． 若 ，求n的取值范围．
(2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中 且满足
，直接写出m的取值范围．【答案】(1)① ， ；② 或
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所
学知识是解题的关键．
（1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②
先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出 ， ，根据 ，得到
，令 ，利用二次函数的性质求出当 或 时， ，则当
或 时， ；
（2）当 时，解得 ， ，根据 得到
，得到 ，令 ，利用二次函数的性质
求出当 时， ，则当 时， 且满足 。
【详解】（1）解：①∵二次函数 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴二次函数的顶点坐标为 ；②∵一次函数 的图象经过 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
∵点 在一次函数 的图象上，点 在二次函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
在 中，当 时，即 ，
解得 或 ，
∴由函数图象可知，当 或 时， ，
∴当 或 时， ；
（2）解；在 中，当 时，
解得 ， ，∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
在 中，当 时，即 ，
解得 或 ，
∴由函数图象可知，当 时， ，
∴当 时， 且满足 ；【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】
【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 过点 ， 两点，若
， 时，y的最大值为 ，则t的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线 过点 ， 两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根
据 ， 时，y的最大值为 即可求得 的值．
【详解】解：∵抛物线 过点 ， 两点，
，
解得： ，
∴抛物线 即为 ，
它的开口向下，对称轴是直线 ，
当 时， 有最大值 ，
若 ，则 ，∵当 时，y的最大值为 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
1．（2024·福建三明·三模）已知点 ， ， ， 都在二次函数
（ ， ， 为常数，且 ）的图象上，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得 ， ， ，
，再根据 ，求出 ，然后分 和 两种情况讨论即可求解，熟练
掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】∵二次函数 过点 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，即有 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，解得： ，
当 时， ，
∴ ，解得： ，
综上可知： 的取值范围是 或 ，
故选： ．
2．（2024·福建厦门·二模）抛物线 经过 ， 两点，若 ，当
时，都有 ，则b的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得 ，即 ，
再结合 ，进一步解答即可．
【详解】解：∵抛物线 经过 ， 两点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线 ： 的图像与x轴交于点 ，与y轴交于点
，点 为y轴上一点．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且 ， 与x轴交于点D，求点E的横坐标；
(3)点P是 上的一个动点，连接 ，取 的中点 ，设点 构成的曲线是 ，直线 与 ， 的
交点从左至右依次为 ， ， ， ，则 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3) 为定值，等于1
【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可；
（2）先证明 ，根据等腰三角形三线合一，得到 平分 ，结合 ，推出
，然后在 中利用勾股定理求出 的长度，得到 的坐标，下一步求出直线 的表达
式，联立直线 与抛物线，得到点 的坐标；
（3）设点 ，作 轴于M，作 轴于N，通过 是中位线表示出点 的坐标，然后将
点 代入抛物线 ，得到 的轨迹方程，将 的轨迹方程与 分别与 联立，利用未达定理，得到
， 的值，最后算出 的值．
【详解】（1）将点 ， 代入抛物线 ，
得到 ，解得
抛物线 的解析式为
（2） ， ，
，
又 ，
平分
设 ，则
在 中，，解得，
设直线 解析式为 ，代入点 ，则 ，解得
直线 解析式为
联立抛物线 与直线 ，
得 ， （舍），
点E的横坐标为 ；
（3） 为定值，理由如下：
设点 ，作 轴于M，作 轴于N，则 ，
又 为 中点，
为 中位线， 为 中点
，
，
将点 代入抛物线 ，
化简得，
设 ， ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，
则
由 得，
由 得，
定值．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，
韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
1．将抛物线 向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．由平移的规律即可求得答案．
【详解】解：将抛物线 向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的
函数解析式为 ，
即 ，
故选：A
2．已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线 ，则当
时， 的值随 值的增大而减小，由于 时， 的值随 值的增大而减小，于是得到 ．
【详解】解： 二次函数 的对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时， 的值随 值的增大而减小，
又 当 时， 的值随 值的增大而减小，
．
故选：B．
3．二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分 和 两种情况根据二次函数与一
次函数图象分析判断即可得解．
【详解】解：对称轴为直线 ，
时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点 ，一次函数 经过第
一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点 ，
