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第二十二章 二次函数(B 卷·能力提升练)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)
1．(3分)(2022•荆门)抛物线 ， ， 为常数)的对称轴为 ，过点 和点 ， ，
且 ．有下列结论：① ；②对任意实数 都有： ；③ ；④若 ，
则 ．其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线 ， ， 为常数)的对称轴为 ，过点 且 ，即可判断
开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线
的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【解答】解： 抛物线 ， ， 为常数)的对称轴为 ，过点 ，且 ，
抛物线开口向下，则 ，故①正确；
抛物线开口向下，对称轴为 ，
函数的最大值为 ，
对任意实数 都有： ，即 ，故②错误；
对称轴为 ， ．
当 时的函数值大于0，即 ，
，故③正确；
对称轴为 ，点 的对称点为 ，
抛物线开口向下，
若 ，则 ，故④错误；
故选： ．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二
次函数的性质．
2．(3分)(2022•兰州)已知二次函数 ，当函数值 随 值的增大而增大时， 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
时， 随 增大而增大，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．(3分)(2022•广州)如图，抛物线 的对称轴为 ，下列结论正确的是
A．
B．
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时， 随 的增大而减小
【分析】根据图象得出 ， 的符号即可判断 、 ，利用二次函数的性质即可判断 、 ．
【解答】解： 图象开口向上，
，故 不正确；
图象与 轴交于负半轴，，故 不正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大，
故 正确， 不正确；
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4．(3分)(2022•通辽)在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向
下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
A． B． C． D．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的
抛物线的解析式是 ，即 ．
故选： ．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数
解析式．
5．(3分)(2022•郴州)关于二次函数 ，下列说法正确的是
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当 时， 随 的增大而增大
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【解答】解： 中，
的系数为1， ，函数图象开口向上， 错误；函数图象的顶点坐标是 ， 错误；
函数图象开口向上，有最小值为5， 错误；
函数图象的对称轴为 ， 时 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
6．(3分)(2022•潍坊)抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为
A． B． C． D．4
【分析】抛物线与 轴有一个交点， 的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解： 抛物线 与 轴只有一个公共点，
方程 有两个相等的实数根，
△ ，
．
故选： ．
【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
7．(3分)(2022•铜仁市)如图，若抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，若
．则 的值为
A． B． C． D．
【 分 析 】 设 ， ， ， ， ， 由 可 得 ， 从 而 可 得，由一元二次方程根与系数的关系可得 ，进而求解．
【解答】解：设 ， ， ， ， ，
二次函数 的图象过点 ，
，
， ，
，
，
，
即 ，
令 ，
根据根与系数的关系知 ，
，
故 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数 与关于 的方程 之间的相互转换，
同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
8．(3分)(2022•哈尔滨)抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
9．(3分)(2022•包头)已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值等于
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由题意得 ，代入代数式 可得 ，故此题的最小值是5．
【解答】解： ，
，
，
代数式 的最小值等于5，
故选： ．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确
变形、计算．
10．(3分)(2022•荆门)抛物线 上有两点 ， ， ， ，若 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解： 抛物线 上有两点 ， ， ， ，且 ，
，或 或 或 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题(共9小题，满分27分，每小题3分)
11．(3分)(2022•黔西南州)如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平
面直角坐标系，铅球行进高度 (单位： 与水平距离 (单位： 之间的关系是 ，则
铅球推出的水平距离 的长是 1 0 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知， 的长就是抛物线与 轴正半轴的交点的横坐标的值，
然后令 求出相应的 的值，即可得到 的长．
【解答】解： ，
当 时， ，
解得 ， ，
，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确 的长就是抛物线与 轴正半轴的交点的横
坐标的值．
12．(3分)(2022•南通)根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成 角的
方向击出，小球的飞行高度 (单位： 与飞行时间 (单位： 之间的函数关系是 ，当飞行
时间 为 2 时，小球达到最高点．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解： ，
，
当 时， 有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．(3分)(2022•盐城)若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则
的取值范围是 ．
