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专题 09 压轴大题分类练（三大考点）
一．新定义（热点题型）
1．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A
̂(cid:3) ̂(cid:3) PO
重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作 ，即P= ，例如：当
P
PA
点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以̂(cid:3) 1．
P=
1
（1）如图，点P ，P ，P 为数轴上三个点，点P 表示的数是− ，点P 与P 关于原点对称．
1 2 3 1 2 1
4
① ；
^P =
2
②比较 ， ， 的大小 （用“＜”连接）；
^P ^P ^P
1 2 3
1
（2）数轴上的点M满足OM= OA，求 ̂(cid:3) ；
M
3
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知̂(cid:3) 100且̂(cid:3) 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为
P＜ P
．
2．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P
是“点M到点N的k倍分点”．
1
例如：如图，点Q ，Q ，Q 在同一条直线上，Q Q ＝3，Q Q ＝6，则点Q 是点Q 到点Q 的
1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
3
倍分点，点Q 是点Q 到点Q 的3倍分点．
1 3 2
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．
（1）点B是点A到点C的 倍分点，点C是点B到点A的 倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是 ；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．3．知识背景：已知a，b为有理数，规定：f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，例如：f（﹣3）＝|﹣3
﹣2|＝5，g（﹣2）＝|﹣2+3|＝1．
知识应用：
（1）若f（a）+g（b）＝0，求3a﹣5b的值；
（2）求f（a﹣1）+g（a﹣1）的最值；
知识迁移：若有理数a，b，c满足|a﹣b+c+3|＝a+b+c﹣3，且关于x的方程ax﹣2c＝2a﹣cx有无
数解，f（2b﹣4）≠0，求|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|的值．
4．如图，点A、O、C、B为数轴上的点，O为原点，A表示的数是﹣8，C表示的数是2，B表示的
数是6．我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段OC处
产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡
数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记AB为“折坡数轴”拉直后
点A和点B的距离：即AB=AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段的长度．
（1）若点T为“折坡数轴”上一点，且TA+TB=16，请求出点T所表示的数；
（2）定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动
速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速
度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点 P出
发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下
坡到点O，然后再沿OA方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t
秒，在移动过程中：
①点P在第 秒时回到点A；
②当t＝ 时，PQ=2PO．（请直接写出t的值）
5．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段
MN的长度为线段a与b的“中距离”．
已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）．（1）当点A表示1时，
①若点C表示﹣2，点D表示﹣1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB
与CH的“中距离”为 ；
②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 ．
（2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速
度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴
正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运
动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．
设运动时间为t秒．
①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 ；
②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值．
6．我们将数轴上点P表示的数记为x ．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有x ﹣x ＝k（x ﹣
P N T M
x ），其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点
T
A，点B表示的数分别为x ＝﹣2，x ＝3．
A B
（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝ ；若点C是点A关于点B的“2星
点”，则x ＝ ；
C
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存
在某一时刻，使得点D是点A关于点O的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若
不存在，请说明理由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为
A'，作点B关于点Q的“3星点”，记为B'．当点Q运动时，QA'+QB'是否存在最小值？若存在，
求出最小值及相应点Q的位置；若不存在，请说明理由．
7．【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随
21
线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC= ∠BOC，称射
2
1
线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD= ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
2
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB
的度数是 ，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是
．（用含 α的代数式表示）
（2）如图α3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，
射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，
运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请
说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
8．如图1，对于线段AB和∠A′OB′，点C是线段AB上的任意一点，射线OC′在∠A′OB′内
AC ∠A'OC'
部，如果 = ，则称线段AC是∠A′OC′的伴随线段，∠A′OC′是线段AC的
AB ∠A'OB'
伴随角．例如：AB＝10，∠A′OB′＝100°，若AC＝3，则线段AC的伴随角∠A′OC′＝
30°．
（1）当AB＝8，∠A′OB′＝130°时，若∠A′OC′＝65，试求∠A′OC′的伴随线段AC的
长．
（2）如图2，对于线段AB和∠A′OB′，AB＝6，∠A′OB′＝120°．若点C是线段AB上任
一点，E，F分别是线段AC，BC的中点，∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段
AE，AC，AF的伴随角，则在点C从A运动到B的过程中（不与A，B重合），∠E′OF′的大
小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出∠E′OF′的大小．（3）如图3，已知∠AOC是任意锐角，点M，N分别是射线OA，OC上的任意一点，连接