时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点 ，一次函数 经过第
二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点 ．
故选：D．
4．已知抛物线 上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 0 3 …
①物线 的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线 ；③方程
的根为0和2；④当 时，x的取值范围是 或 以上结论中其中的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数
的图象和性质．根据表格中的 、 的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图象
与性质求解可得．
【详解】解：抛物线的解析式为 ，
将 、 、 代入得：，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
由 知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，故②错误；
当 时， ，解得 或 ，
方程 的根为0和2，故③正确；
当 时， ，由函数图象解得 或 ，故④正确；
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．若 ， ， 为
抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛
物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，解题关键是掌握
二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
【详解】解： ，
∵
抛物线对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
∴
， ，
∵
两点位于对称轴左侧，点 位于对称轴右侧，且点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，点
∴ 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，，
∴
解得： ，
故选： ．
6．已知四点 ， ， ， ，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二
次函数图象的对称轴为（ ）
A．x B．x C．x D．x
【答案】A
【分析】根据点的坐标特点判定抛物线经过 ， ， 三点，然后根据待定系数法求得抛物
线的解析式，根据对称轴的公式即可求得．本题考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式，
根据点的坐标特点判定抛物线经过 ， ， 三点是解题的关键．
【详解】解： 点 ， ，
设 的解析式为
则
∴
∴ 的解析式为
当 时，则
∴ 在直线 上，
∴点 ， ， 三点经过
抛物线不会经过 、 、 三点，
根据点的特点，抛物线经过 ， ， 三点，
设抛物线的解析式为 ，，
解得 ，
对称轴 ．
故选：A．
7．已知二次函数 ，当 时，y的最小值为 ，则a的值为（ ）
A． 或4 B．4或 C． 或4 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的
性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
分两种情况讨论：当 时， ，解得 ；当 时，在 ， ，解得 ．
【详解】解： 的对称轴为直线x=2，
顶点坐标为 ，
当 时，在 ，函数有最小值 ，
∵y的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 ，当x=−1时，函数有最小值，
∴ ，
解得 ；
综上所述：a的值为4或 ，
故选：B．8．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列
五个结论：① ；② ；③ 若 且 ，则 ；④ 当 是
等腰直角三角形时，则 ；⑤ 若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，则
．其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正
确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法．
由图可知： ，即可判断①；根据 ， ，得出抛物线对称轴为直线 ，
则 ，当 时， ，即可判断②；设抛物线过点(x ,y )，(x ,y )（
1 1 2 2
），由 得到 ，即点(x ,y )，(x ,y )关于对称轴 对称，即可判断③；
1 1 2 2
连接 ，令对称轴与y轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出 ，则 ，
设该抛物线的解析式为 ，把 代入得： ，求出a的值，即可判断④；
根据 ， 是一元二次方程 的两个根，得出抛物线与直线 相交于 ，即可判断⑤．
【详解】解：由图象可知：
∵开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线 交 轴于 ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
当 时， ，
整理得： ，故②不正确；
设抛物线过点(x ,y )，(x ,y )（ ），
1 1 2 2
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点(x ,y )，(x ,y )关于对称轴 对称，
1 1 2 2
∴ ，故③正确；
连接 ，设对称轴与x轴相交于点E，∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
设该抛物线的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，故④正确；
∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴抛物线与直线 相交于 ，
∵抛物线 交 轴于 ， ，
∴ ，故⑤不正确；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C
9．抛物线的对称轴为直线 ， 的最大值为 ，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解
析式为 ．【答案】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用顶点式设 ，再根据抛物线与 的图
象开口大小相同得a=−1，代入即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：设这条抛物线解析式为 ，
∵抛物线与 的图象开口大小相同，
∴a=−1，
∴ ，