【分析】由题意可知 ，根据 的范围即可确定 的范围．
【解答】解： ，
二次函数 的图象开口象上，顶点为 ，对称轴是直线 ，
到 轴的距离小于2，
，
而 ，
当 ， ，
当 时， ，
的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
14．(3分)(2022•长春)已知二次函数 ，当 时，函数值 的最小值为1，则 的值为
．
【分析】函数配方后得 ，当 时， ，可得 ，因
为 ，所以 时，函数值 的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解： ，
图象开口向下，顶点坐标为 ，
根据题意，当 时，函数值 的最小值为1，
当 时， ，
，
，
时，函数值 的最小值为1，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
15．(3分)(2022•聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量
(个 与销售价格 (元 个)的关系如图所示，当 时，其图象是线段 ，则该食品零售店每天销
售这款冷饮产品的最大利润为 12 1 元(利润 总销售额 总成本)．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润 单价商品利润 销售量”列出二次函数关
系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：当 时，设 ，把 ， 代入可得：，
解得 ，
每天的销售量 (个 与销售价格 (元 个)的函数解析式为 ，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 元，
，
，
当 时， 有最大值为121，
故答案为：121．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润 单价商品利润 销售量”的等量关系及二次
函数的性质是解题关键．
16．(3分)(2022•广安)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水
面宽8米．
【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把 代入抛物线解析式得出
，即可得出答案．
【解答】解：以水面所在的直线 为 轴，以过拱顶 且垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，
为原点，由题意可得： 米， 坐标为 ，
通过以上条件可设顶点式 ，
把 点坐标 代入抛物线解析式得，
，
解得： ，
所以抛物线解析式为 ，
当 时， ，
水面下降 米，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关
键．
17．(3分)(2022•福建)已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，抛物线 与 轴交于
， 两点，其中 ．若 ，则 的值为 8 ．
【分析】先判断出了抛物线与 轴的两交点坐标，进而求出 ， ，进而建立方程，求解即可求出答案．
【解答】解：针对于抛物线 ，
令 ，则 ，
，
针对于抛物线 ，
令 ，则 ，
，抛物线 ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
抛物线 ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
抛物线 与抛物线 的开口大小一样，与 轴相交于同一点，顶点到 轴的距离
相等，
，
，
抛物线 与 轴的交点 在左侧， 在右侧，抛物线 与 轴的交点 在左侧，
在右侧，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
，
，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与 轴交点的求法，表示出点 ， ， ， 的坐标是解
本题的关键．
18．(3分)(2022•凉山州)已知实数 、 满足 ，则代数式 的最小值是 6 ．
【分析】根据 得出 ，代入代数式 中，然后结合二次函数的性质即可得
到答案．
【解答】解： ，
，原式
，
，
又 ，
，
，
当 时，原式的值随着 的增大而增大，
当 时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求
解．
19．(3分)(2022•连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入
篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 ，则他距篮筐中心的水平距离 是 4 ．
【分析】根据所建坐标系，水平距离 就是 时离他最远的距离．
【解答】解：当 时， ，
，，
解得： ， ，
故他距篮筐中心的水平距离 是 ．
故答案为：4．
【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
三．解答题(共6小题，满分43分)
20．(6分)(2022•丹东)丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为
30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的
销售数量 (件 与销售单价 (元 件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价 (元 件) 35 40 45
90 80 70
每天销售数量 (件
(1)直接写出 与 的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】(1)设每天的销售数量 (件 与销售单价 (元 件)之间的关系式为 ，用待定系数法可得
；
(2)根据题意得 ，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价
应定为50元；
(3)设每天获利 元， ，由二次函数性质可
得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解答】解：(1)设每天的销售数量 (件 与销售单价 (元 件)之间的关系式为 ，
把 ， 代入得：，
解得 ，
；
(2)根据题意得： ，
解得 ， ，
规定销售单价不低于成本且不高于54元，
，
答：销售单价应定为50元；
(3)设每天获利 元，
，
，对称轴是直线 ，
而 ，
时， 取最大值，最大值是 (元 ，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点评】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
21．(6分)(2022•鄂尔多斯)某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，
第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为
每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，
求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】(1)设第二批每个挂件的进价为 元，则第一批每个挂件的进价为 元，根据题意列出方程，求
解即可；
(2)设每个售价定为 元，每周所获利润为 元，则可列出 关于 的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出 的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：(1)设第二批每个挂件的进价为 元，则第一批每个挂件的进价为 元，
