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历年考研数学
真题汇总
（数学二）
(1987 -2009)
考 研 必 胜 考 研 必 胜
【编者注】1987年到1996年的数学试卷川为现在的数学二．
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（试卷皿）
-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1)设y= In (1 + ax), 其中a为非零常数，则y'= ,y" =
(2)曲线y= arctan x在横坐标为1的点处的切线方程是 ；法线方程是 ．
r
(3)积分中值定理的条件是 ，结论是 ．
n - 2
(4) lim ( =
n--+oc n + l
(5) ff'(x) dx = , ff'(2x) dx = .
二、（本题满分6分）
1 1
求极限lim(
了-
1).
x----t() ex -
三、（本题满分7分）
设{
x = 5 (t - sin t), 少心
求 ' 2·
y = 5 (1 - cos t), dx dx
四、（本题满分r 8分）
。
计算定积分 xarcsin xdx.
五、（本题满分8分）
设D是由曲线y= sin x + I与三条直线X= 0 ,X ='IT, y= 0围成的曲边梯形，求D绕Ox轴旋转一
周所生成的旋转体的体积
六、证明题（本题满分10分）
(1)若八x)在(a,b)内可导，且导数J'(x)恒大千零，则J(x)在(a,b)内单调增加
(2)若g(x)在X= C 处二阶导数存在，且g'(c)= O,g"(c) < 0, 则g(c)为g(x)的一个极大值
七、（本题满分10分）
dx
计算不定积分f
2
-
2 2
2'其中a,b是不全为0的 非负常数
a sm x + b cos x
l
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（试卷川）
-、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
{ 2x + a , x :::;;; O
(I)设八x) =
,
在 ( - oo , + oo ) 内 连 续 则， a = .
x
e (sin x + cos x) , x > 0
让
X
_!_)
(2)设兀） = lim t(I + ,则f'(t) = .
x --+ oo X
止
J 1
(3)设瓜）连续，且 j(t)dt = X, 则八7) = .
( 4 ) l mi ( _!_ }
a n
x = •
x---+()十 五
r
(5) 产dx =
二、选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1 1
(I)f(x) = — x 3 +— x 2 + 6x + I的图形在点(O,1)处的切线与x轴交点的坐标是（ ）
3 2
(A)( -¼,0). ( B ) ( - 1 , 0 ) .
(¼,o).
(C) ( D ) ( l , O ) .
(2)若f(x)与g(x)在(-oo,+oo)上皆可导，且f(x) < g(x),则 必有（ ）
( A ) J ( - X ) > g ( - X ) . ( B ) f ' ( x ) < g ' ( x ) .
(C) limf(x) < limg(x). ( D ) / ( t ) d t < g ( t ) d t .
J。 』
x--+xo
(3)若函数y = f(x)'有 f'(x。) ＝ — ，则当Llx ----+ 0时，该函数在X = X。处的微分dy是（ ）
2
(A)与上等价的无穷小. (B)与Llx同阶的无穷小．
(C)比Llx低阶的无穷小. ( D ) 比 凶 高 阶 的 尤 穷 小 ．
(4)由曲线 y = sin½x( 0 ::::;; x ::::;;'TT)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）
-4
（A）�}
(B)
—
3 'IT.
2 2 2
(C)—3 1T (D)—3 TI.
(5)设函数y = f(x)是微分方程y"-2y'+ 4y = 0的 一 个解，且f(x。) > 0, f'(x。) = 0,则 f(x)在
点 x。处（ ）
( A ) 有 极 大 值
(C)某邻域内单调增加
(
(
B
D
)
)
有
某
极
邻
小
域
值
内 单 调 减 少 ．
3
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