故答案为： ．
10．已知二次函数 的图象如图，其对称轴 ，给出下列结果：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的序号是
【答案】①④⑤
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次
函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与
轴的交点判断 与0的关系，然后根据对称轴 计算 与0的关系；再由根的判别式与根的关系，
进而对所得结论进行判断．
【详解】解： 图象和 轴有两个交点，
，
， ①正确；
从图象可知： ， ， ， ，
， ②错误；， ③错误；
时， ，
， ④正确；
时， ，
，
把 代入得： ，选项⑤正确；
故答案为：①④⑤．
11．若关于x的一元二次方程 的一根 ，另一根 ，则抛物线
的顶点到x轴距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线与 轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与 轴的交点之间的关系是
解答此题的关键．
先根据关于 的一元二次方程 的一根 ，另一根 求出 的取值范围，再得出抛
物线 顶点的纵坐标表达式，把 的取值代入即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一根 ，另一根 ，
令
则 ，
即 ，
解得， ．
∵抛物线 的顶点纵坐标为 ，当 时， ；
当a 时， ，
∵ ，
∴顶点到x轴距离的最小值是 ．
故答案为： ．
12．抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为 ．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为
t，作 轴，且点Q位于一次函数 的图像上．当 时， 的长度随t的增大而增大，则t
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将顶点坐标代入抛物线表达式中求解，求得抛物线和直线的交点坐标，设 ， ，
分两种情况，利用坐标与图形性质，用 表示出 ，根据二次函数的性质分别求解即可；
本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
【详解】解：由题意，将 代入 中，
得 ，
解得 ，
得抛物线的表达式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
抛物线 与直线 的交点坐标为 ，(0,4)，设 ， ，
当 时， ，
当 时， 的长度随 的增大而减小，不符合题意；
当 时， ，
∴当 时， 的长度随 的增大而增大，当 时， 的长度随 的增大而减小，
故答案为： ．
13．已知抛物线 与直线l交于点 ， （ ）．若点P 在抛物线上且在
直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，熟练配合函数图像将复杂问题直观
化是解决问题的关键．先求出点 和点 的坐标，确定直线l的函数表达式，配合两个函数的图象求解即
可．
【详解】解：分别将 、 代入 得：
，
解得： ， （舍）
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则解得
∴直线l的表达式为： ，
，顶点为 ，开口向上，两个函数图象如图所示，
由图象可知，点P 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围
为 ，
故答案为：
14．如图，抛物线 交 轴正半轴于点 ，过点 作 轴交抛物线于另一点 ，点 在
轴上，点 在抛物线上．当四边形 是菱形时，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得 ， ，由二次函数的性质得直线 是抛物线的对称轴，由 得 ，即可求解；掌握菱形的性质和二
次函数的性质，由性质得到直线 是抛物线的对称轴是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 交 于 ，
当 时， ，
，
四边形 是菱形，
，
，
轴，
轴，
，
，
直线 是抛物线的对称轴，
抛物线
，
，
，
，解得： ；
故答案： ．
15．画出函数 的图象，根据图象，解决下列问题：
（1）当 时，x的取值范围是 ．
（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．
【答案】函数图象见解析；（1） ；（2）
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识．
根据函数解析式求得与 轴的交点坐标，与 轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函
数图象，
（1）根据函数图象直接求解；
（2）根据函数图象直接求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与 轴的交点为(1,0)， ，
令 ，解得： ，
∴抛物线与 轴的交点为(0,3)，
∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线(0,3)关于对称轴对称的点为 ，
函数 的图象，如图所示，
（1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 ．
故答案为： ．
（2）当 时， ，
当 时， ，
又∵抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ，
故答案为：
16．已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线 交抛物线于点 ， ， 为正数．若点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 重
合），分别求出点 横坐标与纵坐标的取值范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为 ，顶点坐标为(2)点 横坐标的取值范围为 ，纵坐标的取值范围为
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次
函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）待定系数法即可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，即可直接得到
抛物线的顶点坐标；
（2）把 ， 代入 ，可求出 ，求出点 横坐标取值范围，在利用二次函数的最
值即可求纵坐标的取值范围；
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
配方得 ，
∴顶点坐标为 ．
（2）解：根据题意可得，当 时， ．
当 时， ，
解得 ， ．
∵ 为正数，
∴ ．
∴ ， ，
∵点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 重合）， ，