MN，∠AOC的平分线OD与线段MN相交于点Q．对于线段MN和∠AOC，线段MP是∠AOD
的伴随线段，点P和点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；
如果不能，请说明理由．
二．数形结合之数轴与方程（经典题型）
9．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，例如：点A，B在数轴上分别
对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
根据以上知识解决问题：
（1）如图1所示，在数轴上点E，F表示的数分别为﹣5，3，则EF＝ ；
（2）①如图2所示，点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+14，且MN＝2PM，求：
点P和点N表示的数．5
②在上述①的条件下，数轴上是否存在点Q．使PQ+QN= QM？若存在，请直接写出点Q所
2
表示的数；若不存在，请说明理由．
10．如图，数轴上A，B两点对应的数分别是﹣20和10，P，Q两点同时从原点出发，P以每秒2
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，Q以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当
点Q到达点B后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点P到达点A时，P，Q两点同时停
止运动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，线段PQ＝ ；
（2）当PQ＝5时，求t的值；
（3）在P，Q两点运动的过程中，若点A，点P，点Q三点中的一个点是另外两个点为端点的
线段的中点，直接写出t的值．
11．规定：A，B，C是数轴上的三个点，当CA＝3CB时我们称C为[A，B]的“三倍距点”，当CB
＝3CA时，我们称C为[B，A]的“三倍距点”．点A所表示的数为a，点B所表示的数为b且
a，b满足（a+3）2+|b﹣5|＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若点C在线段AB上，且为[A，B]的“三倍距点”，则点C所表示的数为 ；
（3）点M从点A出发，同时点N从点B出发，沿数轴分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位
长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．当点B为M，N两点的“三倍距点”时，求t的值．
12．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，且a，b满足（a﹣120）2+|
4b﹣a|＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，若M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长；（3）线段CD在线段AB上从端点D与点B重合的位置出发，以3cm/s的速度沿射线BA的方向
运动，同时点P以相同速度从点A出发沿射线AB的方向运动，当点P与点D相遇时，点P原路
返回且速度加倍，线段CD的运动状态不变，直到点C到达点A时线段CD和点P同时停止运动，
设运动时间为ts，在此运动过程中，当t为多少s时线段PC＝10cm？
13．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，数轴上有一点C，且AC＝2CB，a、b
满足|a+4|+（b﹣11）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求点C表示的数；
（3）点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以
每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若AP+BQ＝2PQ，求t的值．
三．数形结合之角的动边与方程（超难题型）
1
14．如图，∠AOD＝130°，∠BOC：∠COD＝1：2，∠AOB是∠COD补角的 ．
3
（1）∠COD＝ ；
（2）平面内射线OM满足∠AOM＝2∠DOM，求∠AOM的大小；
（3）将∠COD固定，并将射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停
止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ+∠AOD
＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．
15．如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、
∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含 ， 式子表
示）． α β α β
（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB
到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表
示）．
16．如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
1
（2）若∠BOC= ∠AOD，求∠AOD的度数；
14
1
（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT= ∠NOT或者∠NOT
2
1
= ∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O
2
按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方
向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为
两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．
17．如图1，OA⊥OB，∠COD＝60°．
3
（1）若∠BOC= ∠AOD，求∠AOD的度数；
7（2）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（3）如图2，射线OB与OC重合，若射线OB以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，同时射线
OC以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OB与OA重合时停止运动．设旋转的时间为t
秒，请直接写出图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值．
18．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD
与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB＝45°，∠DPC＝30°），将三
角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，
设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针
旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，∠MPN＝180°．
①用含t的代数式表示：∠NPD＝ ；∠MPB＝ ；当t为何值时，∠BPC＝5°？
②从三角尺ABP与三角尺PCD第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结
束止，经过的时间t为 秒．1
19．如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少10°．
2
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射
线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时
针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射
∠DOE+∠BOC 7
线OE处（OE在∠DOC的内部）时， = ，求x的值．（注：本题中所涉及
∠COE 2
的角都是小于180°的角）
20．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
（1）若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC，求∠AOD及∠BOC的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及
∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回
到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此
时t的值为 （直接写出答案）．