根据题意可得， ，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，且符合实际意义，
．
第二批每个挂件的进价为40元．
(2)设每个售价定为 元，每周所获利润为 元，
根据题意可知， ，
，
当 时， 随 的增大而减小，
，
，
当 时， 取最大，此时 ．
当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
22．(7分)(2022•盘锦)某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量 (个
与销售单价 (元 之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求 与 的函数关系式(不要求写出自变量 的取值范围)；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】(1)直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
(2)根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
(3)根据题意，列出 与 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：(1)设一次函数的关系式为 ，
由题图可知，函数图象过点 和点 ．
把这两点的坐标代入一次函数 ，
得 ，
解得 ，
一次函数的关系式为 ；
(2)根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，
由题意得，
，
解得： ， ，
当天玩具的销售单价是40元或20元；
(3)根据题意，则 ，整理得： ；
，
当 时， 有最大值，最大值为800；
当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的
关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
23．(7分)(2022•青岛)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：
整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元 千克，每多购买1箱，
批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元 千克时，每天可销售1箱；售
价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价 (元 千克)与购进数量 (箱 之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所
获利润最大？最大利润是多少？
【分析】(1)根据当购买1箱时，批发价为8.2元 千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：
，
(2) 设 李 大 爷 每 天 所 获 利 润 是 元 ， 由 总 利 润 每 千 克 利 润 销 量 得
，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种
水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【解答】解：(1)根据题意得： ，
答：这种水果批发价 (元 千克)与购进数量 (箱 之间的函数关系式为 ；
(2)设李大爷每天所获利润是 元，
由题意得： ，
， 为正整数，且 ，
时， 取最大值，最大值为 (元 ，答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函
数性质解决问题．
24．(7分)(2022•贵港)如图，已知抛物线 经过 和 ， 两点，直线 与 轴相
交于点 ， 是直线 上方的抛物线上的一个动点， 轴交 于点 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若 轴交 于点 ，求 的最大值；
(3)若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，请直接写出所有满足条件的点 ，点 的坐标．
【分析】(1)直接利用待定系数法，即可求出解析式；
(2)先求出点 的坐标，然后证明 ，再由二次函数的最值性质，求出答案；
(3)根据题意，可分为两种情况进行分析：当 时；当 时；分别求出两种情况的
点的坐标，即可得到答案．
【解答】解：(1)将 和 ， 代入 ，
，
解得 ，
该抛物线的解析式为 ；
(2)设直线 的解析式为 ，把 和 ， 代入，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
点坐标为 ，
轴， 轴，
，
，
，
，
，
设点 的坐标为 ，则 点坐标为 ，
，
，
，
当 时， 有最大值为 ；
(3)①当 时，
轴， ，
点 纵坐标是3，横坐标 ，
即 ，解得 ，
点 的坐标为 ；轴，
点 的横坐标为2，
点 的纵坐标为： ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
②当 时，
此时 ，
过点 作 于点 ，
，
，
设点 的坐标为 ，则 点坐标为 ，
则 ，
解得： ，
点坐标为 ， ， 点坐标为 ， ，
综上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 或 点坐标为 ， ， 点坐标为 ， ．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角
形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．
25．(10分)(2022•通辽)如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，直线 方
程为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标；
(3)点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．
【分析】(1)求出 、 点坐标，并将其代入 ，即可求解；
(2)过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ， ，由题意可求
，求出 的值即可求解；
(3) 过 点 作 交 于 点 ， 过 点 作 轴 交 于 ， 由 题 意 可 得
，求出 ，用待定系数求出直线 的解析式 ，联立方程
组 ，可求 ， ．
【解答】解：(1)在 中，令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，将 、 两点代入 ，
，
解得 ，
；
(2)令 ，则 ，
解得 或 ，
，
，
，
，
，
过点 作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
，
，
解得 或 ，
点坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， ；
(3)过点 作 交 于点 ，过 点作 轴交于 ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
联立方程组 ，
解得 (舍 或 ，， ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的
方法是解题的关键．