∴抛物线开口向上，当 时函数取得最小值 ，
∴ ，
∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
∵当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴点 横坐标的取值范围为 ，纵坐标的取值范围为 ．
17．已知关于x的二次函数 ，其图象交y轴于点 ．
(1)若它的图象过点 ，求t的值；
(2)如果 ， ， 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
【答案】(1)1；
(2) 或 ；
【分析】（1）本题考查待定系数法求解析式，将点带入求解即可得到答案；
（2）本题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称性得到m与t的关系，将点C坐标代入函数解析式，
结合不等关系列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵抛物线 交y轴于点 ，
∴ ，
∵将点 代入函数解析式 得，
∴ ，解得 ；
（2）解：∵ ， 两点纵坐标相等，
∴根据二次函数图像对称性可知 ，即 ，
将点C坐标代入函数解析式，得 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
∵抛物线开口向上， ，
∴点B，A到抛物线的对称轴距离比点C近，
①如图1，当 时，即 时，只需满足 ，此时整理为 ；
②如图2，当 时，即 ，则 ，只需满足 ，此时整理为 ；
综上，m的取值范围是 或 ，
18．平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明
理由；
(3)如图，点M是直线 上的一个动点，连接 ，是否存在点M使 最小，若存在，求出点M
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ；(2)存在， ， ， ， ；
(3)存在点M使 最小，
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的
最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将 代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标；
（2）设 ，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可；
（3）作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，求出直线 的解析式，直线 的
解析式，联立方程即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，
即 ，
解得 ，
，
令 ， ，
令 ， ，
解得 ，
；
（2）解：存在点P，使 是直角三角形，
，对称轴为直线 ，
设 ，
，，
，
，
①当 时， ，
，
解得 ；
②当 ， ，
，
解得 ；
③当 ， ，
，
解得 或 ，
综上所述， 或 或 或 ；
（3）解：存在
作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
由对称性可知， ，
，
当 三点共线时， 有最小值，
，
，
，
由对称性可知， ，
，
，设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
，
解得 ，
故直线 解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ．
故 ．
19．若二次函数 与 的图像关于点P（0，1）成中心对称，我们称 、与 互为“中心对称”函数．
(1)二次函数 的“中心对称”函数的解析式为______；
(2)已知二次函数 ，将其顶点向上平移两个单位后在它的“中心对称”函数图像上，用含
的式子表示 ；
(3)在（2）的条件下，当 时，二次函数 最小值为2，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、点的平移、新定义等，综合性强，难
度适中．
（1）由新定义即可求解；
（2）求出“中心对称”函数的表达式为： ，将 ，代入上式得：
，即可求解；
（3）由 时，得到 ，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解： ，
则该函数的顶点坐标为： ，
则该顶点关于(0,1)的对称点为 ，
则“中心对称”函数的解析式为： ，
故答案为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，则顶点坐标为： ，该点向上平移2个单位得到 ，
则“中心对称”函数的顶点坐标为： ，
则“中心对称”函数的表达式为： ，
将 ，代入上式得： ，
解得： ；
（3）解： ，
∵ ，
当 时，即 ，
当 时，
在 时，
则 ，函数取得最小值，即 ，
解得： ；
当 时，
同理可得： 时，函数取得最小值，即 ，
解得： （舍去）；
综上， ．
20．综合与探究
如图所示，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
且 ，C(0,−3)；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2．(1)求二次函数及直线 的表达式；
(2)点S是线段 上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段 长度的最大值；
(3)在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使 的面积有最大值，若存
在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数解析式为 ；直线 的表达式为
(2)线段 长度的最大值是
(3)存在， 的最大面积是 ，此时点P的坐标为
【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点S的横坐标为m，线段 长度为l，则 ，当 ， 有最大值，求出即可；
（3）过点P作y轴的平行线交直线 于Q点，连接 ， ，则点P的坐标为 ，点Q的坐
标为 ，可得 ，当 ，S有最大值，求出结果即可；
本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：将点 ，C(0,−3)分别代入二次函数 得，解得，
二次函数解析式为
当 时， ，
点 ；
设直线 的表达式为 ，将点 ， 分别代入得，
解得
直线 的表达式为 ；
（2）如图设点S的横坐标为m，线段 长度为l，
则点S的坐标为 ，点T的坐标为 ，
当 ， 有最大值，最大值是
线段 长度的最大值是 ；
（3）存在．如图过点P作y轴的平行线交直线 于Q点，连接 ， ，
设点P的横坐标为t， 的面积为S，
则点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
当 ，S有最大值，最大值是
的最大面积是 ，此时点P的坐标为
